1、直線與圓的位置關(guān)系(三) 切線長定理,新課學(xué)習(xí),.,O,A,L,切線的性質(zhì)定理:,圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,幾何應(yīng)用:,L是O的切線 ， OAL,經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這 條半徑的直線是圓的切線.,幾何應(yīng)用:,2.與半徑垂直,1.經(jīng)過半徑的外端；,切線的判定定理:,C,練習(xí)1：已知：AB是弦，AD是切線，判斷DAC與圓周ABC之間的關(guān)系并證明.,弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角。,判別下列圖形中的角是不是弦切角，并說明理由。,圖1,圖3,圖2,弦切角性質(zhì):,弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。,練習(xí)5.AB是O的直徑,AE平分BAC交O于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作O的切線交

2、AC的延長線于點(diǎn)D,試判斷AED的 形狀,并說明理由.,拓展應(yīng)用,練習(xí)5.AB是O的直徑,AE平分BAC交O于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作O的切線交AC的延長線于點(diǎn)D,試判斷AED的 形狀,并說明理由.,拓展應(yīng)用,O,。,A,B,P,過圓外一點(diǎn)可以引圓的幾條切線？,尺規(guī)作圖： 過O外一點(diǎn)作O的切線,O,P,A,B,O,請(qǐng)跟我做,在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的切線上，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。,O,P,A,B,切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？,切線長概念,切線:不可以度量。切線長：可以度量。,比一比,B,O,A,B,P,1,2,請(qǐng)證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。,PA = PB,OPA=OPB,證

3、明：PA，PB與O相切，點(diǎn)A，B是切點(diǎn) OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB,試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,證一證,PA、PB分別切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。,幾何語言:,反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提供新的方法,切線長定理,A,P,O,B,若連結(jié)兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.,OP垂直平分AB,證明：PA，PB是O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn) PA = PB

4、OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線 OP垂直平分AB,試一試,A,P,O,。,B,若延長PO交O于點(diǎn)C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.,CA=CB,證明：PA，PB是O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn) PA = PB OPA=OPB PC=PC PCA PCB AC=BC,C,探究：PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，直線OP交于O于點(diǎn)D、E，交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系,OAPA，OB PB，AB OP,（3）寫出圖中所有相等的線段,（2）寫出圖中與OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,OA=OB=OD=

5、OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE,已知：如圖,PA、PB是O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，Q為AB上一點(diǎn)，過Q點(diǎn)作O的切線，交PA、PB于E、F點(diǎn)，已知PA=12CM，求PEF的周長。,易證EQ=EA, FQ=FB, PA=PB, PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm,周長為24cm,例題1,變式：如圖所示PA、PB分別切 圓O于A、B，并與圓O的切線分別相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求PCD的周長 (2) 如果P=46,求COD的度數(shù),C, O,P,B,D,A,E,例2、如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和圓O分別相切于點(diǎn)L、M、N

6、、P， 求證： AD+BC=AB+CD,證明：由切線長定理得,AL=AP，LB=MB,NC=MC， DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即 AB+CD=AD+BC,補(bǔ)充：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等,例題2,。,P,B,A,O,（3）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn),（2）連結(jié)兩切點(diǎn),（1）分別連結(jié)圓心和切點(diǎn),反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時(shí)，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。,想一想,例3 ABC的內(nèi)切圓O與BC、CA、AB分別相切于 點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的長.,解:,設(shè)AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm),

7、 AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm)., O與ABC的三邊都相切,AFAE,BDBF,CECD,例題3,A,B,C,E,D,F,O,如圖，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc,O為RtABC的內(nèi)切圓. 求：RtABC的內(nèi)切圓的半徑 r.,設(shè)AD= x , BE= y ,CE r, O與RtABC的三邊都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF則OAAC，OEBC，OFAB。,結(jié)論,變式,思考：如圖，AB是O的直徑， AD、DC、BC是切線，點(diǎn)A、E、B 為切點(diǎn)，若BC=9，AD=4，求OE的長.,例

8、1、已知：P為O外一點(diǎn)，PA、PB為O的 切線，A、B為切點(diǎn)，BC是直徑。 求證：ACOP,P,A,C,B,D,O,例題講解,切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩 條切線的夾角。,PA、PB分別切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應(yīng)用。,練習(xí).如圖，ABC中,C =90 ,它的 內(nèi)切圓O分別與邊AB、BC、CA相切 于點(diǎn)D、E、F，且BD=12，AD=8， 求O的半徑r.,B,D,E,F,O,C,A,如圖，ABC的內(nèi)切圓的半徑為r, ABC

9、的周長為l,求ABC的面積S.,解：設(shè)ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，,連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，,則ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC, ABOD BCOE ACOF, lr,設(shè)ABC的三邊為a、b、c，面積為S， 則ABC的內(nèi)切圓的半徑 r,結(jié)論,三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算,思考,A,B,C,E,D,F,O,如圖，RtABC中，C90,BC3,AC4, O為RtABC的內(nèi)切圓. （1）求RtABC的內(nèi)切圓的半徑 . （2）若移動(dòng)點(diǎn)O的位置，使O保持與ABC的邊AC、BC都相切，求O的半徑r的取值范圍。,設(shè)AD= x , BE= y ,CE r, O與RtABC的三邊都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：（1）設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF則OAAC，OEBC，OFAB。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4, AB5,由已知可得四邊形ODCE為正方形，CDCEOD, RtABC的內(nèi)切圓的半徑為1。,（2）如圖所示，設(shè)與BC、AC相切的最大圓與BC、AC的切點(diǎn)分別為B、D,連結(jié)OB、OD,則四邊形BODC為正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半徑r的取值范圍為0r3,點(diǎn)評(píng),幾何問題代數(shù)化是解決幾何問題的一種重要方法。,基