1、第一章，第五章，相似矩陣和二次型，對稱矩陣的對角化5.3，方陣的特征值和特征向量5.2，向量的內(nèi)積、長度和正交性5.5，二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型5.6，用匹配法將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型5.7，正定二次型2。n維向量空間是三維向量空間的直接擴(kuò)展。然而，三維空間中存在矢量角和長度的概念，這在三維空間中構(gòu)成了豐富的內(nèi)容。5.1向量的內(nèi)積、長度和正交性。在引言中，我們希望將這兩個概念推廣到N維向量空間。在解析幾何中，我們定義了向量的內(nèi)積(數(shù)量積)。建立標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)系后，內(nèi)積可以用矢量坐標(biāo)計(jì)算。性質(zhì)，著名的柯西-施瓦茨不等式，即5，2，向量長度和性質(zhì)，定義，性質(zhì)，(三角不等式可以很容易地通過柯西-施瓦茨不等式證明，

2、見P114)，6，單位向量，夾角，3，單位向量和N維向量之間的夾角，正交，7，4，正交向量組，定義了向量集稱為正交向量集，如果這些向量都是單位向量，則稱為正交向量集。如果向量集是向量空間V的基，它也分別稱為向量空間V的正交基和正規(guī)正交基。8，正交向量集必須是線性獨(dú)立的。9，并且基本解系統(tǒng)(即，要獲得的)是，10，(示例1的推廣，也稱為正交基的擴(kuò)展定理)。設(shè)它是一個正交向量組，并證明了一定有一個由向量組成的正交基。記住，必須有一個非零解。任何非零解決方案都是您正在尋找的。11，5。施密特正交化過程，找到一個正交向量組相當(dāng)于，12。以三個向量為例，從幾何直覺出發(fā)，求出上述公式兩邊之和的內(nèi)積。注意它

3、。然后找出公式(1)的兩邊和內(nèi)積。注意，公式(1)的兩側(cè)可以類似于內(nèi)積來獲得。因此，14，讓它是線性獨(dú)立的，然后兩兩正交，兩兩正交的等價。15，這可以用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格證明。很容易知道解與線性無關(guān)。利用施密特正交化方法，將其再次統(tǒng)一。標(biāo)準(zhǔn)正交基建立后(相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)系)，找到矢量的坐標(biāo)就特別方便。兩邊分別是內(nèi)積(這里不具體計(jì)算)，18，6，正交矩陣，A是正交矩陣，19，記住，證明()。(2)如果甲和乙都是正交矩陣，乙也是正交矩陣；(3)那么，是正交矩陣；(4) P是一個正交矩陣，即正交變換保持向量長度不變。21，第5章，相似矩陣和二次型，對稱矩陣的對角化5.4，相似矩陣5.2，平方矩陣的特征

4、值和特征向量5.1，向量的內(nèi)積、長度和正交性5.5，二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型，5.6用匹配法將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型，5.7正定二次型，平方矩陣的特征值和特征向量22，5.2，如果有一個可逆矩陣P使(1)成立，那么平方矩陣A可以對角化(類似地)，并且滿足，23。將(1)改寫為，24，(注：第一章已經(jīng)找到)，這叫做A的特征多項(xiàng)式和A的特征方程。根據(jù)代數(shù)的基本定理，特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)正好有n個根(根據(jù)多個數(shù)計(jì)算多個根)。因此，n階方陣在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)正好有n個特征值。在本章中，特征值和特征向量的討論總是假設(shè)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行。25，properties，和，26，找到矩陣的特征值。這兩個特征值是，問：的特征向量是

5、實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)。因此，N個特征值是，對角矩陣，下三角矩陣的特征值是什么？28、求矩陣A和b的特征值和特征向量解的特征值(對于矩陣A)，29，A是，對于解方程，相同的解系統(tǒng)是，讓，得到基本解系統(tǒng)，因此，對應(yīng)于特征值的所有特征向量是，30，對于解方程，相同的解系統(tǒng)是，讓，得到基本解系統(tǒng)，因此，對應(yīng)于特征值的所有特征。對于求解方程，對應(yīng)于特征值的所有特征向量是，33，而對于求解方程，對應(yīng)于特征值的所有特征向量是，34?；卮饐栴}：(1)向量滿足，它是A的特征向量嗎？(2)實(shí)矩陣的特征值(特征向量)一定是實(shí)的嗎？(3)當(dāng)且僅當(dāng)所有特征值都是_ _ _ _ _時，矩陣A是可逆的。的特征值為。(4)，A的特征

