1、1,線性代數(shù)與空間解析幾何,哈工大數(shù)學(xué)系代數(shù)與幾何教研室,王 寶 玲,特征值與特征向量,2007.9,第六章,2,特征向量與特征向量 相似矩陣 矩陣的相似對(duì)角化,本章的主要內(nèi)容,3,在工程技術(shù)中有許多與振動(dòng)和穩(wěn)定性有關(guān)的問(wèn)題（如：機(jī)械、電子、土木、化工、生態(tài)學(xué)、核物理、彈性力學(xué)、氣體力學(xué)), 在數(shù)學(xué)中, 解微分方程組及簡(jiǎn)化矩陣的計(jì)算等, 都會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：,1. 對(duì)于給定的3階方陣A, 是否存在非零列,向量X,使向量AX與X平行？,2. 如果存在這樣的X, 則該如何求這個(gè)X ？,問(wèn)題的提出：,4,設(shè),則對(duì)于,有,而對(duì)于,可見(jiàn)有些向量X, 有AX與X平行這個(gè)性 質(zhì),而其它向量則沒(méi)有這個(gè)性質(zhì).

2、有這樣性 質(zhì)的向量稱(chēng)為特征向量.,例1,5,6.1 特征值與特征向量,特征值與特征向量的概念 特征值與特征向量求法 特征值與特征向量的性質(zhì) 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值與特征向量,本節(jié)的主要內(nèi)容,6,設(shè)A是n階方陣,若存在數(shù) 及非零 列向量X, 使得,則稱(chēng) 是A的特征值, X是A的屬于 特征值 的特征向量.,1.若X=0,則A0=0,()成立. 2.幾何意義:向量AX=,注,AX= X,1.定義,6.1.1 特征值與特征向量的概念,7,求方陣A的特征值:,稱(chēng),即,為矩陣A的特征多項(xiàng)式,征值的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求特征方程根的問(wèn)題.,AX= X(X 0),有非零解,為矩陣A的特征方程,求矩陣特,2. 特征值與特征向

3、量的求法,8,求方陣A的特征向量:,求齊次線性方程組的非零解問(wèn)題.,由齊次線性方程組解的性質(zhì)知特征向 量有以下2條性質(zhì):,(1)X是屬于 的特征向量,則,(2) 是屬于 的特征向量,則,的非零解,9,對(duì)A的特征值 ,稱(chēng)方程組 的解空間 為A的關(guān)于特征值 的特征子空間.,特征子空間:,求A的特征值與特征向量的步驟如下:,(1)由 求A的特征值 (2)分別把A的每個(gè)特征值 代入方程組 , 求出它的基礎(chǔ)解系. 則基礎(chǔ)解系的所有非零線性組合就是 A的屬于 的全部特征向量.,10,求A特征值和特征向量 及特征子空間.,解 (1)求A的特征值,A的特征值為,對(duì) ,解方程組,(2)求特征向量,例2,11,由

4、,得同解方程組:,得基礎(chǔ)解系為,得A的屬于-1的全部特征向量為,是不全為0的任意常數(shù).,12,對(duì) ,解方程組,得同解方程組:,得基礎(chǔ)解系為,得A的屬于5的全部特征向量為,是不為0的任意常數(shù).,13,得A的關(guān)于特征值-1和5的特征子空間為：,為任意常數(shù),為任意常數(shù),14,1.特征值的性質(zhì),性質(zhì)1 設(shè),為n階矩陣A的特征值，,則,證 由已知,6.1.2 特征值與特征向量的性質(zhì),15,只能出現(xiàn)在,乘積項(xiàng)中.,另一方面,比較(1),(2)中 的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng),得結(jié)論.,16,則,設(shè)為n階方陣A的特征值, 且,1.,有0 特征值.,注:,A的特征值都非0.,證,則,(X0),用數(shù)學(xué)歸納法可得,對(duì)kN,有,

