1、計(jì)算流體力學(xué)CFD(3),網(wǎng)格生成與坐標(biāo)變換,引言,引言,在CFD里，確定適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格是一件非常重要的事情。,網(wǎng)格會(huì)影響數(shù)值計(jì)算的成功與失敗。,引言,標(biāo)準(zhǔn)的有限差分方法需要均勻網(wǎng)格。,如果在流場內(nèi)生成了非均勻網(wǎng)格，也需要將它變換成均勻分布的矩形網(wǎng)格。,引言,采用均勻網(wǎng)格計(jì)算翼型繞流有如下問題：,1）有些網(wǎng)格點(diǎn)落入翼型內(nèi)部，而不是在流場里，如何給定這些點(diǎn)上的流動(dòng)參量？,引言,采用均勻網(wǎng)格計(jì)算翼型繞流有如下問題：,2）只有少量的網(wǎng)格點(diǎn)落在翼型表面上，這也不好。因?yàn)橐硇捅砻媸菢O其重要的邊界，翼型表面上的邊界條件確定了整個(gè)流動(dòng)。,引言,1）翼型內(nèi)部沒有網(wǎng)格點(diǎn),2）網(wǎng)格點(diǎn)落在翼型表面上,引言,網(wǎng)格既不是矩

2、形的，也不是均勻分布的。通常的差分很難應(yīng)用，必須轉(zhuǎn)換。,引言,控制方程從物理平面(x,y)轉(zhuǎn)換到計(jì)算平面(,),物理平面,計(jì)算平面,貼體網(wǎng)格,方程的一般變換,方程的一般變換,考慮二維非定常流場，,從物理平面(x,y,t),計(jì)算平面(,),物理平面,計(jì)算平面,方程的一般變換,從物理平面(x,y,t),計(jì)算平面(,),下標(biāo)表示求偏導(dǎo)數(shù)過程中保持不變的量,方程的一般變換,從物理平面(x,y,t),計(jì)算平面(,),下標(biāo)表示求偏導(dǎo)數(shù)過程中保持不變的量,方程的一般變換,從物理平面(x,y,t),計(jì)算平面(,),方程的一般變換,方程的一般變換,方程的一般變換,方程的一般變換,從物理平面(x,y,t),計(jì)算平

3、面(,),方程的一般變換,方程的一般變換,方程的一般變換,度量和雅可比行列式,度量和雅可比行列式,從物理平面(x,y,t),計(jì)算平面(,),涉及網(wǎng)格幾何性質(zhì)的項(xiàng)，如/x,/y,/x,/y稱為度量。,度量和雅可比行列式,從物理平面(x,y,t),計(jì)算平面(,),如果上述變換式用解析形式給出，則度量也能得到解析值。,度量和雅可比行列式,從物理平面(x,y,t),計(jì)算平面(,),大部分情況下，上述關(guān)系式是用數(shù)值形式給出的，則度量用有限差分計(jì)算。,度量和雅可比行列式,從物理平面(x,y,t),計(jì)算平面(,),逆變換,下面推導(dǎo)用逆變換來表示導(dǎo)數(shù),從計(jì)算平面(,),物理平面(x,y,t),度量和雅可比行列

4、式,令,u的全微分為：,則：,度量和雅可比行列式,由,得：,度量和雅可比行列式,分母上的行列式稱為雅可比行列式，記作,度量和雅可比行列式,由,得：,度量和雅可比行列式,度量和雅可比行列式,寫成更一般的形式：,度量和雅可比行列式,用逆變換來表示導(dǎo)數(shù)（含J）：,度量和雅可比行列式,用直接變換來表示導(dǎo)數(shù)(不含J)：,下面根據(jù)逆度量和直接度量之間的關(guān)系式來推導(dǎo)怎么用逆變換來表示導(dǎo)數(shù)。,度量和雅可比行列式,考慮二維的直接變換：,有：,度量和雅可比行列式,即：,度量和雅可比行列式,再考慮二維的逆變換：,有：,度量和雅可比行列式,即：,度量和雅可比行列式,由：,得：,度量和雅可比行列式,由：,和,得：,度量

5、和雅可比行列式,即：,度量和雅可比行列式,因?yàn)樾辛惺睫D(zhuǎn)置后，其值不變，則：,故：,度量和雅可比行列式,于是就得到了直接度量和逆度量之間的關(guān)系式：,直接度量,逆度量,度量和雅可比行列式,用直接變換來表示導(dǎo)數(shù)(不含J)：,代入,得到用逆變換表示的導(dǎo)數(shù)：,再論適合CFD使用的控制方程,再論適合CFD使用的控制方程,在物理平面，流動(dòng)方程的強(qiáng)守恒形式,在計(jì)算平面，還能寫成如下的形式嗎？,再論適合CFD使用的控制方程,在物理平面，流動(dòng)方程的強(qiáng)守恒形式,答案是能。,在計(jì)算平面，可以寫成以下形式：,拉伸（壓縮）網(wǎng)格,拉伸（壓縮）網(wǎng)格,流過平板的粘性流,直接變換（解析變換）,逆變換（解析變換）,拉伸（壓縮）網(wǎng)格

