1、4,4,1,數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心揭示數(shù)學(xué)本質(zhì),華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 張奠宙 2007. 10.27. 上海,4,4,2,第一部分,國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育動(dòng)態(tài),4,4,3,一。美國(guó)數(shù)學(xué)教育的走向： 重視基礎(chǔ),4,4,4,美國(guó)“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)”。,1998年， 美國(guó)加州一批數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家（華裔著名數(shù)學(xué)家伍鴻熙是主要代表人物之一）， 公開批評(píng)美國(guó)和加州的數(shù)學(xué)教育。指責(zé)美國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)術(shù)要求太低，基礎(chǔ)寬而不深，被形容為“一英里寬、一英寸深”。數(shù)學(xué)教材中嚴(yán)謹(jǐn)不夠，被諷刺為“模糊數(shù)學(xué)”，主張大幅度進(jìn)行改革。 另一方面，美國(guó)最大的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師組織 全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）則認(rèn)為美國(guó)數(shù)學(xué)教育基本面是好的，雙方公開

2、論戰(zhàn)。,4,4,5,數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)文件發(fā)表： 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2006年9月12日， 美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)發(fā)布數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)，對(duì)2000年的數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)做了補(bǔ)充說明， 力求在保持創(chuàng)造、發(fā)展的同時(shí)， 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要性。 這也是近10年來美國(guó)“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)”的一項(xiàng)重要結(jié)果。,4,4,6,聚焦“基礎(chǔ)”,課程焦點(diǎn)是各個(gè)年級(jí)（K-8）的重要數(shù)學(xué)課題。這些教學(xué)領(lǐng)域著重為各個(gè)年級(jí)的課程設(shè)計(jì)和教學(xué)提供組織結(jié)構(gòu)。這些課題處于數(shù)學(xué)的中心地帶：它們所承載的知識(shí)和技能對(duì)受教育的公民是必不可少的，并為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)。,4,4,7,強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)：基礎(chǔ)，速度，技能,自動(dòng)化回憶基本事實(shí)。在整數(shù)運(yùn)算中，計(jì)算的流暢性（

3、fluency）是關(guān)鍵的。計(jì)算流暢性的重要組成部分是效率和正確性。最終，流暢性需要基本數(shù)字事實(shí)的自動(dòng)化回憶。 快速記起(recall)乘法和相應(yīng)的除法的意義，熟練進(jìn)行整數(shù)的乘法和除法。 ,4,4,8,美國(guó)設(shè)立國(guó)家數(shù)學(xué)咨詢委員會(huì),2006年4月18日，布什總統(tǒng)任命一個(gè)“（National Mathematics Advisory Panel）”, 任務(wù)是幫助總統(tǒng)和部長(zhǎng)在科學(xué)研究的基礎(chǔ)上構(gòu)建最好的美國(guó)數(shù)學(xué)教育。 委員會(huì)的具體目標(biāo)是在2008年2月向總統(tǒng)提出正式的報(bào)告 委員會(huì)分成以下5個(gè)工作小組：概念性知識(shí)和技能；學(xué)習(xí)過程； 教學(xué)實(shí)踐；教師； 評(píng)價(jià),4,4,9,委員會(huì)的組成,主席佛克納爾（Larry

4、 R. Faulkner）是一位化學(xué)博士， 在許多大學(xué)化學(xué)系任教授、主任， 以及學(xué)院院長(zhǎng)?，F(xiàn)任休斯頓一個(gè)私人設(shè)立的慈善基金會(huì)主席， 德州大學(xué)榮休教授。 副主席本鮑（ C。 P。 Benbow）是一位教育心理學(xué)家。 成員中有心理學(xué)家， 數(shù)學(xué)家， 數(shù)學(xué)教育家，數(shù)學(xué)教師等。 包括兩位華裔學(xué)者， 一位是前面提到的數(shù)學(xué)家伍鴻熙教授， 另一位是馬立平博士。 她在華東師范大學(xué)獲得碩士學(xué)位， 又在斯坦福大學(xué)獲得博士學(xué)位。一本以博士論文為基礎(chǔ)的著作（Knowing and Teaching Elementary Mathematics）指出美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)水平低下， 成為美國(guó)教育方面的暢銷書，因而一舉成名

5、。,4,4,10,公開聽證， 記錄在案,委員會(huì)計(jì)劃在2008年2月向總統(tǒng)提交最后報(bào)告之前， 在全美各地舉行10次會(huì)議。 2006年5月（華盛頓）， 6月（北卡州），9月（波士頓），11月（洛杉磯），2007年1月（新奧爾良），4月（芝加哥）舉行了6次， 6月5-6日在邁阿密。 非常詳細(xì)的日程已經(jīng)公布。,4,4,11,二 9年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）即將公布,4,4,12,修訂之一,修改了三句話： 人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育 人人都能獲得必需的數(shù)學(xué) 人人學(xué)習(xí)有價(jià)值的數(shù)學(xué) 不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,4,4,13,修訂之二,重提教師的主導(dǎo)作用， 啟發(fā)式講授，明確提出： 好的教學(xué)活動(dòng)， 應(yīng)