5、性質(zhì)2,17,若,且A可逆,則,例3,(X0)，,證,且 A可逆,則,而,18,2.特征向量的性質(zhì),定理1 如果1, 2,m是n階方陣A的互異 特征值, 則它們所對(duì)應(yīng)的特征向量 X1,X2, Xm線性無(wú)關(guān).,證 由已知,對(duì)特征值個(gè)數(shù)m用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)m=1時(shí),因?yàn)閄10, 所以結(jié)論成立.,19,設(shè)m-1個(gè)特征值時(shí)結(jié)論成立, 考慮m的情形.,A左乘(1)式等號(hào)兩端, 得,用m乘(1)式兩端, 得,(2)式減(3)式,得,即,20,k1(1-m)X1+km-1(m-1-m)Xm-1= 0 由歸納假設(shè) X1,X2,Xm-1線性無(wú)關(guān). 所以 ki (i -m)=0， i=1,2,m-1 由已知i m

6、, i=1,2,m-1, 得 ki =0, i=1,2,m-1, 代入(1)式, 有 kmXm= 0,又Xm0, 所以 km= 0. 故 X1, X2,Xm線性無(wú)關(guān).,21,設(shè) 1,2, , s的是A的s個(gè)互異的,也線性無(wú)關(guān).,這個(gè)推論的證明與定理1類(lèi)似.,推論2,若A有n個(gè)互異特征值,則A必有n個(gè) 線性無(wú)關(guān)的特征向量,推論1,特征值, 而 是屬于i的,mi個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, i=1,s, 則,22,6.1.3 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值與特征向量,實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的性質(zhì):,性質(zhì)1 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值都是實(shí)數(shù).,性質(zhì)2 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的實(shí) 特征向量必正交.,證,設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣, 是A的的特征值

7、,且,A= , A2= 2 2,往證1T2= 0.,23,11T2 = (11 ) T 2= (A1 )T2 =1TAT2 =1T(A2) = T(2 2)= 21T 2 (1 -2)1T2 = 0 1T 2 = 0.,實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的ri重特征值i一定有ri個(gè) 線性無(wú)關(guān)的實(shí)特征向量.,即方程組,的基礎(chǔ)解系恰好含有ri個(gè)向量.,性質(zhì)3,24,設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A 的特征值為-1,1,1, -1所對(duì)應(yīng)的特征向量為(0,1,1)T . 求1對(duì)應(yīng)的特征向量.,解,設(shè) X =(x1,x2,x3 )T,是不全為0的任意常數(shù).,例4,25,本節(jié)主要內(nèi)容,相似矩陣的概念 方陣相似對(duì)角化的條件與方法 幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)

8、 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似對(duì)角化的方法,6.2 相似矩陣,26,設(shè)A,B是兩個(gè)n階方陣,如果存在 可逆矩陣T, 使,T-1AT =B,則稱(chēng)A與B相似, 記作AB. 從A到B 的這種變換稱(chēng)為相似變換, T為相似變換矩陣.,6.2.1 相似矩陣的概念,1 定義,例如,T-1ET =E,27,即相似關(guān)系滿(mǎn)足:,(1) 自反性:AA; (2) 對(duì)稱(chēng)性:若AB, 則BA; (3) 傳遞性:若AB,BC,則AC.,矩陣的相似關(guān)系是 上的一種等價(jià)關(guān)系,所以彼此相似的矩陣構(gòu)成一個(gè)等價(jià)類(lèi), 最簡(jiǎn)單的代表元就是對(duì)角陣.,28,2 相似矩陣的特征多項(xiàng)式,定理6.2 若A與B相似, 則特征多項(xiàng)式同, 即,證,因A與B相似,

9、 所以存在可逆矩陣T, 使,T-1AT =B,29,推論,若n階方陣A與對(duì)角陣,相似,結(jié)論成立.,30,3 相似矩陣有5,(4) 跡同:,(1) 特征多項(xiàng)式同:,(2) 特征值同:,(3) 行列式同:,(5) 秩同:,如果A, B是兩個(gè)n階方陣, AB.則有,但逆命題不成立 即特征值同但不 相似,陣,(2)的反例如下:,31,(1) 相似矩陣有相同的可逆性, 當(dāng)A可逆時(shí), 若AB,則A-1B-1, B*A*,B*=T-1A*T . (2) 若AB, 則Am Bm, 其中m是正整數(shù). (3) 若AB, 設(shè) f(x) 是一個(gè)一元多項(xiàng)式, 則 f (A)f (B),4 相似矩陣的同性質(zhì),(5) 若A