6、值為_ _ _ _ _?？赡?，a的特征值一定不等于_ _ _ _ _。一個特征值對應(yīng)多少個特征向量？一個特征向量對應(yīng)多少個特征值？(稍后證明)，(7)如果A的每一行中的元素之和等于2，那么A的特征值為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(5)A的特征值與其特征值之間的關(guān)系是什么？特征向量的個數(shù)=_ _ _ _。是的特征值，對應(yīng)于最大的無關(guān)值36。證明了一個特征向量只能對應(yīng)一個特征值。如果A的特征值和相應(yīng)的特征向量都被證明，那么，設(shè)37是方陣A的特征值和相應(yīng)的特征向量。證明了(1)是kA的特征值，對應(yīng)的特征向量仍然是x，(2)是

7、的特征值，對應(yīng)的特征向量仍然是x，(3)當(dāng)A是可逆的，它是的特征值，對應(yīng)的，特征向量仍然是x。的特征值。是的，是的，39，讓三階矩陣的三個特征值，解的特征值都是非零的，所以是可逆的。計(jì)算了的三個特征值，因此，40證明了A的特征值只能取1或2。如果它是A的特征值，那么的特征值是，因?yàn)樗且粋€零矩陣，它的特征值都是零，所以，證明，41，第5章，相似矩陣和二次型，5.4對稱矩陣的對角化，5.3相似矩陣和5.2平方矩陣的特征值。5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型，5.6二次型通過匹配法轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型，5.7正定二次型，42，5.3相似矩陣，設(shè)A和B為n階矩陣，如果有可逆矩陣P，那么B是A的相似矩陣，或者矩陣A和B是

8、相似的。對A的運(yùn)算稱為A上的相似變換，可逆矩陣p稱為相似變換矩陣，它將A轉(zhuǎn)化為b，特別是定義，如果A與對角矩陣相似，那么A是可對角化的。43，性質(zhì)，(1)相似關(guān)系是等價關(guān)系；(2)如果A與B相似，那么r(A)=r(B)；(3)甲與乙相似，那么；因此，a和b具有相同的特征值；(4)甲與乙相似，那么；(5)甲與乙相似，那么；(6)如果甲與乙相似，則與乙相似；(7)甲類似于乙，甲是可逆的，那么它類似于。44、求x、y和a的特征值，求a和B.解(1)，A的特征值等于B的特征值：45，(2)，46。下面討論對角化，它表明如果A可以對角化，它必須有N個線性獨(dú)立的特征向量，即P的N列；相反，如果A有N個線性

9、獨(dú)立的特征向量，把它拼成一個矩陣P(可逆的)，然后反過來知道A可以對角化。當(dāng)且僅當(dāng)A有N個線性獨(dú)立的特征向量時，它可以對角化。對應(yīng)于不同特征值的線性獨(dú)立特征向量在合并后仍然是線性獨(dú)立的。也就是說，如果它們是矩陣A的不同特征值，并且對應(yīng)的不相關(guān)特征向量是，對應(yīng)的不相關(guān)特征向量是，那么它們?nèi)匀皇蔷€性獨(dú)立的。，48，上述公式的兩邊乘以A，然后線性獨(dú)立，類似地獲得，并假設(shè)為、49、50(繼續(xù)第2節(jié)，示例3，首先看矩陣A)。第一步是求特征值，第二步是求線性獨(dú)立的特征向量，即求基本解系統(tǒng)、51，第三步、52，(這是一個雙根，但只有一個線性獨(dú)立的特征向量)，矩陣B沒有三個線性獨(dú)立的特征向量。因?yàn)锽的任何特征

10、向量都屬于它，所以此時它與它有關(guān)；要么它屬于，而此時它與。因此，b是不可對角化的。(見矩陣B)，53，讓所有不同的特征值，然后，注意：它是多個根的數(shù)目，稱為(代數(shù))重?cái)?shù)，和相應(yīng)的最大不相關(guān)特征向量的數(shù)目，稱為幾何重?cái)?shù)。該定理表明，對應(yīng)于任意特征值的不相關(guān)特征向量的個數(shù)至少為1，并且至多不超過其重?cái)?shù)。如果它是單個特征值，它就只有一個不相關(guān)的特征向量。54作為參考，讓相應(yīng)的最大獨(dú)立特征向量為，并將上述特征向量擴(kuò)展到n個線性獨(dú)立向量。是可逆的。當(dāng)且僅當(dāng)A的每個特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)時，N階矩陣A可以對角化。也就是說，讓他們彼此不同。此時，A可對角化的充要條件是A的重?cái)?shù)恰好等于其對應(yīng)的最大不相

