1、,歡迎選修 線性代數(shù),朱立永,北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,這一講的主要內(nèi)容,這門課程的主要內(nèi)容 這門課程的特點(diǎn)及考核方式 行列式的定義,線性代數(shù)課程簡介,英文名字：Linear Algebra 線性代數(shù)是討論有限維空間中線性關(guān)系經(jīng)典理論的課程； 它具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性，是理工科大學(xué)本科各專業(yè)的重要基礎(chǔ)理論課； 本課程不僅是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)也在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用。,本課程的主要內(nèi)容,行列式（第1章) 矩陣（第2章) 向量的線性相關(guān)性（第3章) 線性方程組（第4章) 矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型（第5章) 二次型（第6章) 線性空間（第7章-自學(xué)內(nèi)容） 線性變換

2、（第8章自學(xué)內(nèi)容） 線性代數(shù)的一些應(yīng)用（第9章-自學(xué)內(nèi)容）,主要教材 線性代數(shù)，高宗升 周夢(mèng) 李紅裔編，北京航空航天大 學(xué)出版社，2009。 其它參考書 （1）線性代數(shù)，周德潤等編，北京航空航天大學(xué)出版社，1996 （2）線性代數(shù)，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編，高等教育出版社 （3）線性代數(shù)，謝邦杰編，人民教育出版社，1978 （4）高等代數(shù)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，北京大學(xué)出版社，2003 （5）線性代數(shù)復(fù)習(xí)必備，自印。,參考資料,本門課程的特點(diǎn),具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性 各部分內(nèi)容有緊密的聯(lián)系,課程安排及考核方式,總學(xué)時(shí)：48=36課內(nèi)學(xué)時(shí) + 12學(xué)時(shí)習(xí)題課 課內(nèi)教師講授，課外學(xué)生自學(xué)與作習(xí)題 考核方

3、式及成績?cè)u(píng)定 1. 期末閉卷筆試，占總成績的90 2平時(shí)作業(yè)占10,其它要注意的幾點(diǎn),課前一定要做好預(yù)習(xí) 課后要認(rèn)真完成作業(yè) 有問題要及時(shí)問（baidu/google），（答疑時(shí)間和地點(diǎn)?) 辦公室：學(xué)院路校區(qū)圖書館西配樓519室， Email：,第一章 行列式,行列式是由解線性方程組引進(jìn)的，是研究線性代數(shù)的重要工具，它在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。,本章的主要內(nèi)容,1.1 n階行列式,1.1.1 排列與逆序,1.1.2 二階與三階行列式,1.1.3 n階行列式的定義,1.1.1 排列與逆序,定義1.1.1 由自然數(shù)1，2，n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n階排列，記為j1,j2,jn,1，

4、2，n可組成n！個(gè)不同的n階排列 按數(shù)字的自然順序由小到大的排列稱為標(biāo)準(zhǔn)排列或自然排列.,定義1.1.2 在一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小的數(shù)的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).用 (j1,j2,jn)表示排列j1,j2,jn的逆序數(shù). 逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列.,對(duì)一個(gè)n階排列 j1,j2,jn ，如何求它的逆序數(shù)呢？,設(shè)這個(gè)排列中排在j后面比j小的數(shù)的個(gè)數(shù)為 (j) ，則排列j1,j2,jn的逆序數(shù)為, ( j1,j2,jn ) = (j1) + (j2) + + (jn-1),例1.1.1 求排列32

5、514與n(n-1) 321的逆序數(shù).,定義1.1.3 把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動(dòng)，就得到一個(gè)新的排列，這種變換稱為排列的一個(gè)對(duì)換.,定理1.1.1一次對(duì)換改變排列奇偶性.,推論 任何一個(gè)n階排列都可以通過對(duì)換化成標(biāo)準(zhǔn)排列,并且所作對(duì)換的次數(shù)的奇偶性與該排列的奇偶性相同.,1.1.2 二階與三階行列式,設(shè)二元一次線性方程組,（1.1.6）,用消元法去解此方程組，得,（1.1.7）,為了便于記憶，引入記號(hào),(1.1.8),式(1.1.8) 稱為二階行列式.D中橫寫的稱為行，豎寫的稱為列. 數(shù)aij稱為行列式的元素,它的第一個(gè)下標(biāo)i表示這個(gè)元素所在的行，稱為行指標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)

