1、第四講 復數的三角形式與指數形式,4.1復數的三角形式 4.2復數的指數形式 4.3復數的應用,在中學，我們已經學習過復數及其用代數形式a+bi表達的四則運算法則及算律。,在大學數學中我們學習過建立在實數集合上的微積分稱為實分析；同樣，在復數集合上也可以討論函數、導數、微分、積分等問題，這就是大學數學本科（或研究生）專業(yè)里一門必修課復變函數,因此我們有必要對復數了解得更多些。,本講講三個問題,4.1、復數的三角形式,一、復數的幅角與模,我們知道復數a+bi對應著復平面上的點(a, b)，也對應復平面上一個向量（如右圖所示）,這個向量的長度叫做復數a+bi的模，記為|a+bi|，一般情況下，復數

2、的模用字母r表示。,同時，這個向量針對x軸的正方向有一個方向角，我們稱為幅角，記為arg(a+bi)，幅角一般情形下用希臘字母表示。,顯然,把它們代入復數的代數形式得：,4.1、復數的三角形式,這樣，我們把 叫做復數a+bi的三角形式,二、復數三角形式的運算法則,引入復數三角形式的一個重要原因在于用三角形式進行乘除法、乘方、開方相對于代數形式較為簡單。,所以這里只介紹三角形式的乘法、除法、乘方與開方的運算法則。,1、復數的乘法,設,那么,4.1、復數的三角形式,二、復數三角形式的運算法則,1、復數的乘法,這說明，兩個復數相乘等于它們的模相乘而幅角相加,即,這個運算在幾何上可以用下面的方法進行：

3、,將向量z1的模擴大為原來的r2倍，然后再將它繞原點逆時針旋轉角2，就得到z1z2。,4.1、復數的三角形式,二、復數三角形式的運算法則,2、復數的除法,4.1、復數的三角形式,二、復數三角形式的運算法則,2、復數的除法,即,這說明，兩個復數相除等于它們的模相除而幅角相減,這個運算在幾何上可以用下面的方法進行：,將向量z1的?？s小為原來的r2分之一，然后再將它繞原點順時針旋轉角2，就得到z1z2。,3、復數的乘方。,利用復數的乘法不難得到,這說明，復數的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。,4、復數的開方,對于復數 ，根據代數基本定理及其推論知，任何一個復數在復數范圍內都有n個不同的n次方根。

4、,將向量z1的模變?yōu)樵瓉淼膎次方，然后再將它繞原點逆時針旋轉角n，就得到zn。,4.1、復數的三角形式,二、復數三角形式的運算法則,3、復數的乘方。,這個運算在幾何上可以用下面的方法進行：,設 的一個n次方根為,4、復數的開方,4.1、復數的三角形式,二、復數三角形式的運算法則,那么,所以,即,顯然，當k從0依次取到n1,所得到的角的終邊互不相同，但k從n開始取值后，前面的終邊又周期性出現。,因此，復數z的n個n次方根為,4、復數的開方,4.1、復數的三角形式,二、復數三角形式的運算法則,從求根公式可以看出，相鄰兩個根之間幅角相差,所以復數z的n個n次方根均勻地分布在以原點為圓心，以它的模的n

5、次算術根為半徑的圓周上。,因此，求一個復數z的全部n次方根，可以用下面的幾何手段進行：,先作出圓心在原點，半徑為 的圓，然后作出角 的終邊,以這條終邊與圓的交點為分點，將圓周n等分，那么，每個等分點對應的復數就是復數z的n次方根。,4.2、復數的指數形式,在對復數三角形式的乘法規(guī)則討論中，我們發(fā)現，復數的三角形式將復數的乘法“部分地”轉變成加法（模相乘，幅角相加）,這種改變運算等級的現象在初等函數中有過體現：,對數函數與指數函數,前者將兩個同底冪的乘積變成同底的指數相加；后者將兩個真數積的對數變成兩個同底對數的和。,從形式上看，復數的乘法與指數函數的關系更為密切些：,4.2、復數的指數形式,根