6、是學(xué)生主體地位和教師主導(dǎo)作用的和諧統(tǒng)一。,4,4,14,修訂之三,注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的理解和掌握。 將“雙基”發(fā)展為四基： * 基本知識(shí) * 基本技能 * 基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) * 基本數(shù)學(xué)思想方法,4,4,15,修訂之四,貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)包括： 生活現(xiàn)實(shí) 數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí) 其他學(xué)科現(xiàn)實(shí),4,4,16,修訂之五,整理、補(bǔ)調(diào)整許多內(nèi)容； 例如 “幾何”名稱的恢復(fù)； 尺規(guī)作圖的補(bǔ)充； 推理論證的規(guī)定,4,4,17,理性的回歸,數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的爭(zhēng)論， 可以說基本結(jié)束。 堅(jiān)持了大方向，處理得更符合實(shí)際，得到各方面的認(rèn)可。 正常的學(xué)術(shù)爭(zhēng)論還會(huì)繼續(xù)， 例如“數(shù)感”， 不同的人得到不同的發(fā)展等,4,4,18,三。謹(jǐn)

7、慎地接受西方的教育理論！,4,4,19,建構(gòu)主義的定義(http:/www.mathforum）,建構(gòu)主義是一種科學(xué)理論， 不能庸俗化。臺(tái)灣的失敗。 （知識(shí)是個(gè)人學(xué)習(xí)的， 大白話。） “什么是建構(gòu)主義？如下的解釋能夠同意嗎? “ 學(xué)生需要對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)概念構(gòu)造自己的理解， 使得“教”的作用不再是演講、解釋、或者企圖去“傳送”知識(shí)， 而是為促使學(xué)生進(jìn)行心智建構(gòu)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境和條件。這種教學(xué)方法的關(guān)鍵， 是將每一個(gè)數(shù)學(xué)概念按皮亞杰的知識(shí)理論分解成許多發(fā)展性的步驟，這些步驟的確定要基于對(duì)學(xué)生的觀察和談話,4,4,20,建構(gòu)主義的某些主張并不新鮮,知識(shí)是學(xué)生自己建構(gòu)的 學(xué)生不是一張白紙 學(xué)生的頭腦不是一張

8、空桶 知識(shí)是不能灌輸?shù)摹?建構(gòu)主義教育建議：自主、探究、合作。 我們都同意！以前也是這樣提倡的！,4,4,21,能動(dòng)的反映論,教師為主導(dǎo)， 學(xué)生為主體。 師傅領(lǐng)進(jìn)門， 修行在個(gè)人。 啟發(fā)式教學(xué)，師生討論， 反對(duì)滿堂灌。 誰說“學(xué)生是一張白紙？” “能動(dòng)的反映論”！ 知識(shí)是不能傳授的？科學(xué)傳授+主動(dòng)接受是好的教育？,4,4,22,建構(gòu)主義的局限：缺乏效率,教育不等于認(rèn)識(shí)論。 數(shù)學(xué)教學(xué)是要在很短的時(shí)間里， 讓學(xué)生把握人類幾千年來積累的數(shù)學(xué)知識(shí)。掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，精中求簡(jiǎn)，保持核心價(jià)值 一萬年以后怎么辦？ 老是探究， 自己發(fā)現(xiàn)，還有效率可談嗎？ 沒有效率的教學(xué)理論是走不遠(yuǎn)的！,4,4,23,人的知識(shí)多半

9、是主動(dòng)接受而來大多是間接經(jīng)驗(yàn)， 少量的直接經(jīng)驗(yàn),書籍、報(bào)刊的閱讀， 電視的傳播，世紀(jì)大講堂。 領(lǐng)導(dǎo)的講話， 聽名人報(bào)告。 政府頒布的法律，遵守就是了 交通規(guī)則的遵守， 學(xué)開車知道照辦 這些都是“單向傳輸?shù)摹?為什么教師在課堂講授就是錯(cuò)誤的？ 西方課堂上教師與學(xué)生講話 8：1 香港是 16：1 （TIMSS調(diào)查，1999）,4,4,24,數(shù)學(xué)教育的核心是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)； 教育數(shù)學(xué)的目標(biāo)是為學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)。,4,4,25,數(shù)學(xué)教育中的“去數(shù)學(xué)化”傾向,香港科技大學(xué)教授項(xiàng)武義認(rèn)為， 大陸的新課程標(biāo)準(zhǔn)有“去數(shù)學(xué)化”的傾向。 “去數(shù)學(xué)化”， 指數(shù)學(xué)教育只講“教育學(xué)”“心理學(xué)”規(guī)律， 忽視數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的

