1、1,第二章,函數(shù),2,2.5 函數(shù)的奇偶性、周期性,第二課時(shí),題型4 函數(shù)周期性的定義,1. 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+2)+f(x)=0，則f(x)的周期是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6,3,解：由已知，f(x+2)=-f(x)， 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 顯然，f(x)的周期為4，選C. 點(diǎn)評(píng)：由本題可知，若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：f(x+a)=-f(x)(a0)，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù).相應(yīng)地還有：若f(x+a)= 或f(x+a)=- ，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù).,4,已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：對(duì)任意實(shí)數(shù)

2、x都有f(x+2)+f(x)=0，且當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)=3x，則f( )的值為( ) A. 1 B. -1 C. D. 解：由已知f(x+2)=-f(x) f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 所以f(x)是周期為4的周期函數(shù). 又f(x)為奇函數(shù)，所以f( )=f( -16)=f(- )=-f( )=-1，故選B.,5,2. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0. (1)證明:這個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)； (2)若f(-3)=1，求f(2011)的值. 解：(1)證明：因?yàn)閒(2-x)+f(x-2)=0， 令t=x-2代入,有f(

3、-t)+f(t)=0，所以f(x)為奇函數(shù). 所以f(4-x)=-f(x-4)，即有f(x)=-f(x-4)， 所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)， 故f(x)是周期為8的周期函數(shù). (2)f(2011)=f(2518+3)=f(3)=-f(-3)=-1.,題型5 抽象函數(shù)奇偶性、周期性的判定與證明,6,點(diǎn)評(píng)：處理抽象函數(shù)的奇偶性和周期性的關(guān)鍵是對(duì)其抽象性質(zhì)進(jìn)行變形、配湊，如本題中觀察到2-x與x-2是互為相反數(shù)，則可判斷其奇偶性，然后利用奇偶性將f(4-x)變換為-f(x-4).,7,已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a (a0，為常數(shù))對(duì)稱(chēng)，證明

4、：f(x)是周期函數(shù). 證明：由已知f(-x)=-f(x)，且f(a+x)=f(a-x)， 所以f(2a+x)=fa+(a+x) =fa-(a+x)=f(-x)=-f(x)， 所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x)， 所以f(x)是周期函數(shù)，且周期為4a.,拓展練習(xí),8,3. 若y=f(2x)的圖象關(guān)于直線(xiàn) 和 (ba)對(duì)稱(chēng)，則f(x)的一個(gè)周期為( ) A. B. 2(b-a) C. D. 4(b-a) 解：因?yàn)閥=f(2x)關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)， 所以f(a+2x)=f(a-2x)， 所以f(2a-2x)=fa+(a-2x)=fa-(a-2x)=f(2x).,題型6 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)與周期,同

5、理，f(b+2x)=f(b-2x)，所以f(2b-2x)=f(2x). 所以f(2b-2a+2x)=f2b-(2a-2x)=f(2a-2x)=f(2x). 所以f(2x)的一個(gè)周期為2b-2a， 故知f(x)的一個(gè)周期為4(b-a).故選D.,9,點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性以及周期性，類(lèi)比三角函數(shù)中的周期變換和對(duì)稱(chēng)性的解題規(guī)則處理即可.若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a和x=b對(duì)稱(chēng)(ab)，則這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2(b-a)；若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(chēng)(ab)，則這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為4(b-a);若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b

6、,0)對(duì)稱(chēng)(ab)，則這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2(b-a).,10,11,12,已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x+2)=f(x)成立，且當(dāng)x2，3時(shí)，f(x)=x，則當(dāng)x-1，0時(shí)，f(x)的解析式為( ) A. x+4 B. x-2 C. 3-|x+1| D. 2+|x+1| 解：當(dāng)x-1，0時(shí)，2-x2，3. 由已知f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-|x+1|， 故選C.,13,1. 證明抽象函數(shù)的周期性，關(guān)鍵是找出其周期，一般通過(guò)嘗試變形或類(lèi)比三角函數(shù)獲得. 2. 求周期函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的解析式，先要在該區(qū)間內(nèi)選取自變量，再通過(guò)周期調(diào)節(jié)到已知區(qū)間，從而將它轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間內(nèi)的函數(shù)解析式. 3. 求周期函數(shù)的函數(shù)值，要通過(guò)周期的調(diào)節(jié)，將它轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值來(lái)解決.,14,4. 函數(shù)的周期性常與函數(shù)的奇偶性結(jié)合在一起，解題中要充分利用f(-x)與f(x)的關(guān)系幫助變形. 5. 函