1、2-1動(dòng)態(tài)微分方程式的編寫,機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),例：彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng),輸入外力,輸出位移,阻尼系數(shù)，與運(yùn)動(dòng)方向相反,2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,2-2 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,1. 概念 對于非本質(zhì)非線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，假設(shè)系統(tǒng)工作過程中，其變量的變化偏離穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)增量很小，各變量在工作點(diǎn)處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是可將非線性函數(shù)（數(shù)模）在工作點(diǎn)的某一鄰域展開成泰勒級數(shù)，忽略高次（二次以上）項(xiàng)，便可得到關(guān)于各變量近似線性關(guān)系，我們稱這一過程為非線性系統(tǒng)(數(shù)模)的線性化。,2. 數(shù)學(xué)描述 設(shè)系統(tǒng)的輸入為x(t),輸出為y（t）， 且滿足y(t)=f(x),其中f(x)為非線性函數(shù)。 設(shè)t=t0時(shí)，x=

2、x0,y=y0為系統(tǒng)的穩(wěn)定工作點(diǎn)（x0,y0）,2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,當(dāng)|x-xo|很小時(shí)，忽略其二階以上各項(xiàng)，得：,在該穩(wěn)定工作點(diǎn)處將f(x)泰勒展開為：,即：,也即：,是 線性化模型,例：將上例流體運(yùn)動(dòng)非線性方程線性化如：,可將非線性特性 在 處線性化,2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,即有：,去掉 即為線性化方程。 不難看出線性化方程與工作點(diǎn)有關(guān)，工作點(diǎn)不同，方程就不同。,代入原方程得：,2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,自動(dòng)控制系統(tǒng)的典型輸入信號,3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析,一、典型輸入信號 為了對系統(tǒng)性能進(jìn)行分析、比較，給出了幾種典型輸入信號 階躍輸入

3、 定義如下,A=1時(shí)稱為單位階躍信號,對于恒值系統(tǒng)，相當(dāng)于給定值突然變化或者突然變化的擾動(dòng)量；對于隨動(dòng)系統(tǒng)，相當(dāng)于加一突變的給定位置信號。,3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析, 斜坡（勻速）輸入,相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)加入一按恒速變化的位置信號，該恒速度為A。,3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析,拋物線（勻加速）輸入,相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)加入一按恒加速度變化的位置信號，該恒加速度為A。,3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析,脈沖函數(shù),當(dāng)A=1， 時(shí) 稱為單位脈沖函數(shù)（t） ，其面積為1,正弦函數(shù) 用正弦函數(shù)作輸入信號，可以求得系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入函數(shù)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，由此可以間接判斷系統(tǒng)的性能。,拉普拉斯變換(Laplace變換

4、),拉普拉斯變換 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 拉普拉斯逆變換 拉普拉斯變換的應(yīng)用,在數(shù)學(xué)中，為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡單的運(yùn)算，常常采用一種變換手段，所謂積分變換，就是通過積分運(yùn)算把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的變換。積分變換包括拉普拉斯（Laplace）變換和傅立葉（Fourier）變換。這里只研究Laplace變換，討論他的定義、性質(zhì)及其應(yīng)用。,在 所確定的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為,設(shè)函數(shù) 當(dāng) 有意義,而且積分,（ 是一個(gè)復(fù)參量）,稱上式為函數(shù) 的拉普拉斯變換式,一、拉普拉斯變換的概念,= ,二、一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換,例2 求單位階躍函數(shù) 的拉氏變換,解,例1 求單位脈沖函

5、數(shù) 的拉氏變換,解,例3 求函數(shù) 的拉氏變換,解,例4 求單位斜坡函數(shù) 的拉氏變換,解,例5正弦函數(shù),是周期為,當(dāng) 在一個(gè)周期上連續(xù)或分段連續(xù)時(shí),則有,周期函數(shù)的拉普拉斯變換,這是求周期函數(shù)拉氏變換公式,的周期函數(shù),即,可以證明:若,（1）線性性質(zhì),三 拉氏變換的幾個(gè)重要定理,（2）微分定理,（3）積分定理,（4）實(shí)位移定理,（5）復(fù)位移定理,（6）初值定理,（7）終值定理,（終值確實(shí)存在時(shí)）,自動(dòng)控制原理國家精品課程 浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所,19,應(yīng)用拉氏變換的終值定理求,注意拉氏變換終值定理的適用條件：,事實(shí)上：,的極點(diǎn)均處在復(fù)平面的左半邊。,不滿足終值定理的條件。,四 拉氏反變換,（1

6、）反演公式,（2）查表法（分解部分分式法）,解.,1 利用拉普拉斯變換表和性質(zhì)求拉普拉斯逆變換,一些常用函數(shù)的 拉氏變換,自動(dòng)控制原理國家精品課程 浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所,22,典型信號的拉氏變換（2）,2.用留數(shù)法分解部分分式,一般有,其中：,設(shè),I. 當(dāng) 無重根時(shí),解.,解.,II. 當(dāng) 有重根時(shí),(設(shè) 為m重根，其余為單根),解.,常系數(shù)線性微分方程的拉普拉斯變換解法,利用拉普拉斯變換可以比較方便地求解常系 數(shù)線性微分方程（或方程組）的初值問題,其基本步驟如下: （1）根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和線性性質(zhì),對微分方程（或方程組）兩端取拉普拉斯變換,把微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程; （2）從象函數(shù)的代數(shù)方程中解出象函數(shù); （3）對象函數(shù)求拉普拉斯逆變換,求得微分方程（或方程組）的解.,例17 求微分方程,滿足初始條件,的解,解 設(shè),對方程兩邊取拉氏變換,并考慮到初始條件,則得,解得,所以,用L變換方法解線性常微分方程,: 特征根（極點(diǎn)）,: 相對于 的模態(tài),課后作業(yè),1. 已