10、揭示。,4,4,26,第二部分,關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握與呈現(xiàn),4,4,27,數(shù)學(xué)教學(xué)成功的標(biāo)志,主要看是否達(dá)到教學(xué)目標(biāo)：學(xué)生是否理解和掌握了數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)的科學(xué)性）， 包括： 數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解； 數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握； 數(shù)學(xué)能力的形成。 教育方式是手段（現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)： 學(xué)生活躍？合作？用計(jì)算機(jī)？ 探究？游離于數(shù)學(xué)本身） 奇談怪論： 結(jié)果不是最重要的， 重要的在于參與； 知識(shí)不是最重要的， 重要的在于過程。,4,4,28,4,4,29,數(shù)學(xué)知識(shí)的儲(chǔ)備：一個(gè)比喻,一缸水和一杯水 一桶水和一杯水 一杯水和一杯水 沒有水可以打井取水 教師的作用：魚， 漁 數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握需要數(shù)學(xué)修養(yǎng),4,4,30,“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的內(nèi)涵：,

11、1。 數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系； 2。 數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程； 3。 數(shù)學(xué)思想方法的提煉； 4。 數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)。 形成數(shù)學(xué)的教育形態(tài)： “返樸歸真”， “平易近人”， “言之有理”，“感悟真情”,4,4,31,數(shù)學(xué)本質(zhì)被兩種活動(dòng)所掩蓋：,1。過度的形式化。 “淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”。 2。教條式的改革。表面熱鬧、缺乏效率的教學(xué)過程。,4,4,32,例1。三角形內(nèi)角和問題,姜伯駒院士在政協(xié)的提案指出 “三角形內(nèi)角和等于180度這樣的基本定理，讓學(xué)生用剪刀將三個(gè)角進(jìn)行拼接實(shí)驗(yàn)。只知其然不知其所以然，如何培養(yǎng)思辨能力？” 不鼓勵(lì)學(xué)生問為什么，數(shù)學(xué)課就失去了靈魂。 李大潛院士：“老是量， 就倒退到尼羅河時(shí)

12、代去了”,4,4,33,三角形內(nèi)角和定理的價(jià)值,沒有實(shí)際價(jià)值， 超越日常經(jīng)驗(yàn)。 當(dāng)初古希臘學(xué)者不是“量”出來的。 價(jià)值在于理性思維， 從公理出發(fā)的演繹推理。 建議：要么作公理， 要么進(jìn)行推理。 標(biāo)準(zhǔn)修訂稿探索并證明三角形內(nèi)角和定理。 （基于平行線同位角相等）,4,4,34,例2。正弦定理的教學(xué) （一個(gè)忽視數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的設(shè)計(jì)）,請(qǐng)同桌同學(xué)任意畫一個(gè)三角形，測(cè)量它的各角大小和各邊的長(zhǎng)，并用計(jì)算器分別計(jì)算c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么結(jié)果？ （學(xué)生一個(gè)人在畫和測(cè)量，另一個(gè)人在記錄和計(jì)算，進(jìn)行合作學(xué)習(xí)）,4,4,35,根據(jù)你們的計(jì)算結(jié)果和三個(gè)小組的交流情況，你們有什么看法？

13、,4,4,36,正弦定理是量出來的嗎？,分組測(cè)量， 匯報(bào)結(jié)果， 這是敗筆。 數(shù)學(xué)不能靠大家意見相同得到結(jié)論。必須證明。 正弦定理的證明很簡(jiǎn)單。靠“高”為媒介， 比一下立刻推得。 正弦定理的本質(zhì)在于找到“三角形的邊與角的關(guān)系”， 平面幾何“大邊對(duì)大角”的數(shù)量化。 三角是幾何的定量化，溝通代數(shù)和幾何的橋梁。,4,4,37,例3。 Freudenthal經(jīng)典情景：巨人的手（通過“量”掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)）,比例只是“照片放大”、“地圖比例尺”？ 黑板上留下巨人的手印， 請(qǐng)你為巨人設(shè)計(jì)巨人使用的書籍、桌子和椅子的尺寸。 活動(dòng)設(shè)計(jì)： 1。 用自己的手和巨人的手相比。 2。 定下“比值” 3。 量自己的書、桌子、

14、椅子尺寸 4。 用比例放大 （量得有價(jià)值， 有意義）,4,4,38,例4。坐標(biāo)活動(dòng)（長(zhǎng)寧）,將教室的課桌并攏，用兩根有箭頭的繩子做成坐標(biāo)軸； 坐標(biāo)對(duì)應(yīng)學(xué)生， 請(qǐng)學(xué)生自己看坐標(biāo)； 兩坐標(biāo)都是非負(fù)的站起來； 兩坐標(biāo)相等的站起來； 換一個(gè)同學(xué)做坐標(biāo)原點(diǎn)。 這樣活動(dòng)， 抓住了“坐標(biāo)”的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。,4,4,39,“坐標(biāo)確定位置”： 定位太低,電影院座位： 幾排幾座。 電影院位置： 某大街和某大路交叉路口 教室里座位確定（排、座） 經(jīng)度和緯度。 這些都是日常生活經(jīng)驗(yàn)， 不教也會(huì)。 打電話需要寫入課本嗎？ 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)： 坐標(biāo)原點(diǎn)選取；坐標(biāo)架的架設(shè)， 象限的形成。 表示數(shù)學(xué)對(duì)象， 反映量的變化等,4,4,4

