1、Section 1.3Normal Distributions常態(tài)分配,單一變數(shù)的分配,將觀察資料圖示 直方圖、莖葉圖 檢視圖形的整體型態(tài) 外形、中心點、分散度及離群值 (outliers) 。 以統(tǒng)計數(shù)字概述資料的中心點及分散度。 若觀察資料數(shù)量夠大，則圖形的整體型態(tài)可用平滑曲線顯示。,密度曲線(Density Curve),若觀察資料數(shù)量夠大，則直方圖(組數(shù)適當(dāng)增加)的整體型態(tài)可用一近似的平滑曲線顯示。 上述直方圖中縱軸改為次數(shù)比例，則該平滑曲線稱為密度曲線(density curve)。,直方圖顯示資料的分配,直方圖顯示資料的分配(續(xù)),平滑曲線顯示分配,密度曲線顯示分配,直方圖面積,密

2、度曲線下面積,密度曲線的性質(zhì),曲線都在水平線上 (i.e., 密度函數(shù)=0)。 曲線下所 涵蓋的全部面積正好為1 (i.e., 所有可能性為 1)。 曲線下任何範(fàn)圍所涵蓋的面積，為觀察值落在該範(fàn)圍的比例 (i.e., 機率)。 密度曲線可視為是觀察變數(shù)的理論分配圖形。,密度曲線的中位數(shù),密度曲線的中位數(shù)，即為將密度曲線下的面積等分的點(數(shù))。也可視為是觀察變數(shù)的理論中位數(shù)。 四分位數(shù)將曲線下的面積分為四等分。 對稱密度曲線的中位數(shù)，即為密度曲線的中心點。 偏斜密度曲線的中位數(shù)，並不容易找到，需使用數(shù)學(xué)方法如微積分來求得。,密度曲線與中位數(shù)、四分位點,Q1,Q3,M,密度曲線的平均值,密度曲線的

3、平均值，即為密度曲線(當(dāng)成實體時)的平衡點。也可視為是觀察變數(shù)的理論平均值，多以希臘字 m 表示。,密度曲線的平均值與中位數(shù),對稱密度曲線的 平均值，即密度 曲線的中心點。 Figure 1.15 偏斜密度曲線的 平均值，多使用 數(shù)學(xué)方法如微積 分來求得。,密度曲線的其他統(tǒng)計量,密度曲線的標(biāo)準(zhǔn)差則須以數(shù)學(xué)模式推導(dǎo)。 為區(qū)隔觀察變數(shù)與密度曲線的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差，我們以 m 代表理論平均值，以 s 代表理論標(biāo)準(zhǔn)差。 觀察值的樣本平均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 s。,常態(tài)分配,常態(tài)曲線 所有常態(tài)曲線都有相同的外型 具有對稱、單峰及鐘形的特性。 常態(tài)曲線所代表的分配即為常態(tài)分配(normal distributi

4、on) 每一常態(tài)分配都有其平均值m 與標(biāo)準(zhǔn)差s 。,常態(tài)曲線,m,s,常態(tài)曲線 s 較大,m,s,常態(tài)曲線的分割,反曲點落在一個s處,反曲點落在-s處,Why 常態(tài)分配 很重要 in Statistics,Good descriptions for some distributions of real data 身高, 體重, 考試成績 Good approximations to the results of many kinds of chance outcomes Tossing a coin many times Many statistical inference procedure

5、s are based on normal distributions,常態(tài)分配的68-95-99.7規(guī)則,常態(tài)分配有其特定的資料分佈規(guī)則： 平均值為m , 標(biāo)準(zhǔn)差為 s 的常態(tài)分配 68%的觀察資料落在m 的 1s 之內(nèi) 95%的觀察資料落在m 的 2s 之內(nèi) 99.7%的觀察資料落在m 的 3s 之內(nèi),圖示68-95-99.7規(guī)則,0,1,2,3,-1,-2,-3,m,m+s,m+2s,m+3s,m-s,m-2s,m-3s,68% 的資料,95% 的資料,99.7% 的資料,資料標(biāo)準(zhǔn)化(Standardization),令觀察值 x 服從平均值為m ，標(biāo)準(zhǔn)差為 s 的分配，則 x 的標(biāo)準(zhǔn)化

6、值(standardized value)定為 標(biāo)準(zhǔn)化值又稱為 z-值(z-score)。,標(biāo)準(zhǔn)化資料的平均值,變數(shù)z 的平均值為 0 (m = 0 )。 n 筆資料的z-值分別為 z1, z2, , zn， 其中 ，則z-值之平均數(shù)為 0。,標(biāo)準(zhǔn)化資料的標(biāo)準(zhǔn)差,變數(shù)z的標(biāo)準(zhǔn)差為 1 (s = 1)。 n 筆資料的 z-值標(biāo)準(zhǔn)差為 sz，,標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配,變數(shù) X 服從平均值為 m ，標(biāo)準(zhǔn)差為 s 的常態(tài)分配，簡記為 X N(m, s2)。 X 經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化後為 Z(=(X- m)/ s )，則 Z 的平均值為 0 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 1，即Z N(0, 1)。我們稱 Z 服從標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)(standard

7、normal)。,標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)表(Table A),z,表列數(shù)字是z左邊的面積,z = - 0.44,z左邊的面積為0.33,- 0.44,0.33,標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)表實例,z,表列數(shù)字是z左邊的面積,z = 0.44,z左邊的面積為0.67,常態(tài)資料,例題1.16 : 14 歲男孩之膽固醇值 X (單位mg/dl)服從常態(tài)，N(170, 302)。求膽固醇值大於240 (i.e., may need medical attention)的男孩比例？ 問題轉(zhuǎn)換：求 X 240的機率？ 標(biāo)準(zhǔn)化： 查表：z = 2.33，曲線下小於 z的面積為0.9901，所以 z 2.33的面積為 1- 0.9901=0.

8、0099 。,圖示例題1.16,z = 2.33,z 右邊的面積為0.0099,由數(shù)值求比例(proportion),例題1.17：求膽固醇值介於170與240之間的男孩比例？ 問題轉(zhuǎn)換：求 的機率？ 標(biāo)準(zhǔn)化： 查表：z = 2.33，曲線下小於 z的面積為0.9901，曲線下小於 0的面積為 0.5，所以,例題1.17：求膽固醇值介於170與240之間的男孩比例？ 問題轉(zhuǎn)換：求 的機率？ 標(biāo)準(zhǔn)化： 查表：z = 2.33，曲線下小於 z的面積為0.9901，曲線下小於 0的面積為 0.5，所以 的面積為 0.9901- 0.5 = 0.4901。,圖示例題1.17,2.33,面積為0.4901,面積為0.5,0,由比例求數(shù)值,例題1.18：SAT字彙分?jǐn)?shù)的分配近似 N(505, 1102)，則前10%的分?jǐn)?shù)應(yīng)該是多少？ 問題轉(zhuǎn)換：大於 x 的機率為