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1、一、 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件,二 、 二元函數(shù)的全微分求積,第三節(jié)(2) 曲線積分與路徑無 關(guān)的條件,第十一章,1 、曲線積分與路徑義無關(guān)的定義,B,A,如果在區(qū)域G內(nèi)有,一、 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件,2、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件,定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi),具有一階連續(xù)偏導數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有,(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分,(3),(4) 在 D 內(nèi)每一點都有,與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān).,函數(shù),則以下四個條件等價:,在 D 內(nèi)是某一函數(shù),的全微分,即,注意:1.常用 來判斷曲線積分與路徑無關(guān);,2.當曲線積分

2、與路徑無關(guān)時，常選擇最簡路徑平行于坐標軸的直線段組成的折線作為積分路徑;,如果D是復連通域,即使 曲線積分也不一定與路徑無關(guān)。,注意以上的結(jié)果與L的形狀無關(guān)。,例1,解,練習 證明下列曲線積分與路徑無關(guān)，并計算積分值,解；,曲線積分與路徑無關(guān)。,可沿折線積分,二、二元函數(shù)的全微分求積,1. 原函數(shù):,如果存在一個函數(shù)u(x,y)，使得,du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy,原函數(shù),全微分式,例如,全微分式,2. 判別定理,定理3. 設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在單連通域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則P(x,y)dx+Q(x,y)dy在D內(nèi)為某一函數(shù)全微分,在D內(nèi)恒成立.,3.全微分求積,當Pdx+Qdy為全微分式時， 求其原函數(shù)u(x,y)的過程.,與路徑無關(guān)，可選平行于坐 標軸的折線作為積分路徑.,如圖取 為積分路徑,得,如圖取 為積分路徑,得,例2,驗證: 在整個坐標平面內(nèi)是某個函數(shù)u的全微分，并求u,在整個坐標面上是某個函數(shù) 的全微分,注：起點可以任選，一般選原點,原函數(shù)可以相差一個常數(shù),練習,解,或,例3,解,*全微分方程及其求法,定義:,若有全微分形式,例如,所以原方程是全微分方程.,全微分方程,全微分方程的解法:,1應用曲線積分與路徑無關(guān),則全微分方程的通解為,例1,這是全微分方程.,方程的通解為,故,

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