15、0,例6：美國(guó)德州(Austin)的一個(gè) 斜率概念教學(xué)設(shè)計(jì),為了聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際, 提出情景: “早上起床時(shí), 你先要從床上起來(rise), 然后走到廚房去做早餐(run)” 由此聯(lián)系到斜率的概念: 縱距離與橫距離之比 rise over run. 評(píng)論：教案設(shè)計(jì)者只利用了rise和run這兩個(gè)詞的表面意思, 并沒有突出兩者必須存在關(guān)聯(lián),必須研究二者的比例. 難道每個(gè)rise和run 都有斜率的問題 (起床和去廚房這個(gè)過程的斜率是什么?),4,4,41,另一個(gè)美國(guó)數(shù)學(xué)教育故事,一組教師引入”二次函數(shù)”的方法是首先介紹”畢達(dá)哥拉斯定理”. Cindy請(qǐng)她們解釋為何要用此定理來引入二次函數(shù)概念,

16、回答是: “因?yàn)槟抢镉衅椒健?？！ 數(shù)學(xué)的本質(zhì)完全被曲解了。 Cindy繼續(xù)提問, 希望他們能意識(shí)到問題所在, 結(jié)果惹得眾人很不愉快. 事后, 那個(gè)學(xué)區(qū)的教師間接告訴Cindy: “請(qǐng)她以后不要再到我們學(xué)區(qū)來了. 我們不歡迎她!”,4,4,42,例7。 方程概念,外在的邏輯形式： 含有未知數(shù)的等式叫方程。 內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)： 方程是為了尋求未知數(shù)， 在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等價(jià)關(guān)系。 “方程”思想的本質(zhì)在于建立關(guān)系 為了認(rèn)識(shí)“未知數(shù)”先生， 必須請(qǐng)已知數(shù)“先生為媒介， 找到一種關(guān)系， 根據(jù)關(guān)系就能認(rèn)識(shí)“未知數(shù)”先生了。,4,4,43,方程思想（三根電線的長(zhǎng)度）,上海51中學(xué)陳振宣提供: 他

17、的一個(gè)學(xué)生在和平飯店做電工。發(fā)現(xiàn)地下室到10樓的三根電線不一樣長(zhǎng)。 如何測(cè)知他們的電阻？ 袁枚（清）： “學(xué)如箭鏃， 才如弓弩； 識(shí)以領(lǐng)之， 方能中鵠”。,4,4,44,例8。 復(fù)數(shù)的定義,一對(duì)有序的實(shí)數(shù)（x,y)， 稱做復(fù)數(shù)。前者成為實(shí)部， 后者成為虛部。（錯(cuò)） 但是，向量也是一對(duì)實(shí)數(shù)！ 復(fù)數(shù)的本質(zhì)在于它的乘法： (a,b) (c,d) = (ac bd, ad+bc),4,4,45,例9。 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）的教學(xué)設(shè)計(jì),用各種方法發(fā)現(xiàn)：方格紙上3，4，5 的計(jì)算等。 6張工作單：發(fā)現(xiàn)猜想 a2 + b2 = c2 換一種思維：將勾股定理直接告訴學(xué)生， 用各種美麗的畫面， 講述中外有

18、關(guān)歷史，包括和外星人聯(lián)系使用的信息。 把重點(diǎn)放在如何證明上。 多種證明。 最后聯(lián)系到費(fèi)馬大定理 an + bn = cn (n3)。 哪一種更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)？,4,4,46,例10。文字代表數(shù)的本質(zhì)： 符號(hào)運(yùn)算 （只代表， 不運(yùn)算， 沒有價(jià)值）,項(xiàng)武義教授： “ 文字代表數(shù)的本質(zhì)是不定元和數(shù)字進(jìn)行相同的運(yùn)算。 如 (2x + 3x2 ) = x (2+3x) （教材上沒有講為什么可以這樣做）。 解二次方程： 因子分解、配方、同解變換 根 數(shù)學(xué)家之所以有飯吃， 在于能夠運(yùn)用符號(hào)獲得結(jié)果 （復(fù)旦 張蔭南）,4,4,47,例11 一個(gè)例子怎能概括出負(fù)負(fù)得正？,探究式教學(xué)。例：一列每小時(shí)80公里的火車

