1、函數與極限,1,第一節(jié) 函數極限的概念,第一章 函數與極限,極限概念的引入,自變量趨于有限值時函數的極限,單側極限,自變量絕對值無限增大時函數的極限,函數值趨于無窮的情形,小結 思考題 作業(yè),2,一、極限概念的引入,極限概念是從常量到變量,從有限到無限,即從初等數學過渡到高等數學的關鍵.,極限的思想源遠流長.,莊子(約公元前355275年)在天下篇,“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.,意思是:,一尺長的棍子,第一天取其一半,第二,天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一,半,這樣永遠也取不完.,中寫道:,3,劉徽(三世紀)的“割圓術”中說:,意思是:,設給定半徑為1尺的圓,從圓內接正6邊,形開

2、始,每次把邊數加倍,屢次用勾股定理.,求出,正12邊形、,等等正多邊形的邊長,正24邊形.,邊數越多,圓內接正多邊形越與圓接近,最后與,圓周重合,則正多邊形周長與圓周長就沒有誤,差了.,“割之彌細,所失彌少.割之又割,以至不可割,則與圓周合體,而無所失矣.”,4,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,5,二、自變量趨于有限值時函數的極限,例 已知自由落體的運動方程是,求落體在,時的即時速度.,6,發(fā)現,如何描述無限接近呢?,7,我們就說,t=1時的即時速度為9.8m/s.,或者說,17世紀 Leibniz, Newton,18,19世紀 Bernoulli, Euler, Gauss

3、,如此定義極限.,到1841-1856年, Weierstrass給出以下嚴格的定義,8,用數學語言刻劃,問題,無限接近,于確定值A.,9,1.定義,定義2,設函數,有定義.,記作,或,恒有,在點x0某去心鄰域內,10,它就是確定了;,定義中 標志x接近x0的程度,也將越小.,它與,一般地說,越小,有關.,11,(3) 定義中的,所以,f (x)有沒有極限與f (x)在點x0,是否有定義并無關系.,表示,(4) 不等式,成立的條件只是針對于滿足,的x而言,對于不滿足此條件的x不考慮.,12,必存在x0的去心鄰域,對于此鄰域內的 x,對應的函數圖形位于這一帶形區(qū)域內.,作出帶形區(qū)域,13,14,

4、一般說來,應從不等式,出發(fā),推導出應小于怎樣的正數,這個正數就是要找的與 相對應的,這個推導常常是困難的.,但是, 注意到我們不需要找最大的,所以,適當放大些,的式子,變成易于解出,找到一個需要的,找到,就證明完畢.,可把,15,思路:,16,例1,證,任,所以,例2 證明:,注意:,17,一般思路:,18,例3,證,19,例4 證明:,證明:,20,例5 證明:,例6 證明:,結論:,若,是初等函數,是其定義區(qū)間內的點,則,21,例如,兩種情況分別討論!,三、單側極限,22,左極限,右極限,使得,時,或,使得,時,或,或,或,23,且,性質常用于判斷分段函數當x趨近于,分段點,時的極限.,2

5、4,試證函數,證,左、右極限不相等,故,例7,25,例8 設,試確定b,c的值,使得,存在,并求其極限值.,26,四、自變量絕對值無限增大時的函數極限,設對充分大的x,函數 處處有定義.,如果隨著x的無限增大,相應的函數 就,無限接近某一常數 A.,由此可引入函數在,無窮遠處的極限概念.,以下分別用記號,表示,無限增大的過程.,x 趨向于負無窮,x 趨向于無窮,x趨向于正無窮,27,用數學語言刻劃,問題,表示,表示,無限增大.,1. 定義,定義1,無限接近、,記作,或,28,2. 另兩種情形,29,解,顯然有,可見,和,雖然都存在,但它們不相等.,例9,討論極限 是否存在?,30,如果在x的某

6、種趨向下,并不無限接近,一個常數,則稱:,在x的該種趨向下,例,當|x|無限增大時,都不無限接近一個常數,因此,都不存在.,不存在.,31,圖形,完全落在:,32,例10,證,令,有,解不等式,33,例11,驗證下列基本極限,34,如,可以無限增大;,可以無限增大.,五、函數值趨于無窮的情形,我們考慮在自變量的某一變化過程中,無限增大的情形.,有下面的定義,35,定義,記作,特殊情形:,正無窮大,負無窮大,36,(1) 無窮大是變量,不能與很大的數混淆;,無窮大一定是無界函數,(3) 無窮大與無界函數的區(qū)別:,它們是兩個不同的概念.,未必是某個過程的無窮大.,但是無界函數,37,如,是無界函數,但不是無窮大.,因為取,而取,當,所以,f (x)不是無窮大!,38,證,例12,39,1. 函數極限的,或,定義;,五