1、三種簡單相關分析與SAS實現(xiàn),醫(yī)學統(tǒng)計學教研室 柳偉偉,相關,在生物醫(yī)學科研與實踐中，經(jīng)常涉及兩個變量之間的關系研究，以說明事物發(fā)生、發(fā)展及變化的原因或變量間依存變化的數(shù)量關系。 例如： 醫(yī)學上人的身高與體重的關系、年齡與血壓的關系等； 藥物劑量與反應的關系等； 病程與療效的關系。 相關與回歸分析是研究這種關系的統(tǒng)計方法，屬雙變量分析（bivariate analysis）范疇。,相關分析的任務 說明客觀事物或現(xiàn)象相互間數(shù)量關系的密切程度和方向，并用適當?shù)慕y(tǒng)計指標表示出來。 而把客觀事物或現(xiàn)象間的數(shù)量依存關系表示出來，則是回歸分析所要解決的問題。,三種簡單相關,1. Pearson直線相關,2

2、. Spearman秩相關,3. Kendall等級相關,Pearson直線相關,了解兩個隨機變量X與Y之間相關關系及其密切程度，可用直線相關分析方法。 直線相關（linear regression）又稱簡單相關，此方法適用于X和Y都服從正態(tài)分布的資料。,Pearson直線相關,直線相關的概念 直線相關的定量描述 相關系數(shù)的假設檢驗 相關系數(shù)的區(qū)間估計 直線相關分析的一般步驟 直線相關分析的注意事項,Pearson直線相關,1. 定義 如果兩個隨機變量中，當其中一個變量由小到大變化時，另一個變量也相應地由小到大（或由大到?。┳兓⑶移湎鄳兓纳Ⅻc圖在直角坐標系中呈現(xiàn)直線趨勢，則稱這兩個隨機

3、變量存在直線相關。 推斷兩個隨機變量是否存在直線相關關系以及描述這種相關關系大小的分析方法就是直線相關分析(linear correlation analysis)，也稱簡單相關分析(simple correlation analysis)。,Pearson直線相關,直線相關圖示,Pearson直線相關,直線相關分析的適用條件 (1) 兩個變量均為服從正態(tài)分布的隨機變量，即要求他們服從雙變量正態(tài)分布； (2) 每對數(shù)據(jù)對應的點在直角坐標系中呈現(xiàn)直線趨勢。,Pearson直線相關,2.直線相關的定量描述 相關系數(shù)的意義 在分析兩個事物間的關系時，常常要了解兩者間的數(shù)量關系是否密切。說明兩個變量

4、間關系密切程度和方向的統(tǒng)計指標稱相關系數(shù)，又稱pearson相關系數(shù)，或積差相關系數(shù)。 樣本相關系數(shù)用r表示，總體相關系數(shù)用表示。,Pearson直線相關,計算相關系數(shù)的基本公式是： 式中，lXX 、 lYY 分別表示X、Y 的離均差平方和， lXY 表示X與Y的離均差乘積和。,Pearson直線相關,相關系數(shù)的意義 相關系數(shù)的符號反映兩變量間的相關方向： r0為正相關，r0為負相關 相關系數(shù)的絕對值反映兩變量相關的密切程度： |r|越大，相關越密切。 r = 1 完全正相關 r = -1 完全負相關 r = 0 零相關,應該注意的是，r所表示的只是X與Y間的直線關系，若兩變量間為曲線關系時，

5、即使所有的點都在曲線上，其r值也并不等于1。例如下圖所示Y=x2的曲線，將各X值代入，得： X 0 1 2 3 4 Y 1 2 4 5 16,兩變量的相關系數(shù)為0.933,Pearson直線相關,例 隨機測量了13名8歲健康男童的體重與心臟橫徑，結果見下表。試進行直線相關分析。,Pearson直線相關,相關系數(shù)的計算 X=301.5 X 2 =7072.75 Y=116.3 Y 2 =1044.63 XY = 2713.65 lXX = X 2 (X)2/n =7.72.75-301.52/13 = 80.2692 lYY = Y 2 (Y)2/n =1044.63-116.32/13 = 4

6、.1923 lXY = XY (X)(Y)/n =2713.65-301.5116.3/13=16.3846,Pearson直線相關,相關系數(shù)的統(tǒng)計學意義檢驗 檢驗假設如下：,1. 直接查表法：求得 r 后，按 = n-2查r界值表。 本例，r=0.8932， P0.01，說明總體相關系數(shù)與0之間的差別有統(tǒng)計學意義,Pearson直線相關,2. t 檢驗 若H0成立，從 =0的總體中抽樣，所得到的樣本相關系數(shù) r 呈對稱分布（近似正態(tài)分布），此時可用 t 檢驗。,本例， = n-2 =11 按 = 11查t界值表，得P0.01 ，說明總體相關系數(shù)與0之間的差別有統(tǒng)計學意義,1,Pearson直