19、向西開， 12時(shí)火車恰在上海。用上海向東向西表示方向的正負(fù)， 12點(diǎn)之后之前為時(shí)間的正負(fù)。 問10點(diǎn)時(shí)火車在什么位置？ 答案：（-2） x （-80）= 160 于是概括得出數(shù)的運(yùn)算的規(guī)律負(fù)負(fù)得正。 （先乘除后加減、顛倒相乘、分?jǐn)?shù)的交換律 ） 數(shù)學(xué)不允許這樣的概括。 有意義的接受（先做后說） 先有規(guī)則， 后有解釋。先執(zhí)行， 然后舉例說明其合理性。反思也是創(chuàng)新的必要步驟。 先舉例是探究， 后舉例說明是有意義接受。,4,4,48,例12 “代數(shù)式引例,（某數(shù)學(xué)教材設(shè)計(jì)）： 一隧道長(zhǎng)l米，一列火車長(zhǎng)180米，如果該列火車穿過隧道所花的時(shí)間為t分，則列車的速度怎么表示”導(dǎo)入新課，指出：象“(l+180

20、)/t”這類表達(dá)式稱為代數(shù)式。 創(chuàng)設(shè)的情景看起來聯(lián)系生活實(shí)際， 實(shí)際上離開學(xué)生的實(shí)際很遠(yuǎn)。隧道不是學(xué)生熟悉的場(chǎng)景。 情景創(chuàng)設(shè)遠(yuǎn)離教學(xué)主題， 只求包裝靚麗，不管學(xué)生需要， 是一種時(shí)髦的、但不好的傾向。 我們認(rèn)為，引例應(yīng)該十分簡(jiǎn)單。例如矩形的長(zhǎng)a，寬為b,求矩形的周長(zhǎng)和面積： M = ab,4,4,49,數(shù)學(xué)符號(hào)是一種語言,語文靠想象， 將符號(hào)（方塊字）用語法表示出來。 說話寫下來就是文章。 數(shù)學(xué)靠理性， 將數(shù)學(xué)符號(hào)通過運(yùn)算、演繹得到結(jié)論。 這是人為構(gòu)造的語言。 語文、數(shù)學(xué)、詩詞、定理， 都是符號(hào)運(yùn)作 語文是“飯”， 不吃要死，容易煮熟。便宜 數(shù)學(xué)是“菜”，不吃菜也可以活，但身體弱。比較貴。燒菜很

21、難。吃菜必須合理。 詩詞是“酒”， 酒可以不喝，釀酒更難。有人喜歡，閑時(shí)享受才喝。定理也是酒。,4,4,50,例13。函數(shù)的兩個(gè)定義： 宏觀與微觀,人們需要宏觀與微觀兩種觀點(diǎn)。政治上的全局與局部；物理學(xué)上的宇宙與原子； 藝術(shù)上的寫意與工筆 初中的函數(shù)從大局發(fā)展著眼， 宏觀地觀察數(shù)量之間彼此依存的關(guān)系， 看總體發(fā)展趨勢(shì)。 宏觀函數(shù)概念的本質(zhì)是變量之間的依賴性。 高中函數(shù)定義講究微觀地、靜態(tài)地觀察， 用兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)來描述。 微觀函數(shù)概念的本質(zhì)在于精確化的對(duì)應(yīng)。 兩種定義互有短長(zhǎng)，并非高級(jí)與低級(jí)之分 。,4,4,51,函數(shù)定義中 “唯一”重要嗎？,唯一不是本質(zhì)。 不唯一成多值函數(shù)而已。 多值函

22、數(shù)單值化即可。 描寫圓的函數(shù)， 上半圓和下半圓。 反三角函數(shù),4,4,52,例14。 函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)難點(diǎn)是“無限”。,單調(diào)性的本質(zhì)是描述函數(shù)的變化趨勢(shì)。這可以直觀地觀察， 畫圖，數(shù)列等 但是，單調(diào)性概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)在于處理無限變化的趨勢(shì)；呈現(xiàn)的方式對(duì)“任意”兩個(gè)自變量 x1 x2 ,都有 f(x1) f(x2) 將直觀的自然語言表述為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言， 才能獲得數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),4,4,53,例15 數(shù)學(xué)歸納法的比喻,1。 通常借喻 多米諾骨牌效應(yīng) 2。 火車頭帶火車。 第一節(jié)重要（火車頭） ， 然后， 各節(jié)車廂一節(jié)節(jié)地連接好。 3。 排隊(duì)。 第一個(gè)是 X學(xué)校學(xué)生， 然后保證后面一個(gè)和我同校，X學(xué)

23、校學(xué)生的隊(duì)伍排好。 數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是從有限過渡到無限。以上的比喻都必須注意這個(gè)特征。 相比之下， 多米諾骨牌好些。,4,4,54,例16。糖水濃度,a - 溶液（糖水）； b 溶質(zhì)（糖） b/a - 濃度（甜度） 現(xiàn)在向糖水中再放糖 m0， 糖水變甜； b/a (b+m) / (a+m) 如果 b/a d/c 是兩杯不一樣甜的糖水倒再一起， 甜度會(huì)怎樣？ b/a (b+d)/(a+c) d/c 這不是證明， 卻把握了數(shù)學(xué)過程的本質(zhì),4,4,55,17。 放煙火 （Interactive Mathematics Project) 主題教學(xué),一元二次函數(shù)的單元模型。 高樓上放煙火， 形成的曲線。