11、關(guān)特征和向量的個數(shù)。的幾個特征值有幾個特征向量。56，它們被證明是(足夠的)，并且它們?nèi)匀皇蔷€性獨(dú)立的，所以它們可以角質(zhì)化。在合并每個對應(yīng)的最大不相關(guān)特征向量后，通常(必然)讓A可對角化，57，58，當(dāng)你問X是什么值時，A可以對角化。是只有一個特征向量的單個根(不用討論)。是雙根，A可以對角化，59，建議：A可以對角化，60，第5章，相似矩陣和二次型，5.4對稱矩陣的對角化，5.3相似矩陣，5.2平方矩陣的特征值和特征向量，5.1內(nèi)積，向量的長度和正交性，5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型，5.6二次型通過匹配法轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型，第一步：找到特征值。(所有特征值必須是實(shí)數(shù))，64，第二步：是找到線性獨(dú)立的特征

12、向量。是的，解方程并得到基本解系統(tǒng)(即不相關(guān)的特征向量，幾個向量？)，65，是的，解方程組，并得到基本解系(即不相關(guān)的特征向量，幾個向量？)，前一步驟66和第三步驟：檢查對應(yīng)于多個特征值的特征向量是否正交。如果它們不正交，則通過施密特過程使它們正交化，然后正交特征向量被組合。67和第四步驟：將獲得的歸一化正交特征向量拼接成正交矩陣。單位化：那么，讓，68，提示：讓相應(yīng)的獨(dú)立特征向量是兩個獨(dú)立的解(基本解系統(tǒng))，所以上述方程的任何兩個獨(dú)立解都是相應(yīng)的特征向量。通過求解(1)，我們可以得到正交矩陣Q，69，第5章，相似矩陣和二次型，5.4對稱矩陣的對角化，5.3相似矩陣，5.2平方矩陣的特征值和特

13、征向量，5.1內(nèi)積，向量的長度和正交性，5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型，5.6二次型通過匹配法轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型，以及5.7正定義，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，將其代入(1)的左側(cè)，并將其轉(zhuǎn)化為：如下定義，具有n個變量的二次齊次函數(shù)，三維二次型是，并重寫：二次型的討論將永遠(yuǎn)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)達(dá)成一致！73，74。通常，對于n維的二次型，上述公式稱為二次型的矩陣表示。它還經(jīng)常被記為75，如果你給一個對稱矩陣，你可以唯一地確定一個二次型，因?yàn)樽寈TAx=xTBx (A，B是對稱矩陣)，也就是說，(以三維為例)，讓它相似，讓它相似，76，而對稱矩陣A被稱為二次型矩陣F；f被稱為對稱矩陣A的二次型；對稱矩陣A的秩稱為二次型F的秩，標(biāo)為

14、r(f)。二次型和對稱矩陣是一一對應(yīng)的，這表明：在二次型中，如果A的對稱性不受限制，A是唯一的嗎？78，定義，只有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型(或法語)。平方項(xiàng)系數(shù)只采用標(biāo)準(zhǔn)形式，79。對于給定的二次型，求可逆線性變換(坐標(biāo)變換):將其代入公式(1)，并使其成為標(biāo)準(zhǔn)型。上述過程稱為將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型。80，(其中D是對角矩陣)，注意到D和D都是對稱矩陣，而二次型和對稱矩陣是一一對應(yīng)的，所以“將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型”等價于為給定的對稱矩陣A找到可逆矩陣C，那么，Q:這能做到嗎？你以前研究過嗎？81，82，通過正交變換將二次形式變換成標(biāo)準(zhǔn)形式的步驟，83，解，以及變換成標(biāo)準(zhǔn)形式。求A的特征值，

15、求二次型矩陣，84，求A的歸一化正交特征向量，組合，85，得到正交基本解系，組合，求正交變換矩陣，86，寫出二次型的標(biāo)準(zhǔn)形式，用正交變換，將二次型f變換成標(biāo)準(zhǔn)形式，87、解，二次型矩陣是，它們分別是、并且獲得它們相應(yīng)的特征向量(正交性)，然后通過將它們統(tǒng)一并排列成矩陣89來獲得正交變換矩陣。定義，讓A和B是N階矩陣。如果有一個可逆矩陣C，那么A和B就叫做合同。屬性，(1)契約關(guān)系是一種等價關(guān)系；(2)如果甲和乙合同，那么r(甲)=r(乙)；(3)甲和乙收縮，如果甲是對稱的，那么乙是對稱的。二次標(biāo)準(zhǔn)型等價于將對稱矩陣轉(zhuǎn)化為對角矩陣。在一組n階對稱矩陣中，矩陣的合同等價等價等價于二次型的相互轉(zhuǎn)換。90，定理，二次型必須轉(zhuǎn)化為正