6、,直接變換（解析變換）,逆變換（解析變換）,拉伸（壓縮）網(wǎng)格,物理平面上的連續(xù)性方程,計(jì)算平面上的連續(xù)性方程：,拉伸（壓縮）網(wǎng)格,得：,直接變換（解析變換）,拉伸（壓縮）網(wǎng)格,計(jì)算平面上的連續(xù)性方程：,拉伸（壓縮）網(wǎng)格,物理平面上的連續(xù)性方程,計(jì)算平面上的連續(xù)性方程：,拉伸（壓縮）網(wǎng)格,逆變換（解析變換）,下面根據(jù)逆變換關(guān)系式來推導(dǎo)計(jì)算平面上的連續(xù)性方程。,拉伸（壓縮）網(wǎng)格,物理平面上的連續(xù)性方程,用逆變換來表示導(dǎo)數(shù)（含J）：,拉伸（壓縮）網(wǎng)格,逆變換（解析變換）,計(jì)算平面上的連續(xù)性方程：,貼體坐標(biāo)系：橢圓型網(wǎng)格生成,貼體坐標(biāo)系：橢圓型網(wǎng)格生成,a) 物理平面,b) 計(jì)算平面,擴(kuò)張管道內(nèi)流,物

7、理平面中貼體曲線坐標(biāo)系,計(jì)算平面內(nèi)均勻矩形網(wǎng)格,貼體坐標(biāo)系：橢圓型網(wǎng)格生成,a) 物理平面,O型網(wǎng)格,qp和sr是同一條曲線,割縫,貼體坐標(biāo)系：橢圓型網(wǎng)格生成,b) 計(jì)算平面,貼體坐標(biāo)系：橢圓型網(wǎng)格生成,b) 計(jì)算平面,a) 物理平面,四周邊界條件給定，采用橢圓型方程來生成網(wǎng)格，稱為橢圓型網(wǎng)格生成,最簡單的橢圓型方程是Laplace方程：,貼體坐標(biāo)系：橢圓型網(wǎng)格生成,Laplace方程：,貼體坐標(biāo)系：橢圓型網(wǎng)格生成,計(jì)算平面（標(biāo)出了邊界條件，并畫了一個(gè)內(nèi)點(diǎn)）,貼體坐標(biāo)系：橢圓型網(wǎng)格生成,b) 計(jì)算平面,a) 物理平面,變換沒有解析式，而是一組數(shù)值,控制方程中所要求的度量可以用有限差分計(jì)算，并且

8、常常采用中心差分,貼體坐標(biāo)系：橢圓型網(wǎng)格生成,b) 計(jì)算平面,a) 物理平面,這里生成網(wǎng)格采用的是橢圓型方程，和流動(dòng)的性質(zhì)無關(guān),流動(dòng)的控制方程無論是橢圓型、雙曲型還是拋物型的，都可以采用這種橢圓型的方程來生成網(wǎng)格。,貼體坐標(biāo)系：橢圓型網(wǎng)格生成,采用橢圓型方程生成的繞翼型C型網(wǎng)格,在亞聲速流中，擾動(dòng)會(huì)傳播得非常遠(yuǎn)，因此網(wǎng)格的外邊界放在了離翼型非常遠(yuǎn)的地方。,貼體坐標(biāo)系：橢圓型網(wǎng)格生成,翼型附近網(wǎng)格分布的細(xì)節(jié),自適應(yīng)網(wǎng)格,自適應(yīng)網(wǎng)格,邊界層內(nèi)沒有網(wǎng)格點(diǎn),邊界層內(nèi)至少有一些網(wǎng)格點(diǎn),應(yīng)該將大量的、密集的網(wǎng)格點(diǎn)分布在流場變量存在大的梯度的那部分流動(dòng)區(qū)域內(nèi)，從而改進(jìn)CFD計(jì)算的數(shù)值精度。,自適應(yīng)網(wǎng)格,邊界