24、 頂點(diǎn) 落地點(diǎn) 與物理的關(guān)系： 拋物線。 大模型， 不是一節(jié)課的引入問題,4,4,56,例18。三角函數(shù)。 單擺，電磁波,y = ASin(t +) 周期性。這是基本概念。 舉例（波動(dòng)， 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)， 課程表， 潮汐 和諧性。 這是三角函數(shù)的特征。 音樂， 單擺，電磁波。 相位性。理解三角函數(shù)變換的難點(diǎn)。 原始性。 不定元 X 可以構(gòu)造多項(xiàng)式， 分式、無理式； sinx 可以構(gòu)造各種三角函數(shù)，用來逼近其他函數(shù)。 三角恒等變換只是工具而已,4,4,57,例19.余弦定理與三點(diǎn)距離問題 - 表示培養(yǎng)能力,（荷蘭）甲離學(xué)校10公里， 乙離甲3公里， 問乙離學(xué)校幾公里？ 訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)表示能力。 甲、乙

25、、學(xué)校在一條直線上？ 沒有說。 校 乙 甲 乙 坐標(biāo)。參數(shù)。復(fù)數(shù)。空間,4,4,58,例20。微積分的問題驅(qū)動(dòng),（1） 全局的問題。拋物線 y = x2 , 可以用許多方法研究， 試觀察它的切線。 （2）關(guān)鍵的問題。割線的極限位置 （3）增量的重要性 微積分是增量分析 （4）增量比的極限 克服極限,4,4,59,例21 增量分析： 微積分的本質(zhì)。,y = f(x) , y 隨 x的變化而變化 。 銷量隨價(jià)格的變化而變化。太普通 增量的提法： 價(jià)格變一元， 銷量變多少？很重要。 所以我們要研究 y的增量和x的增量之比的極限。,4,4,60,例22。瞬時(shí)速度,瞬時(shí)速度是出發(fā)點(diǎn)？ 還是微積分的應(yīng)用？

26、 瞬時(shí)速度是原始概念， 快車趕上慢車的一剎那。 小學(xué)里沒有面積的概念， 就可以求面積。 道理是一樣的。,4,4,61,例23。概率的統(tǒng)計(jì)本質(zhì),傳統(tǒng)：擲骰子 等可能性 排列組合 理論概率 計(jì)算概率（考試） 現(xiàn)代：擲骰子 實(shí)驗(yàn) 頻率 經(jīng)驗(yàn)概率 理論概率 排列組合 理論概率計(jì)算 統(tǒng)計(jì)方法 。,4,4,62,理論概率和經(jīng)驗(yàn)概率,等可能性出發(fā)定義概率 （北師大版） 傳統(tǒng)。形式化處理。但是片面。 不能解釋降水概率、次品率、事故率等等 用實(shí)驗(yàn)方法以頻率取代概率（華東師大版）可能比較難以捉摸。但是符合實(shí)際。 兩種不同的思想體系。怎樣呈現(xiàn)概率的“教育形態(tài)”， 是一個(gè)理論問題， 也是實(shí)踐問題。,4,4,63,例2

27、4。四維空間的4-方體（蘇聯(lián)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的一道空間想象題）,四維空間單位方體的頂點(diǎn)數(shù).棱數(shù), 面數(shù), 三維面數(shù), 四維體數(shù)? 解：頂點(diǎn)數(shù)：23 =16。 棱數(shù)：（16 4）/2 = 32 二維面：（16 C42）/4 = 24 三維面： （16 C43 ）/8 = 8 四維面： 1 一般地 （2 +1）n = 2n + n2n-1 + + 1 愛因斯坦的四維時(shí)空可以進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué),例25。用迭代方法解決問題（錄自美國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)， 2000）,一位女生在打排球時(shí)膝蓋受傷。 她的醫(yī)生要她在10天內(nèi)每8小時(shí)服用兩粒220毫克的藥片， 以減輕傷痛。 如果她的身體每8小時(shí)吸收60%的藥物， 那么10天后

28、， 她身體中還有多少毫克的藥物？,64,迭代進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué),65,4,4,66,信息時(shí)代的數(shù)學(xué)新課題：算法,算法并不陌生。 先乘除， 后加減； 分?jǐn)?shù)通分；高斯消去法；求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法； 珠算口訣 算法是人和計(jì)算機(jī)相通的語言。 算法成為公民科學(xué)素質(zhì)的一部分。 印度的經(jīng)驗(yàn)。 賦值語句，條件語句，循環(huán)語句。,4,4,67,第三部分,數(shù)學(xué)文化的孕育與體現(xiàn),4,4,68,揭示數(shù)學(xué)背后隱藏的文化價(jià)值,數(shù)學(xué)通過了考試， 是否獲得了理性思維的訓(xùn)練。 豬八戒吃人參果？ 數(shù)學(xué)教學(xué)要把數(shù)學(xué)的文化價(jià)值展現(xiàn)， 幫助學(xué)生體會(huì)。,4,4,69,例1.“對(duì)頂角相等”是否要證明？,數(shù)學(xué)與民主古希臘城邦實(shí)行奴隸主的民主政治

