1、,復(fù)變函數(shù)論多媒體教學(xué)課件,Department of Mathematics,第三節(jié)解析函數(shù)的泰勒展式,一、泰勒定理,其中,1 定理4.14,且展式是惟一的.,積分形式,微分形式,證明,由柯西積分公式 , 有,由于,故,下證唯一性,設(shè)另有展式,由定理4.13知,故展式唯一.,由z的任意性，定理前半部分得證。,注:顯然(4.8)的收斂半徑大于或等于R.,2 定義4.6,泰勒展開式,泰勒級(jí)數(shù),3 刻劃解析函數(shù)的第四個(gè)等價(jià)定理,定理4.15,注,二 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況,定理4.16,證明,由有限覆蓋定理,我們可以在這些圓O中選取有限個(gè)圓將C覆蓋,這有限個(gè)圓構(gòu)成一個(gè)區(qū)域G,這與假設(shè)相

2、矛盾.,注1:該定理給出了確定收斂半徑R的方法.,例1,解,它們是和函數(shù)的兩個(gè)奇點(diǎn),故知收斂半徑為,注2:即使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓上處處收斂,其和函數(shù) 在收斂圓周上仍然至少有一個(gè)奇點(diǎn).,例,注3,該定理一方面建立了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與此冪 數(shù)所代表函數(shù)的性質(zhì)間的關(guān)系,同時(shí),還表明冪級(jí)數(shù)的 理論只有在復(fù)數(shù)域內(nèi)才能弄得完全明白.,如,在實(shí)數(shù)域內(nèi)無法弄清,但在復(fù)數(shù)域上來講,三、一些初等函數(shù)的泰勒展式,常用方法: 直接法和間接法.,1.直接法:,由泰勒定理計(jì)算系數(shù),例1,故有,解,仿照上例 ,2. 間接展開法 :,借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì), 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo), 積分等)和

3、其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等) , 求函數(shù)的泰勒展開式.,間接法的優(yōu)點(diǎn):,不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛 .,例2,解,由等比級(jí)數(shù)的求和公式有,注:從上式有,例3,解,而,因?yàn)?所以,附: 常見函數(shù)的泰勒展開式,例4,解,3、典型例題,上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),例5,分析,如圖,解,即,將展開式兩端沿 C 逐項(xiàng)積分, 得,例6,解,例7,解,取主值支,按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得,連續(xù)求導(dǎo)得,得Taylor系數(shù)為,例8,解,所以,故其Cauchy積也絕對(duì)收斂,因?yàn)?例9,解,因?yàn)?所以,把級(jí)數(shù)按升冪排列,用直式做除法得,例10,解,例11,解,小結(jié),通過本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)理解泰勒展開定理,熟記 五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成 泰勒級(jí)數(shù)的方法, 能比較熟練的把一些解析函數(shù) 展開成泰勒級(jí)數(shù).,作 業(yè),P178習(xí)題(一) 5(2)(5), 7(1)(3),本節(jié)結(jié)束 謝謝