1、一、二元函數(shù)的極值,二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法,第六節(jié) 二元函數(shù)的極值,1,實例：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品1與2，出售單位分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品1與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品2的總費用是,求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少，工廠可以取得最大利潤,求最大利潤即為求二元函數(shù)的最大值.,I、問題的提出,2,一. 二元函數(shù)的極值,定義 1,設(shè)函數(shù) z = f ( x , y ) 在點 ( x0 , y0 ) 的某個鄰域內(nèi)有定義，,如果對于該鄰域內(nèi)異于 ( x0 , y0 )的點 ( x , y ) 都有,(或 )，,極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.,則稱 f (x0 , y0) 為函數(shù) f (x , y ) 的極大值(或

2、極小值).,3,設(shè)函數(shù) z = f (x , y )在點 P0( x0 , y0 ) 的偏導(dǎo)數(shù),極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.,稱為極大值點(或極小值點)，,使函數(shù)取得極大值的點(或極小值的點)(x0 , y0)，,定理 1 (極值存在的必要條件),且在點 P0 處有極值，,則在該點的偏導(dǎo)數(shù)必為零，,即,存在，,4,仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點.,駐點,極值點,Problem：如何判定一個駐點是否為極值點？,注 意,在點 (0,0) 有極大值, (0,0)不是駐點,5,設(shè) P0(x0 , y0)是函數(shù) z = f (x , y)的駐點，,且函數(shù)在點 P0 的某

3、個鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，,定理 2 (極值存在的充分條件),令,則， (1) 當(dāng) P 0 且 A 0 時,f(x0, y0) 是極大值，,當(dāng) P 0 時，,f(x0, y0) 是極小值；,6,也可能沒有極值.,函數(shù) f ( x , y ) 在點 P0(x0 , y0 )可能有極值，,(3) 當(dāng) P=0 時，,(2) 當(dāng) P 0 時，,不是極值；,7,(1) 先求偏導(dǎo)數(shù),(2) 解方程組,求出駐點；,(3) 確定駐點處,據(jù)此判斷出極值點，,并求出極值.,若函數(shù) z = f (x , y) 的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，,就可以按照下列步驟求該函數(shù)的極值：,8,例 1,求函數(shù) 的極值.,解,(1) 求偏導(dǎo)數(shù),

4、(2) 解方程組,得駐點 (0, 0) 及 (2, 2) .,9,(3) 列表判斷極值點.,駐點(x0, y0),(0, 0),(2, 2),結(jié) 論,極大值 f (0, 0) = 1,f(2, 2) 不是極值,A,4,B,2,2,C,+,10,例2.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點.,得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判別.,(1)在點(1,0) 處,為極小值;,解方程組,的極值.,求二階偏導(dǎo)數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,11,(3)在點(3,0) 處,不是極值;,(4)在點(3,2) 處,為極大值.,(2)在點(1,2) 處,不

5、是極值;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,12,二、最大、最小值應(yīng)用問題(Applications),最值可疑點,駐點,邊界上的最值點,特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點P 時,為極小 值,為最小 值,(大),(大),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,13,例3：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品1與2，出售單位分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品1與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品2的總費用是,求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少，工廠可以取得最大利潤,14,15,例4.,解: 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為,則水箱所用材料的面積為,令,得駐點,某廠要用鐵板做一個體積為2,根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)

6、存在,的有蓋長方體水,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,因此可,斷定此唯一駐點就是最小值點.,即當(dāng)長、寬均為,高為,時, 水箱所用材料最省.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,16,實例： 小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買 張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為 設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果,問題的實質(zhì)：求 在條件 下的極值點,三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法,17,條件極值 (Conditional Maximum and Minimum Values ),極值問題,無條件極值:,條 件

7、極 值 :,條件極值的求法:,方法1 代入法.,求一元函數(shù),的無條件極值問題,對自變量只有定義域限制,對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制,例如 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,18,第一步：引入輔助函數(shù),如求二元函數(shù),下的極值,第二步：解方程組,在條件,得駐點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第三步：判別 是否為極值,方法2 拉格朗日乘數(shù)法(Lagrange Multipliers).,19,Extension,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.,設(shè),解方程組,可得到條件極值的可疑點 .,例如, 求函數(shù),下的極值.,在條件,機動 目錄 上頁 下頁 返回

8、結(jié)束,20,例6.,要設(shè)計一個容量為2單位,則問題為求x , y ,令,解方程組,解: 設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積,最小.,z 使在條件,水箱長、寬、高等于多少時所用材料最?。?的長方體開口水箱, 試問,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,21,得唯一駐點,由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為相等時，所用材料最省.,因此 , 當(dāng)高,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,22,23,24,Conclusions,1. 函數(shù)的極值問題,第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.,即解方程組,第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .,2. 函數(shù)的條件極值問題,(1) 簡單問題用代入法,如對二元函數(shù),(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,25,設(shè)拉格