9、層內(nèi)沒有網(wǎng)格點(diǎn),邊界層內(nèi)至少有一些網(wǎng)格點(diǎn),因?yàn)槊芫W(wǎng)格能夠減小截?cái)嗾`差，而且要想捕捉流動(dòng)的物理特性，梯度大的地方就需要更多的網(wǎng)格點(diǎn)。,自適應(yīng)網(wǎng)格,邊界層內(nèi)沒有網(wǎng)格點(diǎn),邊界層內(nèi)至少有一些網(wǎng)格點(diǎn),沒有捕捉到邊界層,更真實(shí)地表現(xiàn)了邊界層,自適應(yīng)網(wǎng)格,它利用求解的流場特征確定網(wǎng)格點(diǎn)在物理平面中的位置。,自適應(yīng)網(wǎng)格是能夠自動(dòng)向流場中大梯度區(qū)域聚集的網(wǎng)格。,自適應(yīng)網(wǎng)格,自適應(yīng)網(wǎng)格是一種隨時(shí)間變化的網(wǎng)格。網(wǎng)格的調(diào)整與流場變量同步。,自適應(yīng)網(wǎng)格,自適應(yīng)網(wǎng)格的優(yōu)點(diǎn)：,1）當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量固定時(shí)，可以提高計(jì)算精度。,2）給定精度時(shí)，可以用較少的網(wǎng)格點(diǎn)來達(dá)到這一精度。,自適應(yīng)網(wǎng)格,a) 物理平面,B和C是比例因子， b和c

10、是梯度放大因子,g是流場原始變量，如p,或T,自適應(yīng)網(wǎng)格,b) 計(jì)算平面,B和C是比例因子， b和c是梯度放大因子,g是流場原始變量，如p,或T,自適應(yīng)網(wǎng)格,a) 物理平面,自適應(yīng)網(wǎng)格,a) 物理平面,自適應(yīng)網(wǎng)格,a) 物理平面,為物理平面固定點(diǎn)(x,y)處的時(shí)間變化率，其值不為零。,自適應(yīng)網(wǎng)格,a) 物理平面,為物理平面固定點(diǎn)(x,y)處的時(shí)間變化率，其值不為零。,自適應(yīng)網(wǎng)格,自適應(yīng)網(wǎng)格,自適應(yīng)網(wǎng)格,b) 計(jì)算平面,流動(dòng)控制方程在計(jì)算平面求解。相應(yīng)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)采用下列式子計(jì)算：,網(wǎng)格生成的進(jìn)展,覆蓋F-20飛機(jī)外形的橢圓型自適應(yīng)網(wǎng)格,用橢圓型網(wǎng)格生成，結(jié)合自適應(yīng)網(wǎng)格，生成的三維貼體網(wǎng)格,求解三維歐

11、拉方程的計(jì)算結(jié)果,F-20上表面壓力系數(shù)的等值線分布,網(wǎng)格生成的進(jìn)展,求解三維歐拉方程的計(jì)算結(jié)果,F-20機(jī)翼展向不同位置處壓力系數(shù)沿機(jī)翼截面上下表面的變化,網(wǎng)格生成的進(jìn)展,求解三維歐拉方程的計(jì)算結(jié)果,CFD計(jì)算給出的F-20上的機(jī)翼渦,網(wǎng)格生成的進(jìn)展,網(wǎng)格由多個(gè)網(wǎng)格塊組成，每一個(gè)網(wǎng)格塊都互相獨(dú)立，網(wǎng)格塊之間由交界面分開。,覆蓋F-16飛機(jī)的分塊網(wǎng)格,網(wǎng)格生成的進(jìn)展,有限體積網(wǎng)格生成的進(jìn)展,有限體積網(wǎng)格生成的進(jìn)展,結(jié)構(gòu)網(wǎng)格：,物理平面上的網(wǎng)格盡管是非均勻的，但它們都有一定的“規(guī)律性”，物理平面上的網(wǎng)格線與計(jì)算平面中,等于常數(shù)的線對應(yīng)，而且同族坐標(biāo)線互不相交。,有限體積網(wǎng)格生成的進(jìn)展,結(jié)構(gòu)網(wǎng)格：,等于常數(shù)的線互不相交，等于常數(shù)的線互不相交。,有限體積網(wǎng)格生成的進(jìn)展,結(jié)構(gòu)網(wǎng)格：,這些網(wǎng)格存在著某種“結(jié)構(gòu)”，這樣的網(wǎng)格稱為結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。,有限體積網(wǎng)格生成的進(jìn)展,非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格：,有限體積法不需要結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，它可以應(yīng)用于任意形狀的網(wǎng)格單元，可以用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。,環(huán)繞多元翼型的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,有限體積網(wǎng)格生成的進(jìn)展,非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格：,非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格沒有任何的規(guī)律性，沒有對應(yīng)于，等于常數(shù)的坐標(biāo)線。,壓縮拐角上的