1、,光的衍射 (Diffraction),在基爾霍夫標(biāo)量衍射理論的基礎(chǔ)上，研究兩種最基本的衍射現(xiàn)象和應(yīng)用：,4.1.1 光的衍射現(xiàn)象 (Diffraction phenomena),定義: 光的衍射是指光波相傳播過程中遇到障礙物時(shí)，所發(fā)生的偏離直線傳播的現(xiàn)象。,光可統(tǒng)過障礙物; 在障礙物后呈現(xiàn)出光強(qiáng)的不均勻分布。,4.1.1 光的衍射現(xiàn)象 (Phenomena of diffraction),4.1.1 光的衍射現(xiàn)象 (Phenomena of diffraction),變小模糊同心圓環(huán)圓環(huán)增大,當(dāng)使用單色光源時(shí)，這是一組明暗相間的同心環(huán)帶，當(dāng)使用白色光源時(shí)，這是一組色彩相間的彩色環(huán)帶。,光的衍

2、射現(xiàn)象與光的干涉現(xiàn)象就其實(shí)質(zhì)來講，都是相干光波疊加引起的光強(qiáng)的更新分布，所不同之處在于: (1)干涉現(xiàn)象是有限個(gè)相干光波的疊加; (2)衍射現(xiàn)象則是無限多個(gè)相干光波的疊加結(jié)果。,4.1.1 光的衍射現(xiàn)象 (Phenomena of diffraction),衍射現(xiàn)象約特殊性，在數(shù)學(xué)上遇到了很大的困難，以至許多有實(shí)際意義的問題得不到嚴(yán)格的解，因而，實(shí)際的衍射理論都是一些近似解法。,4.1.1 光的衍射現(xiàn)象 (Phenomena of diffraction),下面介紹的基爾霍夫衍射理論就是一種適用于標(biāo)量波的衍射，是能夠處理大多數(shù)衍射問題的基本理論。,4.1.1 光的衍射現(xiàn)象 (Phenomena

3、 of diffraction),4.1.2 惠更斯菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle),惠更斯原理:,根據(jù)惠更斯菲涅耳原理: 可以看作是 S 和 P 之間任一波面上各點(diǎn)發(fā)出的次波在 P 點(diǎn)相干疊加的結(jié)果。,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle),則 d 面元上的次波源對 P 點(diǎn)光場的貢獻(xiàn)為,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle),C 是比例系數(shù)， ， K() 稱為傾斜因子，它是與元波面法線和 的夾角 (稱為衍射角)有關(guān)的量,按照菲涅耳的假設(shè)：當(dāng)0 時(shí)，K 有最大值；隨著

4、的增大，K 迅速減小，當(dāng) /2 時(shí)，K0。,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle),所以 P 點(diǎn)的光場復(fù)振幅為,這就是惠更斯菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為惠更斯菲涅耳公式。,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle),當(dāng)S 是點(diǎn)光源時(shí)，Q 點(diǎn)的光場復(fù)振幅為,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle),由于 K() 的具體形式未知，不可能由(1)式確切地確定 值。因此，從理論上來講，這個(gè)原理是不夠完善的。,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel

5、principle),4.1.3 基爾霍夫衍射公式 (Kirchhoff diffraction formula ),基爾霍夫從微分波動(dòng)方程出發(fā),利用格林定理,給出了惠更斯菲涅耳原理較完善的數(shù)學(xué)表達(dá)式。,1構(gòu)成封閉曲面； 1 圍成空間區(qū)域 ；,4.1.3 基爾霍夫衍射公式 (Kirchhoff diffraction formula ),他將空間 P點(diǎn)的光場與其周圍任一封閉曲面上的各點(diǎn)光場建立起了聯(lián)系，得到了傾斜因子K() 的具體表達(dá)式，建立起了光的衍射理論。,4.1.3 基爾霍夫衍射公式 (Kirchhoff diffraction formula ),這個(gè)理論將光場當(dāng)作標(biāo)量來處理，只考慮電