29、。 民主要求說服、說服需要證明、公理化方法得到應(yīng)用。 幾何原本。 命題15：對(duì)頂角相等。用公理3：等量減等量， 其差相等。,A,B,C,4,4,70,中國(guó)古代數(shù)學(xué)是官方管理數(shù)學(xué),春秋戰(zhàn)國(guó)， 百家爭(zhēng)鳴。 實(shí)行謀士向君王建議治國(guó)之道。與古希臘統(tǒng)治階級(jí)實(shí)行民主政治不同。 中國(guó)數(shù)學(xué)為帝王的統(tǒng)治服務(wù)。 九章算術(shù)：丈量田畝、計(jì)算稅收、分?jǐn)傖嬉邸⒂?jì)算土方、運(yùn)輸計(jì)費(fèi) 沒有“對(duì)頂角相等”。 勾股定理 古希臘與中國(guó)都有 古希臘重證明； 中國(guó)重算法。 理性思維 - 數(shù)學(xué)的德育教育功能。,4,4,71,例2 對(duì)稱和對(duì)仗,對(duì)稱是幾何變換。 變換之后有不變的量。軸對(duì)稱、中心對(duì)稱后圖形不變、長(zhǎng)度角度都不變。 中國(guó)的對(duì)仗：“

30、明月松間照，清泉石上流”（王維詩句）。 “明月” 對(duì)“清泉”， 變中有不變。形容詞對(duì)形容詞， 名詞對(duì)名詞， 自然景物仍然是自然景物。 文化上看， 二者異曲同工。只是數(shù)學(xué)更加準(zhǔn)確、比較抽象而已。,4,4,72,例3。 時(shí)間和空間,初唐詩人陳子昂詩云：“前不見古人， 后不見來者， 念天地之悠悠， 獨(dú)愴然而涕下?！边@是古人乃只今天人們對(duì)時(shí)間與空間的認(rèn)識(shí)。 時(shí)間的模型是一條兩端無限的直線：詩人處在原點(diǎn)。 天地各為兩個(gè)平面， 悠悠地、無限地伸展著。 我們的幾何就是在這樣的空間里展開的。 實(shí)際上， 地球上的幾何就超出了這個(gè)范圍： 非歐幾何。揭示數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵,4,4,73,例5。 變化中的不變量,與時(shí)俱進(jìn)

31、， 但是主要民族傳統(tǒng)不變。 物理學(xué)的能量守恒、動(dòng)量守恒 數(shù)學(xué)中的不變規(guī)律：對(duì)稱；分?jǐn)?shù)的不同表示， 交換率， 方程的同解； 恒等式 sin2x + cos2x =1; （數(shù)學(xué)思想方法之一） 幾何不變量，代數(shù)不變量。 拓?fù)洳蛔兞浚?多面體歐拉定理， 七橋問題。 陳類,4,4,74,例6 數(shù)學(xué)意境,孤帆遠(yuǎn)影碧空盡， 惟見長(zhǎng)江天際流。 （徐利治：極限意境） 眾里尋他千百度，驀然回首， 那人卻在燈火闌珊處。 （王國(guó)維人間詞話） （解題意境）,4,4,75,例7。 丘成桐談史記,2002年8月20日早上中央電視臺(tái)東方時(shí)空的“東方之子”欄目 （方靜采訪） “我讀史記象欣賞歌劇， 一幕幕地展開。” 華彩樂章如

32、：高山仰止， 景行景止。 歷史是宏觀的。 學(xué)習(xí)歷史會(huì)使人用宏觀觀點(diǎn)考察事物。 我提出的數(shù)學(xué)想法往往和別人的不一樣， 就是得力于史記,4,4,76,例8。 微積分中的中國(guó)史料,李善蘭、偉列亞力譯：代微積拾級(jí)（1859） 日本學(xué)者學(xué)習(xí)微積分的唯一通道（1870年以前） 京師同文館，除“經(jīng)學(xué)”和“數(shù)學(xué)”外， 物理、化學(xué)、博物等全聘外國(guó)人。 數(shù)學(xué)教習(xí)就是李善蘭。,4,4,77,中國(guó)最早的微積分譯作,李善蘭（1811 1882）,禾彳天 意思是 dx,4,4,78,清末中國(guó)數(shù)學(xué)的亮點(diǎn),李善蘭恒等式: 戴煦數(shù) tan x = ( Dn / (2n-1)!) x2n-1 . 歐拉數(shù) secx = ( En