6、j表示這個(gè)元素所在的列，稱為列指標(biāo).,行列式中從左上角到右下角的連線稱為主對(duì)角線，從右上角到左下角的連線稱為副對(duì)角線. 由(1.1.8)可知，二階行列式的值是主對(duì)角線上元素a11,a22的乘積減去副對(duì)角線上元素a12,a21的乘積.按照這個(gè)規(guī)則，我們有,二元線性方程組（1.1.6）的解可用二階行列式表示成,同理，考慮三元一次線性方程組,(1.1.9),應(yīng)用消元法先后消去x2和x3，得到,把x1的系數(shù)記為式(1.1.10）,類似: 三階行列式 對(duì)角線法則:實(shí)線上元素之積為正,虛線上元素之積為負(fù).,由于D中共有三行三列,我們把它稱為三階行列式.因?yàn)樗煞匠探M(1.1.9)中變?cè)南禂?shù)組成,又稱其為

7、方程組(1.1.9)的系數(shù)行列式.如果 D0,容易算出方程組(1.1.9)有唯一解:,其中Dj(j=1,2,3)分別是在D中把第j列的元素?fù)Q成方程組(1.1.9)右端的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,b3得到.,由上面的討論,自然會(huì)想到如何把二階、三階行列式推廣到一般的 n階行列式,并用它來表達(dá)由 n個(gè)未知量 n個(gè)方程所組成的線性方程組的解.通過觀察二階、三階行列式,發(fā)現(xiàn)它們有以下特點(diǎn)：,(1) 二階、三階行列式的每一項(xiàng)都是取自不同行不同列的元素的乘積,其代數(shù)和即為該行列式之值. 二階行列式有2!項(xiàng)，三階行列式有3!項(xiàng).,(2) 代數(shù)和中每一項(xiàng)前的符號(hào)有以下規(guī)律：行指標(biāo)取成標(biāo)準(zhǔn)排列時(shí)，由列指標(biāo)組成排列的奇偶

8、性決定每項(xiàng)前的正負(fù)號(hào),偶者為正,奇者為負(fù).,綜上,我們有,1.1.3 n階行列式的定義,定義1.1.4 由n2個(gè)元素排成n行n列,以,記之，稱其為 n階行列式,它代表一個(gè)數(shù)值.此數(shù)值是取自上式中不同行不同列的n個(gè)元素,乘積的代數(shù)和，其中j1,j2,jn是數(shù)字1,2,n的 某一個(gè)排列，故共有n!項(xiàng)。,每項(xiàng)前的符號(hào)按下列規(guī)定：當(dāng) j1,j2,jn為偶排列時(shí)取正號(hào)，當(dāng) j1,j2,jn為奇排列時(shí)取負(fù)號(hào)，即,(1.1.11),表示對(duì) 1,2,n這n個(gè)數(shù)組成的所有排列 j1,j2,jn取和.,其中,當(dāng)n=1時(shí), 即為一階行列式,我們規(guī)定 |a|=a; n=2,3時(shí),即為前面定義的二階、三階行列式.,為了書寫方便,n階行列式也可記為 Dn=|aij|n.,例1.1.2 計(jì)算n階下三角形行列式,特別地,對(duì)于對(duì)角形行列式,有,例1.1.3 計(jì)算n階行列式,在行列式的定義中,我們規(guī)定n個(gè)元素相乘時(shí),元素的行指標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)排列,由列指標(biāo)排列的逆序數(shù)決定各項(xiàng)前的正負(fù)號(hào). 那么能否在定義中 n個(gè)元素的相乘項(xiàng)里把元素的列指標(biāo)排列按標(biāo)準(zhǔn)