7、線相關,Pearson直線相關,相關系數(shù)的區(qū)間估計 從相關系數(shù) 不等于0的總體中抽樣，樣本相關系數(shù)的分布是偏態(tài)的。,Pearson直線相關,z 近似服從均數(shù)為 ， 標準誤為 的正態(tài)分布。,Z 變換,Pearson直線相關,將 r 變換為 z ； 根據(jù) z 服從正態(tài)分布，估計 z 的可信區(qū)間； 再將 z 變換回 r 。,Pearson直線相關,直線相關分析的一般步驟 1. 繪制散點圖，觀察兩變量的變化趨勢； 2. 若散點圖呈直線趨勢，計算相關系數(shù)； 3. 對相關系數(shù)進行假設檢驗； 4. 必要時對總體相關系數(shù)進行區(qū)間估計。,Pearson直線相關,直線相關分析的注意事項 1. 直線相關分析要求兩個

8、變量均為服從正態(tài)分布的隨機變量，實際數(shù)據(jù)要滿足這一前提。 2. 分析前必須先作散點圖，變化不呈直線趨勢時不宜作直線相關。 3. 要注意相關的有效范圍。相關系數(shù)的意義僅限于原資料中兩個變量值的實測范圍，超出這一范圍就不一定保持現(xiàn)有的直線關系了。,Pearson直線相關,4. 作相關分析時，必須考慮異常點的影響。 5. 相關分析要有實際意義，兩變量相關并不代表兩變量間一定存在內(nèi)在聯(lián)系，相關關系不一定是因果關系。有時兩個變量雖然存在直線關系，但可能是同時受另外一個因素的影響，二者均隨另一個因素的變化而變化，它們本身卻不一定存在因果關系。 年齡 工齡越長 血壓越高,Pearson直線相關,6. 分層資

9、料不宜盲目合并進行相關分析。只有確定各層研究對象具有同質(zhì)基礎才能合并。 7. 不要把假設檢驗中相關顯著性大小理解為相關程度的大小。若經(jīng)假設檢驗推斷 0，說明兩變量間存在一定的直線關系。相關的密切程度可參照下面標準判斷：|r|0.7為高度相關。,等級相關,1. 定義： 用雙變量等級數(shù)據(jù)作直線相關分析 2. 適用范圍： （1）不服從雙變量正態(tài)分布 （2）總體分布類型未知 （3）原始數(shù)據(jù)用等級表示,等級相關,Spearman秩相關 Kendall等級相關,Spearman秩相關,Spearman秩相關 對于不符合正態(tài)分布的資料，不用原始數(shù)據(jù)計算相關系數(shù)，而是將原始觀察值由小到大編秩，然后根據(jù)秩次來計

10、算秩相關系數(shù)。 通過秩相關系數(shù)rs來說明兩個變量間相關關系的密切程度,Spearman秩相關,設有n例觀察對象同時取得兩個測定值（Xi，Yi），分別按Xi、 Yi（i=1,2,3，n）的值由小到大編秩為1,2,3 ，n。用RXi表示Xi的秩次， RYi表示Yi的秩次。因為n是固定的，所以總秩相等即,平均秩,但Xi的秩順序不一定與Yi的秩順序相同，故所對應的RXi與RYi不一定相等。,Spearman秩相關,只要求出 就可按以下公式計算秩相關系數(shù)rs,令同一觀察對象的兩個秩次差為：,得到秩相關系數(shù)的簡化公式為：,式中n為 觀察例數(shù)。rs的取值為| rs |1。,Spearman秩相關,相同秩次較

11、多時,TX(或TY)(t3t)/12，t為X(或Y)中相同秩次的個數(shù)。,例 某地方病防治所隨機抽樣調(diào)查了某縣10個村飲水中氟含量與氟骨癥患病率間的關系,飲用水中氟含量（X ）與氟骨癥患病率(Y ),Spearman秩相關,Spearman秩相關分析步驟： 1.編秩 將各Xi由小到大編秩得RXi，列于表中第（3）列。采用相同的排秩規(guī)則將Yi的記分列于表中第（5）列RYi。當遇到相等的測定值時則用平均秩。如Y2=Y4=22.64，按編秩為3和4，這兩個測定值的平均秩為（3+4）/2=3.5，故有RY2= RY4=3.5。 2.秩次差 求每例觀察對象的秩次差 列于表中第（6）列，應有 。本例的合計為

