1、1.3.1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)(二),第一章1.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義. 2.會求函數(shù)yAsin(x)的周期. 3.掌握函數(shù)ysin x的奇偶性，會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性.,題型探究,問題導(dǎo)學(xué),內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,問題導(dǎo)學(xué),思考1,知識點一函數(shù)的周期性,如果函數(shù)f(x)滿足f(x3)f(x)，那么3是f(x)的周期嗎？,答案,答案不一定.必須滿足當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x3)f(x)，才可以說3是f(x)的周期.,思考2,所有的函數(shù)都具有周期性嗎？,答案不是.只有同時符合周期函數(shù)定義中的兩個條件的函數(shù)才具有周期性.,思考3,周期

2、函數(shù)都有最小正周期嗎？,答案,答案周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如，對于常數(shù)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù)，xR)，所有非零實數(shù)T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常數(shù)函數(shù)沒有最小正周期.,函數(shù)的周期性 (1)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個 ，使得定義域內(nèi)的 值，都滿足 ，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)， 叫做這個函數(shù)的周期. (2)對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它的所有周期中存在一個 ，那么這個最小正數(shù)就叫做它的最小正周期.,梳理,非零常數(shù)T,每一個x,f(xT)f(x),非零常數(shù)T,最小的正數(shù),思考1,知識點二正弦函數(shù)的周期性,證明函數(shù)ysin x是周期函數(shù). 答案sin(x2)si

3、n x， ysin x都是周期函數(shù)， 且2就是它們的一個周期.,答案,思考2,證明函數(shù)f(x)Asin(x)(A0)是周期函數(shù).,答案,答案由誘導(dǎo)公式一知，對任意xR， 都有Asin(x)2Asin(x)，,梳理,由sin(x2k) (kZ)知，ysin x是 函數(shù)，_ 是它的周期，且它的最小正周期是 .,sin x,周期,2k (kZ且k0),2,思考1,知識點三正弦函數(shù)的奇偶性,觀察正弦曲線的對稱性，你有什么發(fā)現(xiàn)？,答案,正弦曲線：,答案正弦函數(shù)ysin x的圖象關(guān)于原點對稱.,思考2,上述對稱性反映出正弦函數(shù)有什么性質(zhì)？如何從理論上加以驗證？,答案,答案正弦函數(shù)是R上的奇函數(shù).根據(jù)誘導(dǎo)公

4、式，得sin(x)sin x，對一切xR恒成立.,梳理,對于ysin x，xR恒有sin(x)sin x，所以正弦函數(shù)ysin x是 函數(shù)，正弦曲線關(guān)于 對稱.,奇,原點,題型探究,解答,類型一三角函數(shù)的周期性,例1求下列函數(shù)的最小正周期.,函數(shù)f(x)sin z的最小正周期是2， 即變量z只要且至少要增加到z2， 函數(shù)f(x)sin z(zR)的值才能重復(fù)取得.,所以自變量x只要且至少要增加到x，函數(shù)值才能重復(fù)取得，,解答,(2)y|sin x|(xR).,其圖象如圖所示，,所以該函數(shù)的最小正周期為.,反思與感悟,對于形如函數(shù)yAsin(x)，A0時的最小正周期的求法常直接利用T 來求解，對

5、于y|Asin x|的周期情況常結(jié)合圖象法來求解.,解答,跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的周期.,(2)y|sin 2x|.,解答,類型二三角函數(shù)的奇偶性,例2判斷下列函數(shù)的奇偶性.,f(x)是偶函數(shù).,解答,(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；,f(x)的定義域關(guān)于原點對稱. 又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)， f(x)lg1sin(x)lg1sin(x) lg(1sin x)lg(1sin x)f(x). f(x)為奇函數(shù).,解答,解1sin x0，sin x1，,定義域不關(guān)于原點對稱， 該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).,反思與感悟,判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好兩個關(guān)鍵點： 關(guān)

6、鍵點一：看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱. 關(guān)鍵點二：看f(x)與f(x)的關(guān)系. 對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡后再判斷.,解答,跟蹤訓(xùn)練2判斷下列函數(shù)的奇偶性.,解f(x)sin 2xx2sin x， xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x) sin 2xx2sin xf(x)， f(x)是奇函數(shù).,解答,f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱. f(x)是非奇非偶函數(shù).,解答,類型三三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用,例3定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是，且當(dāng)x 時，f(x)sin x，求f 的值.,解f(x)的最小正周期

7、是，,f(x)是R上的偶函數(shù)，,反思與感悟,解決此類問題的關(guān)鍵是運用函數(shù)的周期性和奇偶性，把自變量x的值轉(zhuǎn)化到可求值區(qū)間內(nèi).,解答,解答,類型四函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用,例4已知函數(shù)f(x)cos x，求f(1)f(2)f(3)f(2 020)的值.,f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0. 同理，可得每連續(xù)六項的和均為0. f(1)f(2)f(3)f(2 020) f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020),反思與感悟,當(dāng)函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時，可以首先研究它在一個周期內(nèi)的函數(shù)值的變化情況，再給予推廣求值.,跟蹤訓(xùn)練4設(shè)函數(shù)f(x)sin x，則f(1)

8、f(2)f(3)f(2 015) .,0,答案,解析,f(1)f(2)f(3)f(2 015)335f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015),f(33561)f(33562)f(33563)f(33564)f(33565) 3350f(1)f(2)f(3)f(4)f(5),當(dāng)堂訓(xùn)練,2,3,4,5,1,答案,2.下列函數(shù)中，周期為的偶函數(shù)是,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,A.最小正周期為的奇函數(shù)B.最小正周期為的偶函數(shù) C.最小正周期為 的奇函數(shù)D.最小正周期為 的偶函數(shù),答案,解析,f(x)cos 2x. 又f(x)cos(2x)cos 2xf(x)， f(x)是最小正周期為的偶函數(shù).,答案,2,3,4,5,1,解析,4.函數(shù)ysin(x )的最小正周期為2，則的值為 .,|， .,2,3,4,5,1,答案,解析,規(guī)律與方法,1.求函數(shù)的最小正周期的常用方法： (1)定義法，即觀察出周期，再用定義來驗證；也可由函數(shù)所具有的某些性質(zhì)推出使f(xT)f(x)成立的T. (2)圖象法，即作出yf(x)的圖象，觀察圖象可求出T，如y|sin x|.