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文檔簡介

1、第二節(jié) 齊次線性方程組,齊次線性方程組的概念,齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,齊次線性方程組的解空間,一、齊次線性方程組,齊次線性方程組,若令,則 （1）可寫成矩陣形式:,則 (1) 也可寫成向量形式:,那么齊次線性方程組在什么條件下有非零解？ 當(dāng)方程組有非零解時，如何求出其所有的解？,由(3)式可知:如果方程組(2)只有零解,即等式,線性無關(guān),那么R(A)=n。,如果方程組(2)有非零解,則向量組,線性相關(guān),那么R(A)n,定理,證明,只有系數(shù)全為零時成立,從而,反之亦然。,齊次線性方程組的解有兩個重要的性質(zhì)如下：,二、齊次線性方程組的解空間,若用S表示方程組(1)的全體解向量所組成的集合 則上述

2、兩個性質(zhì)即為：,這說明集合 S 對向量的線性運算封閉，所以S 構(gòu) 成 的一個子空間，稱其為齊次線性方程組(1) 的解空間。,是齊次線性方程組,的一組解向量，若它滿足下列條件：,三、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,定義,解齊次線性方程組的關(guān)鍵即求其基礎(chǔ)解系， 進而求出通解。,注意,得行最簡形矩陣,定理,以B為系數(shù)矩陣的方程組,稱為方程組（*）的自由變量，,因為向量組（*）線性無關(guān)，按定理，加長的 向量組（*）也是線性無關(guān)的，這樣就得線性方 程組(1) 的 n-r個線性無關(guān)的解。,則 仍是,的解，并且,的基礎(chǔ)解系，即證明了當(dāng) R（A）= r n 時齊次,使基礎(chǔ)解系由n- r個解向量組成。,說明,方程組的

3、基礎(chǔ)解系不是唯一的,方程組的基礎(chǔ)解系又稱為解空間的基,若 是 的基礎(chǔ)解系， 則其通解為,解 對系數(shù)矩陣進行初等行變換，化成階梯形矩陣,例 求解齊次線性方程組,由 知方程組有非零解且與下面方程組同解,選 為自由變量，得,令,解得,令,解得,從而得到一個基礎(chǔ)解系,方程組的通解為,為任意常數(shù),其中,注意：,將（1）式寫成：,則直接可以寫出方程組的通解為：,為任意常數(shù),其中,例 求解齊次線性方程組,解 對系數(shù)矩陣進行初等行變換，化成階梯形矩陣,得同解方程組,解得,故得方程組的一個基礎(chǔ)解系為：,方程組的通解為,即,同上例：將系數(shù)矩陣化成行最簡矩陣,得同解方程組：,則可得方程的通解：,線性方程組的解法,（1）應(yīng)用克萊姆法則,（2）利用初等變換,特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形， 計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可 用來證明很多命題,特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有 無窮

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