1、平面法向量 在立體幾何中的應用,利用法向量求二面角,(一)平面的法向量的定義：,1、利用平面法向量求直線與平面所成的角：,直線與平面所成的角等于平面的法向量所在的直線與已知直線的夾角的余角。,（二）平面法向量的應用,例,2、利用平面法向量求二面角的大小,求二面角的大小，先求出兩個半平面的法向量的夾角，然后根據二面角與其大小相等或互補求出二面角的大小,2、利用平面法向量求二面角的大小,指入、指出平面的法向量的夾角的大小就是二面角的大小。,例1：如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分別是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中點，求二面角M-EF-N的大小,A,D1,C1,B1,

2、A1,N,M,F,E,D,C,B,(2),A,D1,C1,B1,A1,N,M,F,E,D,C,B,x,y,z,2,（2）如圖，在空間直角坐標系中，BC=2，原點O為BC的中點，點A的坐標是（1，1，0）點D在平面yoz上，且BDC=90，DCB=30,求二面角D-BA-C的大小,A,O,z,y,x,D,C,B,(0,-1,0),(1,1,0),(0,1,0),E,30,解：由題可知B（0，-1，0），C（0，1，0），又A（1，1，0），得AC=1，AB=5，又BC=2， ACB=90，又BCD=30，BDC=90，故BD=1，CD=3，由D點向BC作垂線DE，則DE=3/2，OE=1/2，得

3、D（0，-1/2，3/2）， E（0，-1/2，0）， ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/2),面ABC的法向量為ED，可求得面ABD的法向量為n=(23,-3,1),cos=1/4=arccos(1/4) 二面角D-BA-C的大小為arccos(1/4),例,例在四面體ABCD中，AB面BCD，BC=CD，BCD，ADB=E、F分別是A、AD的中點。 ）求證平面BEF平面ABC； ）求二面角的大小。,1.如圖,正,廣州一模,2.(廣州二模）如圖， D,E,F分別是AB,BC,CP的中點，AB=AC =1,PA=2.(1)求直線PA和平面DEF所成的角的大

4、??； (2)求點P到平面DEF的距離。,小結：,1、本節(jié)主要復習了法向量在求線面角和二面角方面的應用，注意所求角與法向量的聯(lián)系，掌握基本的思想方法。,2、立體幾何問題求解的思想方法的發(fā)展趨勢,用代數的方法解決立體幾何問題是立體幾何的發(fā)展趨勢，而向量是用代數的方法解決立體幾何問題的主要工具，故，學會用向量法解立體幾何問題是學好立體幾何的基礎。,3、利用法向量求點到平面的距離,A,B,如圖：點A到平面的距離d=|BA|cos|,d,A1,n,例2：已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F分別是B1C1和C1D1的中點，求點A1到平面BDEF的距離。,4、利用法向量證明面面垂直問題,m

5、,n,證明面面垂直可轉化為證明它們的法向量垂直,例3：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分別是BB1、CC1上的點，且BE=a，CF=2a 。求證:面AEF面ACF。,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,x,z,y,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,z,y,不防設 a =2，則A（0，0，0），B（3 ，1，0），C（0，2，0），E（ 3，1，2） ，F（0，2，4），AE=（ 3，1，2）AF=（0，2，4），因為，x軸面ACF，所以可取面ACF的法向量為m=（1，0，0），設n=（x,y,z)是面AEF的法向量，則,x,nAE=3x+y+2z=0,nAF=2y+4