1、第三節(jié) 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布,一 二項(xiàng)分布 1 二項(xiàng)分布的定義 定義 在一定條件下做試驗(yàn)，若對(duì)該試驗(yàn)中的每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（即樣本點(diǎn)或基 本事件） ，都唯一地對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定 的實(shí)數(shù) 則稱(chēng) 為隨機(jī)變量，簡(jiǎn) 記為 簡(jiǎn)言之，隨機(jī)變量即為試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)。,例1 設(shè)有產(chǎn)品100件，其中有10件次品，現(xiàn)從中任取5件，問(wèn)：抽得的次品數(shù)是多少？,例2 某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率都是0.8，現(xiàn)連續(xù)向一個(gè)目標(biāo)射擊，直到第一次射中為止，則射擊次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X=1,2,3, 。,隨機(jī)變量的概念在概率統(tǒng)計(jì)中既基本又重要，在實(shí)際問(wèn)題中隨機(jī)變量比比皆是。如在工業(yè)生產(chǎn)中，隨便取一產(chǎn)品，問(wèn)它的質(zhì)量指標(biāo)（強(qiáng)度、硬度、光潔度

2、、纖維長(zhǎng)度， ）是多少，這個(gè)質(zhì)量指標(biāo)就可以看作是一個(gè)隨機(jī)變量。我們要學(xué)會(huì)把隨機(jī)變量概念與實(shí)際工作中的具體問(wèn)題自然地聯(lián)系起來(lái)。,定義 若隨機(jī)變量X僅取有限多個(gè)或可數(shù)無(wú)窮多個(gè)值，則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量。 顯然，例1、例2中的隨機(jī)變量X均為離散型的。,定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為 （有限多個(gè)或可數(shù)無(wú)窮多個(gè)），則稱(chēng) 為X的概率分布或分布列。 概率分布表：,概率分布的性質(zhì)： （1） （2）,不難計(jì)算出例1、例2中的概率分布： 對(duì)例1中的X，有 對(duì)例2中的X，有,定義 若隨機(jī)變量X的概率分布為 則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記作XB(n,p)。其中，0p1, q=1 p 。,顯然，若XB(n,p)

3、，則X取n+1個(gè)值： 由二項(xiàng)式定理 不難得知，二項(xiàng)分布滿足前述概率分布的兩條性質(zhì)。,例3 設(shè)在單次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p(0p1)，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)X滿足 其中,例3中所述的概率模型稱(chēng)為獨(dú)立試驗(yàn)序列概型，也稱(chēng)為貝努里概型，其中的XB(n,p)。由此可解決一些實(shí)際問(wèn)題。 例如，設(shè)有n個(gè)電子元件，每個(gè)發(fā)生故障的概率都是p，則發(fā)生故障的元件個(gè)數(shù)XB(n,p)。等等。,2 二項(xiàng)分布的平均值 定義 設(shè)X的概率分布為 則稱(chēng) 為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望、期望或平均值、均值，也記作M(X),E(X)是描述X取值的平均情況的。關(guān)于此定義的合理性，我們舉例說(shuō)明如下。 例4 設(shè)隨機(jī)變量X的

4、概率分布表為 X 100 200 P 0.01 0.99 由于X僅取100與200兩個(gè)值，可能有人認(rèn)為，X的平均值為100與200的算術(shù)平均值,但另一方面，從直覺(jué)看來(lái)，這個(gè)150并不真正體現(xiàn)X取值的平均，它是將100與200一視同仁的結(jié)果。從概率的角度分析，X幾乎只取200為值（因0.99 1），而取100為值的可能性微乎其微（0.01 0）。因此我們斷言， 這個(gè)平均值應(yīng)該非常接近200，而不是150。究竟怎樣算呢？ 由概率的統(tǒng)計(jì)定義，假設(shè)進(jìn)行了1000次（獨(dú)立重復(fù)）試驗(yàn)，則大約有10次使X取100為值，而大約有990次使X取200為值。我們認(rèn)為X的平均值應(yīng)為這10個(gè)“100”與這990個(gè)“2

5、00”的算術(shù)平均值：,這個(gè)199就是X的真正的平均值，而它恰是經(jīng)過(guò)“X的取值乘以相應(yīng)的概率后再累加”后而得到的（加權(quán)平均）。此即前述定義中的E(X),例5 設(shè)XB(n ,p)，則E(X)=np,3 二項(xiàng)分布的標(biāo)準(zhǔn)差 定義 設(shè)X為隨機(jī)變量，則稱(chēng) 為X的方差，稱(chēng) 為X的標(biāo)準(zhǔn)差。 解釋?zhuān)篋(X)是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)。,為什么呢？容易想象：既然E(X)為X的平均值， 則可以E(X)為基準(zhǔn)，而用 刻劃隨機(jī)波 動(dòng)（分散）程度。為了消除隨機(jī)性在人們頭腦中形成的不太確切的印象，可考慮所謂平均波 動(dòng)程度 （注意： 也是 隨機(jī)變量）。這樣做原則上是可以的，但絕對(duì)值參與運(yùn)算往往不方便。為了理論上的合理和 運(yùn)算上的方便，通常用 來(lái)刻劃隨 機(jī)波動(dòng)程度。這樣，總的（平均）波動(dòng)程度就 變成 ，這就是方差D(X)。,標(biāo)準(zhǔn)差的概率意義與方差是類(lèi)似的，只不過(guò)大小不一定相等而已。 顯然，方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越大，波動(dòng)就越大（穩(wěn)定性越差）；方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越小，波動(dòng)就越?。ǚ€(wěn)定性越好）。,可以證明：若XB(n ,p