12、 表示排秩無誤，可作核對之用。,Spearman秩相關,3.計算秩次之差的平方并求和 計算出的 列于表中第（7）列。本例有,4.計算秩相關系數(shù)rs 本例 代入簡化公式中得到：,簡化公式適用于資料中取相同秩次的例數(shù)不多的情況，但如果取相同秩次的例數(shù)較多時，就使得計算的結果偏差較大，這時應用原始公式計算秩相關系數(shù)。,Spearman秩相關,Spearman秩相關系數(shù)的假設檢驗 對總體相關系數(shù)的假設檢驗的方法有兩種： 1.查表法 當n50時，查“rs界值表”進行假設檢驗。 2.計算法 當n50時，按下式計算檢驗統(tǒng)計量u:,查標準正態(tài)分布表，確定P 值。,Spearman秩相關,對前面例子得到的秩相關

13、系數(shù)進行假設檢驗 檢驗步驟： 1.建立無效假設和確定檢驗水準 H0：s=0，即飲用水中氟含量與氟骨癥患病率間無相關關系 H1：s0，即飲用水中氟含量與氟骨癥患病率間有相關關系=0.05 2.計算秩相關系數(shù)rs=0.918,Spearman秩相關,3.確定P 值并下結論： 查表得到rs,0.05/2(10)=0.648，小于樣本統(tǒng)計量rs=0.918，故按=0.05水準拒絕H0，判斷rs系來自s0的總體，從專業(yè)上分析，可以認為飲水中氟含量與氟骨癥患病率之間存在著正相關關系。,Kendall等級相關,Kendall等級相關 當兩個變量都用等級來表示時,用一個統(tǒng)計量來衡量它們的等級不一致的情況。 K

14、endall等級相關系數(shù)也在1之間變動。完全不相關時，=0。它不僅可對兩個變量作等級相關分析，而且可對多個變量作等級相關分析,Kendall等級相關,Kendall等級相關的分析步驟： 1.先將第一個變量（x）和第二個變量（y）由小到大列出等級，數(shù)值相同時取平均等級。 2.把兩變量的等級列出，以x的等級為順序排列。 3.計算Kendall等級相關系數(shù),例 下表是一些環(huán)狀化合物的相對分子質(zhì)量與用藥后大鼠24h膽汁排泄量資料，要研究相對分子質(zhì)量與膽汁排泄量有無關系。,環(huán)狀化合物的相對分子質(zhì)量與大鼠24h膽汁排泄量關系,Kendall等級相關,1.將第一個變量即相對分子質(zhì)量（x）和第二個變量即膽汁排

15、泄量（y）由大到小列出等級，數(shù)值相同時取平均等級見上表等級列。 2.把兩變量的等級列成下表形式，即以x的等級為順序排列。,Kendall等級相關計算表,Kendall等級相關,表中第1,2行是從第一張表中轉抄過來的，但順序是按x的等級從小到大排列的。第3行是對應于每一個排泄量（y）等級的右邊的更?。òㄏ嗟龋┑牡燃墏€數(shù)。 例如，對于y的等級2，在它右邊只有一個等級（即1）比它小，所以在等級2的下面寫1，也就是第3行第一個數(shù)字是1.而對應于第2行的等級1，在它右邊沒有更小的等級，所以在它下面即第3行第2個數(shù)字為0，其余以此類推。,Kendall等級相關,第4行則是應對于該列的y的等級Ry右邊更大

16、的等級個數(shù)。第3行的合計為11，記為負的；第4行的合計為34，記為正的。兩者的代數(shù)和稱為S，即S=34-11=23.,Kendall等級相關,3.計算Kendall等級相關系數(shù),實際上分母就是等級對子數(shù),例中共有10個數(shù)，則對子數(shù)為：,Kendall等級相關,從S的計算過程可知，S值最小是 ，最大是 ，因此值一定在-1和+1之間。 完全負相關是-1， 完全正相關是+1， 不相關則為0。,Kendall等級相關,當兩變量等級呈完全正相關時，計算S值過程如下表所示,假設的完全正相關資料計算S值,從表中可以看出S=450=45,Kendall等級相關,當兩變量等級呈完全負相關時，計算S值過程如下表所

17、示,假設的完全正相關資料計算S值,從表中可以得出S=045=-45,Kendall等級相關,4. 的假設檢驗。 Kendall等級相關的無效假設是兩變量的等級不相關，即在無效假設成立時S期望值為0或者說的期望值為0，如果沒有相同等級，S的方差為：,Kendall等級相關,如果有相同等級，那么S的方差為：,式中：t為x的相同等級個體數(shù)；u為y的相同等級個體數(shù)。,Kendall等級相關,假設檢驗可用含有連續(xù)性校正的正態(tài)近似檢驗：,例中含有相同等級，故其方差為：,Kendall等級相關,故,得,因u 1.96，P 0.05，結論：分子量等級和排泄量等級是相關的。,Kendall等級相關,若把此例當作無重復等級，用公式 計算方差，則為,則得,u 1.96，P 0.05，結論相同。,例 題,例1 隨機測量了13名8歲健康男童的體重與心臟橫徑，結果見下表。試進行直線相關分析。,例 題,data a1; inp