10、B,則對(duì)常數(shù)t有,(4) 若AB,則AT BT .,32,與,相似,解,由|5E A|=5-5x=0,x = 1,tr(A) =x- 2= tr() =y,y = -1.,例1,求 x , y .,兩矩陣相似,等價(jià),5 矩陣的相似與等價(jià)的關(guān)系,顯然A有特征值 5,-5.,33,6.2.2 相似對(duì)角化的條件及方法,1 定義,若A與對(duì)角陣相似,稱(chēng)A可以相似 對(duì)角化.,2 相似對(duì)角化的條件,A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.,A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,且的主對(duì)角線上元素是與其對(duì)應(yīng)的特征值.,T-1AT=為對(duì)角陣,T的n個(gè)列向量是,34,證,設(shè)A與對(duì)角陣相似,則可逆陣T, 使,所以有 AT = T,用T1

11、, T2, Tn表示T 的n個(gè)列向量, 即,T=(T1, T2, Tn),(注意:證明過(guò)程給出相似對(duì)角化的方法),35,即 A(T1, Tn)=(AT1, ATn)=,等式兩邊的列向量應(yīng)當(dāng)對(duì)應(yīng)相等, 所以:,由T可逆知, T1, Tn線性無(wú)關(guān),故是A的,n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.,36,設(shè)T1,T2,Tn是n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量, 滿(mǎn)足: ATi =iTi, i=1,2,n 如果令 T=(T1,T2,Tn) AT =A(T1,T2,Tn) =(AT1,AT2,ATn) =(1T1, 2T2, nTn) =(T1,T2,Tn) diag(1,2, , n) =Tdiag(1, 2, , n),T-1

12、AT,37,A可相似對(duì)角化.,若A有n個(gè)互異特征值,例如, n階單位陣E 可對(duì)角化, 但是它的 互異特征值只有1個(gè)( n重 ).,屬于A的不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān),問(wèn)題：若A可相似對(duì)角化, 那么A一定有n個(gè) 互異特征值?,推論,38,6.2.3 幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù),幾何重?cái)?shù):矩陣A的每個(gè)特征值i的特征子 空間 Vi的維數(shù)為i的幾何重?cái)?shù). (即 (iE-A)X=0基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)). 代數(shù)重?cái)?shù): i在特征方程中的重根數(shù).,A的特征值的幾何重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù).,定理6.4,注 復(fù)矩陣A的所有特征值的代數(shù)重?cái)?shù)之和,特征值幾何重?cái)?shù)=代數(shù)重?cái)?shù)時(shí).,=n,所以有,39,解,x = y.,r(E A)=1

13、,可相似對(duì)角化,求x , y 滿(mǎn)足的條件.,例2,r(3E A)=2,特征值為1，1，3.,40,設(shè)三階方陣A 的特征值為1,-1,-1,依次是對(duì)應(yīng)的特征向量,求A與,解 設(shè),則,線性無(wú)關(guān), A可相似對(duì)角化.,例3,41,任意實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A不僅可對(duì)角化, 而且能找到一個(gè)正交陣P, 使得P-1AP = PTAP = 為對(duì)角陣. 即A可正交相似對(duì)角化.,6.2.4 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化,42,實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣可以正交相似對(duì)角化.,其中 是A的特征值.,證 A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣, 有,定理6.6,即:若A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣, 則正交陣P, 使得,(證明過(guò)程給出方法),43,不同特征值 1 2 s,代數(shù)重?cái)?shù) r1 r2 rs,幾何重?cái)?shù) r1 r2 rs,無(wú)關(guān)特征向量 X11 X1r1 X21X2r2 Xs1Xs rs,標(biāo)準(zhǔn)正交化,標(biāo)準(zhǔn)正交 特征向量,則,為正交陣,令,例4 設(shè),求正交陣 使 為對(duì)角陣 .,解,特征值為,得基礎(chǔ)解系,正交化,單位化,46,得基礎(chǔ)解系,單位化,故,為正交陣,diag(2, 2, -7),47,已知矩陣A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣, 它的特征 值分別是 1, 1, 2, 且屬于2 的特征向量 是 ( 1, 0, 1, )T, 求A=?,解 A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)