33、/ 2n!) x2n Dn 1， 2，16，272，7936，353792， (可惜不懂微積分，沒有用泰勒公式）,4,4,79,例7。 線性組合與通解（項(xiàng)武義）,孫子算經(jīng)中國(guó)剩余定理 同余式組：x = b1 (mod m1), x = b2 (mod m2) x = b3 (mod m3) 可以歸結(jié)為 b1 b2 b3 為（1，0，0）， （0，1，0）（0，0，1）時(shí)的特解， 然后可以用系數(shù)乘特解的線性組合得到通解。,4,4,80,例8。 偉大的期望值,中國(guó)的麻將為什么不能產(chǎn)生概率論？ 概率是一定會(huì)有的。 數(shù)學(xué)期望才是催生理性思考的問題 有一筆賭金， 甲、乙兩人競(jìng)賭， 輸贏的概率各為1/2，

34、 以先累計(jì)達(dá)到5盤勝利者獲得這筆賭金。在進(jìn)行過程中， 因故突然終止。 此時(shí)， 甲贏了4局， 乙贏了3局。 問這筆賭金該如何分配才合理？ 4/7 和 3/7 比較合理 ？,4,4,81,例9 戰(zhàn)后： 1948年的數(shù)學(xué)地圖,1948： 美國(guó)仙農(nóng)發(fā)表信息的數(shù)學(xué)理論 1948：維納發(fā)表控制論。信息、控制是數(shù)學(xué)嗎？ 1948： von Neuman 計(jì)算機(jī)方案形成 中國(guó)缺乏這樣的數(shù)學(xué)偶像,4,4,82,例10。1970年走出布爾巴基的光環(huán),布爾巴基的結(jié)構(gòu)主義 沖破“函數(shù)論”王國(guó) 用“代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”統(tǒng)一數(shù)學(xué)。 集合論、測(cè)度論、李群論、抽象代數(shù)、代數(shù)拓?fù)?、泛函分?融為一體。 不能包括微分幾何

35、、數(shù)論、概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)、離散數(shù)學(xué) 1950年。吳文俊在科學(xué)通報(bào)介紹布爾巴基。 無人喝彩。 1970年。 年輕數(shù)學(xué)家走出布爾巴基的影響 1980年。 中國(guó)大規(guī)模介紹布爾巴基學(xué)派。,4,4,83,函數(shù)內(nèi)容的文化點(diǎn)設(shè)計(jì),4,4,84,1。函數(shù)的本質(zhì),函數(shù)從其本質(zhì)屬性來看，是一種變量之間的對(duì)應(yīng)的依賴關(guān)系。 數(shù)學(xué)是關(guān)系學(xué)，相等、不等、大小、全等、相似、對(duì)稱和等價(jià)等等都是關(guān)系。 最重要的兩個(gè)關(guān)系是：方程是未知數(shù)與已知數(shù)之間的等式關(guān)系，函數(shù)是變量間的依賴關(guān)系。 世界靠關(guān)系維持著，國(guó)際關(guān)系，國(guó)內(nèi)各階層的關(guān)系，上下級(jí)關(guān)系，同學(xué)關(guān)系，師生關(guān)系，社會(huì)關(guān)系，公共關(guān)系，而數(shù)學(xué)主要研究的是數(shù)量關(guān)系。 事物間都彼此聯(lián)系

36、著，看問題不要割裂關(guān)系。,4,4,85,2。 函數(shù)的定義,初中定義和高中定義的比較，各有所長(zhǎng)，不是傳統(tǒng)與現(xiàn)代、高級(jí)與低級(jí)之分。 變量說(初中)，是原始定義，強(qiáng)調(diào)變量的依賴關(guān)系，生動(dòng)直觀，是宏觀的、動(dòng)態(tài)的。 對(duì)應(yīng)說(高中)，是近代定義，強(qiáng)調(diào)具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，細(xì)致入微，是微觀的、靜態(tài)的。 看問題的兩種視角：從政治看，全局與局部；從哲學(xué)看，唯物與唯心；從邏輯學(xué)看，歸納與演繹；從繪畫看，潑墨與工筆；從物理學(xué)看，原子與天體；從光學(xué)看，顯微與放大。,4,4,86,3。函數(shù)的名稱,函數(shù)function一語，起用于公元1692年，最早見自德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲的著作。記號(hào)f（x）則是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于公元1724年首次使用的。 英文function一詞，譯為函數(shù)，始于1859年，意為“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)?！笔滓娪谇宕鷶?shù)學(xué)家李善蘭(18111882)與英國(guó)人偉列亞力合譯的美國(guó)數(shù)學(xué)家羅密士E. Loomis，1811-1899的代微積拾級(jí)(1859)。 此書傳至日本，成為當(dāng)時(shí)日本了解微積分的主要著作。函數(shù)一詞隨為日本沿用。日本后來限制使用漢字的數(shù)量?！昂钡娜毡景l(fā)音與“關(guān)”類似，所以現(xiàn)在日本使用“關(guān)數(shù)”一詞。十九世紀(jì)七十年代，日本還在向中國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但是1892年甲午戰(zhàn)爭(zhēng)之后，中國(guó)派留學(xué)生到日本學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了。數(shù)學(xué)的盛衰與國(guó)力的強(qiáng)弱有關(guān)