1、第四章連續(xù)時間傅里葉變換。在前一章中，我們研究了如何將周期信號分解成指數(shù)信號的線性疊加，這對于我們的信號處理是非常方便的。同時，我們可以看到這種表示是如何用來描述LTI系統(tǒng)對這些信號的影響。那么，非周期信號能被類似地處理嗎？本章研究從周期信號到非周期信號的擴展。對于非周期信號，它們的頻率是無限接近的。可以看出，各種各樣的信號，包括所有具有有限能量的信號，也可以用復指數(shù)信號的線性組合來表示。1對于周期信號，這些復指數(shù)基本信號構造單位都是諧波關系；4.0，因此，作為線性組合表示的形式是積分，而不是求和。處理原理：非周期信號可以視為無限周期的周期信號。在這種表示中獲得的系數(shù)譜稱為傅里葉變換；利用這些

2、系數(shù)將信號表示為復指數(shù)信號線性組合的綜合積分，稱為傅里葉逆變換。更準確地說，在周期信號的傅立葉級數(shù)表示中，當周期增加時，基頻降低，諧波成分的頻率變得更接近。當周期變?yōu)闊o窮大時，這些頻率分量形成一個連續(xù)的域，傅立葉級數(shù)的和成為一個積分。傅立葉的兩個主要貢獻是“周期信號可以表示為諧波關系中正弦信號的加權和?！备盗⑷~的第一個主要論點是“非周期信號可以用正弦信號的加權積分來表示?！备盗⑷~的第二個主要論點是非周期信號的4.1表示法：連續(xù)時間傅立葉變換。為了更深入地理解傅里葉變換表示的本質，我們從連續(xù)時間方波的傅里葉級數(shù)表示開始。該信號的基波周期為t，基波頻率為。該方波信號的傅立葉級數(shù)為：圖4.2周期性方

3、波T1的傅立葉級數(shù)系數(shù)及其包絡是固定的。t=8t1，t=4t1，t=16t1、建立非周期信號傅里葉表示的基本思想是，當周期信號的周期t趨于零時，它就變成非周期信號，頻率就變成連續(xù)變量。對于周期信號，當周期信號的周期t接近時，它演變成非周期信號，傅立葉變換，逆傅立葉變換，(4月14日)，并且它們之間的關系是：周期信號的頻譜是非周期信號的頻譜的采樣；而非周期信號的頻譜是周期信號頻譜的包絡。其中綜合公式4-8是用于從連續(xù)信號的頻域表達式X(j)獲得時域表達式x(t)的公式，這被稱為逆傅立葉變換。分析公式49是用于從信號的時域表達式x(t)獲得頻域表達式X(j)的公式，其被稱為傅立葉變換或傅立葉積分。

4、由此，得到了非周期信號的傅里葉變換公式：當時：傅里葉變換對。信號的時域表達式x(t)和頻域表達式X(j)通過傅立葉變換和逆變換連接，這被稱為傅立葉變換對。注：1時域表達式x(t)是一個關于時間的函數(shù)，它表示不同的時間點。頻域表達式X(j)表示信號被分解成不同頻率的指數(shù)信號的組合(只有這些指數(shù)信號的頻率變化是連續(xù)的)，自變量是頻率。兩者都是同一信號的不同表達，但不是不同的信號。它們之間的變換(即傅立葉變換和逆變換)也是從時域表達式導出頻域表達式或從同一信號的頻域表達式導出時域表達式的過程。(a) X()是密度函數(shù)的概念(b) X()是連續(xù)譜(c) X()包含從零到無限高頻率的所有頻率分量(d)每

5、個頻率分量的頻率不是諧波。注：綜合公式(4.8)對非周期信號的影響與公式(3.38)對周期信號的影響相同，因為兩者都相當于將信號表示為復指數(shù)信號的線性組合。如果非周期信號的總能量(即，實時域中絕對值的平方積分)有限，則信號的傅立葉變換收斂。或者，滿足以下三個條件的信號的傅立葉變換也收斂：1 .在整個域： 2中絕對可積。在任何有限的時間間隔內(nèi)，只有有限數(shù)量的波動；3任何有限區(qū)間都只有有限個不連續(xù)點，每個不連續(xù)點都是一個有限值。4.12傅立葉變換的收斂性，雖然這兩組條件給出了信號進行傅立葉變換的充分條件，但在下一節(jié)中可以看出，如果在變換過程中可以使用脈沖函數(shù)，那么在無限區(qū)間內(nèi)既不是絕對可積的也不是

6、平方可積的周期信號也可以被視為具有傅立葉變換。這樣，就有可能把傅立葉級數(shù)和傅立葉變換納入一個統(tǒng)一的框架。4.1.3連續(xù)時間傅里葉變換例子，一個矩形脈沖信號，振幅譜：相位譜：譜圖，振幅譜，相位譜，帶寬：兩個單邊指數(shù)信號，譜圖，振幅譜：相位譜：三個DC信號，不滿足絕對可積條件，不能直接定義確定，無限時域，頻帶雖然我們的注意力主要集中在非周期信號在前面一節(jié)，事實上，傅里葉變換也可以建立周期信號。這樣，可以在統(tǒng)一的框架內(nèi)考慮周期性和非周期性信號。事實上，將會看到：4.2周期信號的傅立葉變換，1可以從周期信號的傅立葉級數(shù)表示直接構造周期信號的傅立葉變換；所獲得的變換由頻域中的一系列脈沖組成，每個脈沖的面

7、積與傅立葉系數(shù)成正比。顯然，周期信號不滿足上述收斂判斷公式，并且通過將周期信號x(t)代入傅立葉變換公式獲得的積分結果是無限的。那么如何找到它的傅立葉變換呢？它是通過逆傅立葉變換在教科書中找到的。因為周期信號的傅里葉變換應該與其傅里葉級數(shù)系數(shù)成正比，而且根據(jù)計算它是無限的，所以我們猜測它是一個脈沖。因此，通過找到頻域脈沖信號的傅立葉逆變換?？紤]一個信號x(t)，它的傅里葉變換X(jw)是一個單脈沖，它的面積是它出現(xiàn)的地方，也就是說，它是從(4.8)的逆變換公式中得到的。如果X(jw)是一組頻率相等的脈沖函數(shù)的線性組合，也就是說，使用(4.8)，它可以是具有傅立葉級數(shù)系數(shù)的周期信號的傅立葉變換可

8、以被看作是出現(xiàn)在諧波頻率上的一系列脈沖函數(shù)，并且出現(xiàn)在第kth諧波頻率上的脈沖函數(shù)的面積是第kth傅立葉級數(shù)系統(tǒng)的兩倍。例4.6，再次考慮圖4.1中的方波信號，其傅立葉級數(shù)系數(shù)為：因此，該信號的傅立葉變換X(jw)為：其差值僅是比例因子，并且用脈沖函數(shù)代替條形圖，4.3連續(xù)時間傅立葉變換的性質，本節(jié)主要介紹連續(xù)時間傅立葉變換的性質。這些性質可以從兩個公式本身的運算中導出。掌握它不僅有助于我們進行變換和逆變換，而且有助于我們將來利用傅立葉變換解決一些實際問題。主要內(nèi)容，對稱性，線性性質，奇偶性，虛擬現(xiàn)實，標度變換性質，時移性質，頻移性質，微分性質，時域積分性質，意義，傅立葉變換是唯一的。傅里葉變換的性質揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換性質的目的是：(1)了解特征的內(nèi)在聯(lián)系；使用屬性查找x()；了解在通信系統(tǒng)領域的應用。，對稱屬性，1屬性，2含