6、場或磁場的一個(gè)橫向分量的標(biāo)量振幅，而假定其它有關(guān)分量也可以用同樣方法獨(dú)立處理，完全忽略了電磁場矢量分量間的耦合特性，因此稱為標(biāo)量衍射理論。,1. 基爾霍夫積分定理,假設(shè)有一個(gè)單色光波通過閉合曲面 傳播，在 t 時(shí)刻、空間 P 點(diǎn)處的光電場為,1. 基爾霍夫積分定理,若P 是無源點(diǎn)，該光場應(yīng)滿足如下的標(biāo)量波動(dòng)方程：,1. 基爾霍夫積分定理,將(3)式代入，可得,式中，k =/c，該式即為亥姆霍茲方程。,1. 基爾霍夫積分定理,現(xiàn)在假設(shè)有另一個(gè)任意復(fù)函數(shù) ，它也滿足亥姆霍茲方程,且在 面內(nèi)和 面上有連續(xù)的一、二階偏微商(個(gè)別點(diǎn)除外)。,1. 基爾霍夫積分定理,如果作積分,表示在 上每一點(diǎn)沿向外法線

7、方向的偏微商。,1. 基爾霍夫積分定理,則由格林定理，有,式中，V 是 面包圍的體積。利用亥姆霍茲方程關(guān)系，左邊的被積函數(shù)在 V 內(nèi)處處為零。,1. 基爾霍夫積分定理,這個(gè)函數(shù)除了在 r = 0 點(diǎn)外，處處解析。,因而,根據(jù) 所滿足的條件，可以選取 為球面波的波函數(shù)：,1. 基爾霍夫積分定理,(6)式中的 應(yīng)選取圖所示的復(fù)合曲面+，其中 是包圍 P 點(diǎn)、半徑為小量的球面。該積分為,1. 基爾霍夫積分定理,由(7)式，有,1. 基爾霍夫積分定理,對于 面上的點(diǎn)，cos(n, r)1，r，所以，,1. 基爾霍夫積分定理,因此,的球面積為,時(shí),1.基爾霍夫積分定理,這就是亥姆霍茲基爾霍夫積分定理。,

8、故有,1.基爾霍夫積分定理,它將 P 點(diǎn)的光場與周圍任一閉合曲面 上的光場聯(lián)系了起來：,2. 基爾霍夫衍射公式,現(xiàn)在將基爾霍夫積分定理應(yīng)用于小孔衍射問題，在某些近似條件下，可以化為與菲涅耳表達(dá)式基本相同的形式。,2. 基爾霍夫衍射公式,如圖所示，有一個(gè)無限大的不透明平面屏，其上有一開孔，用點(diǎn)光源 S 照明，并設(shè) 的線度 滿足,2. 基爾霍夫衍射公式,圍繞 P 點(diǎn)作一閉合曲面。該閉合曲面由三部分組成：開孔，不透明屏的部分背照面1，以 P 點(diǎn)為中心、R 為半徑的大球的部分球而2。,2. 基爾霍夫衍射公式,在這種情況下，P 點(diǎn)的光場復(fù)振幅為,下面確定這三個(gè)面上的 和 。,2. 基爾霍夫衍射公式,在上

9、， 和 的值由入射波決定，與不存在屏?xí)r的值完全相同。因此,A 是離點(diǎn)光源單位距離處的振幅，cos(n, l) 表示外向法線 n 與從 S 到 上某點(diǎn)Q 的矢量 l 之間夾角的余弦。,2. 基爾霍夫衍射公式,在不透明屏的背照面l 上， ， 。,通常稱這兩個(gè)假定為基爾霍夫邊界條件。應(yīng)當(dāng)指出，這兩個(gè)假定都是近似的，因?yàn)槠恋拇嬖诒厝粫?huì)干擾 處的場，特別是開孔邊緣附近的場。,2. 基爾霍夫衍射公式,對于2 面，rR，cos(n, R)1，且有,2. 基爾霍夫衍射公式,因此，在2 上的積分為, 是2 對 P 點(diǎn)所張的立體角，d 是立體角元。,2. 基爾霍夫衍射公式,扇形面積的計(jì)算公式：,2. 基爾霍夫衍射