6、據這個特點，復數 應該可以表示成某種指數形式,即復數應該可以表示成 的形式,這里有三個問題需要解決：,（1）反映復數本質特征的三個因素：模r、幅角、虛數單位i應各自擺放在什么位置？,（2）在這些位置上它們應呈現什么形態(tài)？,（3）作為指數形式的底應該用什么常數？,先來研究第一個問題.,4.2、復數的指數形式,再重新觀察下面的等式,首先，顯然模r應該占據 中系數y的位置,其次，幅角應該占據 中指數x的位置,對于虛數單位i，如果放到系數y的位置會怎樣？,由于,等式右邊是實數，對于任意虛數而言，這是不可能的。,因此幅角也應該占據指數的位置。,這樣第二個問題就產生了：它與幅角一起在指數的位置上是什么關系

7、？（相加？相乘？）,4.2、復數的指數形式,幅角與虛數單位i是相加的關系會怎樣？,先考察模為1的復數,如果寫成 的形式,一方面，由于,與 的形式差別不是很大，,其次,在復數的乘方法則中，應該僅是幅角的n倍而沒有虛數單位也要n倍，所以虛數單位與幅角不應該是相加關系，而應該是相乘關系,現在來審查乘法、除法和乘方法則是否吻合,4.2、復數的指數形式,乘除法保持“模相乘除、幅角相加減”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本質特征,下面來解決最后一個問題：應該選用哪個常數作為底數？,我們暫時將 形式化地看做r與的“二元函數”,數學是“形式化的科學”，因此，一些形式化的性質應該“形式化”地保持不變。,下

8、面我們將 等式兩邊對形式化地求“偏微分”,4.2、復數的指數形式,于是由,這樣我們利用不太嚴格的推理得到了復數的第三種表現形式指數式,從復數的模與幅角的角度看，復數的指數形式其實是三角形式的簡略化,對于指數形式的嚴格證明可以參讀復數的指數形式的證明,的證明：泰勒級數法,寫成泰勒級數形式：,將,代入可得：,e iz = cos z+ i sin z（歐拉公式） z R,將函數,4.2、復數的指數形式,由復數的三角形式與指數形式，我們很容易得到下面的兩個公式：,這兩個公式被統(tǒng)稱為歐拉公式,在復數的指數形式中，令r=1,=，就得到下面的等式,或,數學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看著它但卻

9、不能理解它。,它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的五個數字就這么神秘地聯系到了一起：兩個超越數自然對數的底e，圓周率；三個單位虛數單位i、自然數的乘法單位1和加法單位0。,或,4.2、復數的指數形式,關于自然對數的底e和圓周率，這里我想多說那么幾句：它們是迄今為止人類所發(fā)現的兩個彼此獨立的超越數，盡管從理論上我們知道，超越數比有理數、代數數（可以表示為有理系數一元多項式的根的數）要多得多，但為人類所認識的超越數卻僅此兩個！,令人不可思議的是，它們居然憑借這么一個簡單關系彼此聯系著。,在復數的指數形式中，令r=1,=，就得到下面的等式,4.3、復數的應用,利用復數的三角形式，我們可

10、以比較容易地解決一些數學其他領域里的問題。由于我們這門課的特點，我們僅限于在初等數學領域里舉兩個例子。,例1：三角級數求和,那么對任何自然數k，有,于是,4.3、復數的應用,例1：三角級數求和,解：,另一方面,4.3、復數的應用,例1：三角級數求和,解：,4.3、復數的應用,例1：三角級數求和,即,所以,4.3、復數的應用,例2：設M是單位圓周 x2 + y2 = 1上的動點，點N與定點A(2, 0)和點M構成一個等邊三角形的頂點，并且MNAM成逆時針方向，當M點移動時，求點N的軌跡。,分析：此題若用一般解析幾何的方法尋找點M與N之間的顯性關系是比較困難的。下面用復數的乘法的幾何意義來尋找這種關系。,設M、N、A對應的復數依次為：,那么向量AM可以用向量AN繞A點逆時針旋轉300度得到,用復數運算來實現這個變換就是,4.3、復數的應用,例2：設M是單位圓周 x2 + y2 = 1上的動點，點N與定點A(2, 0)和點M構成一個等邊三角形的頂點，并且MNAM成逆時針方向，當M點移動時，求點N的軌跡。,即,所以,但,故,4.3、復數的應用,例2：設M是單位圓周 x2 + y2 = 1上的動點，點N與定點A(2, 0)和點M構成一個等邊三角形的頂點，并且MNAM成逆時針方向，當M點移動時，求點N的