1、返回,第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)形,一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型,可以認(rèn)為，二次型中最簡單的一種是只包含平方項(xiàng)的二次型,（1）,現(xiàn)在討論用非退化的線性替換化簡二次型的問題.,返回,證明 下面的證明實(shí)際上是一個(gè)具體地把二次型化成平方和的方法，這就是中學(xué)里學(xué)過的“配方法”.,定理1 數(shù)域上P任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過非退化線性替換變成平方和(1)的形式.,這一節(jié)的主要結(jié)果是,我們對變量的個(gè)數(shù)n作數(shù)學(xué)歸納法.,對于n=1，二次型就是,f(x1)=a11x12 .,已經(jīng)是平方和了，即結(jié)論成立. 現(xiàn)假定對n-1元的二次型，定理的結(jié)論也成立.,返回,下面分三種情形來討論,再設(shè),1) aii (i=1,2, ,n)中至少有一個(gè)不為零，

2、例如a110.這時(shí),返回,這里,是一個(gè)x2,x3,xn的二次型. 令,或,這是一個(gè)非退化線性替換，它使,返回,能使它變成平方和,由歸納法假定，對 有非退化線性替換,返回,于是非退化線性替換,就使f(x1,x2,xn)變成,即變成平方和了.根據(jù)歸納法原理，定理得證.,返回,它是非退化線性替換，且使,2)所有aii=0 (i=1,2, ,n) ，但是至少有一個(gè)a1j0 (j1)，不失普遍性，設(shè)a120.令,返回,這時(shí)上式右端是 z1,z2,zn的二次型，且z12的系數(shù)2a120，已屬于第一種情況，定理成立.,3)所有a11=a12=a1n=0.,由于對稱性，有a21=a31=an1=0.,這時(shí),已

3、經(jīng)是n-1元二次型，根據(jù)歸納法假定，它能用非退化線性替換變成平方和.,這樣我們就完成了定理的證明. 證畢.,返回,反過來，矩陣為對角形的二次型就只含有平方項(xiàng).按上一節(jié)的討論，經(jīng)過非退化的線性替換，二次型的矩陣變到一個(gè)合同的矩陣，因此，用矩陣的語言，定理1可以敘述為：,易知，二次型（1）的矩陣是對角矩陣,定理2 在數(shù)域P上，任意一個(gè)對稱矩陣都合同于一對角矩陣.,定理2也就是說，對于任意一個(gè)對稱矩陣A都可以找到一個(gè)可逆矩陣C使,成為對角矩陣.,返回,CTAC.,二次型f(x1,x2,xn)經(jīng)過非退化線性替換所變成的平方和稱為f(x1,x2,xn)的標(biāo)準(zhǔn)形.,返回,解,例1 化二次型,為標(biāo)準(zhǔn)形，并求

4、所用的非退化線性替換矩陣.,返回,返回,所用變換矩陣為,為標(biāo)準(zhǔn)形. 并求所用的非退化線性替換.,返回,例2 化二次型,解 作非退化線性替換,則,再令,返回,則,或,最后令,返回,則,或,是平方和.,而這幾次非退化線性替換的結(jié)果相當(dāng)于作一個(gè)總的非退化線性替換.,返回,返回,二、配方法的矩陣寫法,1. a110, 這時(shí)的變量替換為,前面所講的配方法，可以用矩陣寫出來. 我們按前面的每一種情況寫出相應(yīng)的矩陣.,令,返回,則上述變量替換相應(yīng)于合同變換,AC1TAC1 .,為計(jì)算C1TAC1 ，可令,返回,于是A和C1可寫成分塊矩陣,這里T為的轉(zhuǎn)置，En-1為n-1級單位矩陣. 這樣,返回,矩陣A1-a

5、11-1T是一個(gè)(n-1)(n-1)對稱矩陣，由歸納法假定，有(n-1)(n-1)可逆矩陣G使,為對角形，令,于是,這是一個(gè)對角矩陣，我們所要的可逆矩陣就是,C=C1C2,返回,2. a11=0 ，但只有一個(gè)aii0.,這時(shí)，只要把A的第1行與第i行互換，再把第1列與第i列互換，就歸結(jié)成上面的情形，根據(jù)初等矩陣與初等變換的關(guān)系，取,i行,就是把A的第1行與第i行互換，再把第1列與第i列互換.因此，C1TAC1左上角第1個(gè)元素就是aii，這樣就歸結(jié)到第一種情形.,顯然,返回,矩陣,3. aii=0, i=1,2, ,n ，但有一a1j0, j1.,與上一情形類似，作合同變換,返回,可以把a(bǔ)1j搬到第1行第2列的位置，這樣就變成了配方法中的第二種情形. 與那里的變量替換相對應(yīng)，取,于是C1TAC1的左上角就是,返回,也就歸結(jié)到第一種情形.,由對稱性，也有aj1=0, j=1,2, ,n. 于是有,A1是n-1級對稱矩陣.由歸納法假定，有(n-1)(n-1)可逆矩陣G使,上頁,下頁,返回,4. a1j=0, j=1,2, ,n.,成對角形.取可逆矩陣,CTAC就成對角形矩陣了.,上頁,下頁,返回,為標(biāo)準(zhǔn)形.并求出所用的非退化線性替換矩陣.,例2 化二次型,解 f(x1,x2,x3) 的矩陣為,取,上頁,下頁,返回,有,再取,上頁,下頁,返