10、公式,(索末菲輻射條件)，而當(dāng) R時(shí)，(eikR / R) R 是有界的，所以上面的積分在 R時(shí)(球面半徑 R 取得足夠大)為零。,索末菲指出，在輻射場中,2. 基爾霍夫衍射公式,通過上述討論可知，在(11)式中，只需要考慮對孔徑面 的積分，即,2. 基爾霍夫衍射公式,將(12)式代入上式，略去法線微商中的 l/r 和 1/l (它們比 k 要小得多)項(xiàng)，得到,此式稱為菲涅耳基爾霍夫衍射公式。,2. 基爾霍夫衍射公式,與(1)式進(jìn)行比較，可得,2. 基爾霍夫衍射公式, P 點(diǎn)的光場是 上無窮多次波源產(chǎn)生的，次波 源的復(fù)振幅與入射波在該點(diǎn)的復(fù)振幅 成正 比，與波長 成反比。,2. 基爾霍夫衍射公

11、式, 因子(- i) 表明，次波源的振動(dòng)相位超前于入射波 / 2；,2. 基爾霍夫衍射公式,傾斜因子 K() 表示了次波的振幅在各個(gè)方向上是不同的，其值在 0 與 1 之間。,2. 基爾霍夫衍射公式,如果一平行光垂直入射到 上，則 cos(n, l) =1，cos(n, r)= cos，因而,2. 基爾霍夫衍射公式,當(dāng)0 時(shí)，K() 1，這表明在波面法線方向上的次波貢獻(xiàn)最大；當(dāng) 時(shí)，K()0。這一結(jié)論說明，菲涅耳在關(guān)于次波貢獻(xiàn)的研究中假設(shè) K(/2)0 是不正確的。,3. 基爾霍夫衍射公式的近似,菲涅耳基爾霍夫衍射公式，因被積函數(shù)形式復(fù)雜而得不到解析形式的積分結(jié)果。為此，必須根據(jù)實(shí)際條件進(jìn)一步

12、作近似處理。,1) 傍軸近似,對于傍軸光線，如圖所示的開孔 的線度和觀察屏上的考察范圍都遠(yuǎn)小于開孔到觀察屏的距離。, 的線度 Z1,1)傍軸近似, cos(n, r) 1，于是 K() 1； r z1。,因此,下面的兩個(gè)近似條件通常都成立：,1)傍軸近似,在這里，指數(shù)中的 r 未用 z1 代替。,這樣，(14)可以簡化為,2) 距離近似菲涅耳近似和夫朗和費(fèi)近似,若在離 很近的 K1 處觀察透過的光，可以看作是圓孔的投影,這時(shí)光的傳播大致可以看作是直線傳播。,2) 距離近似菲涅耳近似和夫朗和費(fèi)近似,若距離再遠(yuǎn)些，如在 K2 面上觀察時(shí)，隨著觀察平面距離的增大，環(huán)紋中心表現(xiàn)出從亮到暗，又從暗到亮的

13、變化。,2) 距離近似菲涅耳近似和夫朗和費(fèi)近似,當(dāng)觀察平面距離很遠(yuǎn)時(shí)，如在 K4 位置，觀察距離再增大，只是光斑擴(kuò)大，但光斑形狀不變。,2) 距離近似菲涅耳近似和夫朗和費(fèi)近似,在 K2、K3 及其前后的范圍內(nèi)的衍射現(xiàn)象稱為菲涅耳衍射，而在很遠(yuǎn)處(如 K4 面上)的衍射現(xiàn)象稱為夫朗和費(fèi)衍射。,2) 距離近似菲涅耳近似和夫朗和費(fèi)近似,用基爾霍夫衍射公式計(jì)算近場和遠(yuǎn)場衍射時(shí)，可以按照離衍射孔的距離將衍射公式進(jìn)行簡化。,當(dāng)然，近場、遠(yuǎn)場的劃分是相對的，對一定波長的光來說，衍射孔徑愈大，相應(yīng)的近場與遠(yuǎn)場的距離也愈遠(yuǎn)。,(1) 菲涅耳近似,如圖所示，設(shè) ，則由幾何關(guān)系有,(1) 菲涅耳近似,(1) 菲涅耳近似,當(dāng) z1 大到滿足,時(shí)，,上式第三項(xiàng)及以后的各項(xiàng)都可略去，,(1) 菲涅耳近似,這一近似稱為菲涅耳近似，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)觀察到的衍 射現(xiàn)象叫菲涅耳衍射。,簡化為,(1) 菲涅耳近似,在菲涅耳近似下，P 點(diǎn)的光場復(fù)振幅為,當(dāng)觀察屏離孔的距離很大，滿足,時(shí)，,(2)