1、高斯定理推證,點電荷電場,球面上各處場強大小均為,從該球面穿出的電通量,根據(jù)電場線的性質(zhì)在電場中沒有電荷處電場線是連續(xù)的、不相交的，可以肯定包圍點電荷q的任意封閉曲面S上的電通量也是,根據(jù)電場迭加原理，將上述結(jié)果推廣到任意點電荷系構(gòu)成的靜電場：若閉合曲面包圍的電荷的代數(shù)和為,返回,高斯定理的應(yīng)用求場強,均勻帶電球面的電場,由高斯定理有,由高斯定理有,均勻帶電球體的電場,由高斯定理有,由高斯定理有,無限大均勻帶電平面的電場,由高斯定理有,兩面積S、間距d平行板電容器當(dāng)帶電荷量Q時，板間電場由電場疊加原理可得為,例:半徑為r的圓板，在與其中心O距離為d處置一點電荷q，試求板上電通量,球冠面上的電通

2、量與圓板的電通量相同！,距q為R處電場強度大小為,球冠面積為,例:在相距d的兩根平行細(xì)長導(dǎo)線上均勻地分布有異種電荷，其線密度為及 求在對稱平面上與導(dǎo)線所在平面相距為x的一點P的電場強度 ,無限長均勻帶電導(dǎo)線的電場,由高斯定理有,例:如圖，有“無限長”均勻帶電圓柱面，半徑為R，電荷面密度為，試求其場強，并作E（r）圖 ,例:如圖，在一厚度為d的無窮大平板層內(nèi)均勻地分布有正電荷，其密度為，求在平板層內(nèi)及平板層外的電場強度E，并作E（r）圖 ,例:一點電荷q位于一立方體中心，立方體邊長為a，試問通過立方體一面的電通量是多少？如果點電荷移至立方體的一個角上，這時通過立方體每個面的電通量各是多少？,點電

3、荷位于立方體中心時，通過立方體一個表面的電通量為,點電荷位于立方體頂點時，,通過立方體一個表面的電通量為,靜電場的原理與方法,靜電場的兩大外觀表現(xiàn),力,對引入電場的任何帶電體產(chǎn)生力的作用.,能,當(dāng)帶電體在電場中移動時,電場力做功,說明電場具有能量.,描述靜電場的基本規(guī)律,電荷守恒定律,對一個孤立系統(tǒng)，電荷可在系統(tǒng)各部分之間遷移，但其總量保持不變原來為零的始終為零，原來為某一量Q的，則始終為Q，此即電荷守恒定律,庫侖定律,高斯定理,場疊加原理,唯一性原理,在真空中的任何靜電場中，通過任一閉合曲面的電通量等于這閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的0分之一，這就是真空中靜電場的高斯定理,等效處理方法,等效

4、對稱替代法,等效電像變換法,球在第一次與板接觸后獲得電量為q，說明有量值為q的正電荷從板上轉(zhuǎn)移到球上，由電荷守恒可知，此時板上電量為(Q-q),球與板這一系統(tǒng)中的總電量是按比例,分配到球上與板上的,當(dāng)多次操作直至最終板上電量又一次為Q但不能向與之接觸的球遷移時（此時兩者等電勢），球上電量達到最大:,例:一個金屬球借助導(dǎo)電薄板從起電機上獲得電荷，板在每次與球接觸后又從起電機上帶電至電量為Q如果球在第一次與板接觸后帶電量為q，求球可獲得的最大電量.,例: 如圖所示，半徑相同的兩個金屬球A、B相距很遠(yuǎn)，原來不帶電，C球先與遠(yuǎn)處電池正極接觸，（負(fù)極接地），接著與球A接觸，再與B球接觸；然后又與電池正極

5、接觸，重復(fù)上述過程，反復(fù)不已已知C球第一次與電池接觸后的帶電量為q，第一次與A球接觸后A球的帶電量為Q1，求A球與B球最后的帶電量Q與Q；設(shè) ，至少經(jīng)過幾次與C球接觸后，A球的帶電量可達最后帶電量的一半？,設(shè)A、B球半徑為R,C球半徑為r,C球與A球第1次接觸后有,電荷不再從C球移向A球，故,C球與B球接觸最終亦有,由式及題給條件,若第次C與A接觸后A又獲電量Q2，,n次C、A接觸后有,返回,庫侖力與萬有引力,r2,r1,m,O,M,Q,q,帶電球殼內(nèi)場強為零!,r,點電荷q在兩側(cè)場強等值反向!,q,整個帶電球內(nèi)部場強為0;,外表面場強大小為,設(shè)球殼除A外其余部分在A處的場強為EA,A,在A內(nèi)

6、側(cè)有,在A外側(cè)有,例:均勻帶電球殼半徑為R，帶正電，電量為Q，若在球面上劃出很小一塊，它所帶電量為q試求球殼的其余部分對它的作用力,例: 一個半徑為a的孤立的帶電金屬絲環(huán)，其中心電勢為U0將此環(huán)靠近半徑為b的接地的球，只有環(huán)中心O位于球面上，如圖試求球上感應(yīng)電荷的電量 ,O點O1點電勢均為0;,環(huán)上電荷在O點的總電勢為U0,球上感應(yīng)電荷在O1點引起的電勢Ub,O點O1點電勢均由環(huán)上電荷及球上感應(yīng)電荷共同引起！,環(huán)上電荷在O1點的總電勢為,例:正點電荷1和正點電荷2分別放置在A、B兩點，兩點間相距L現(xiàn)以L為直徑作一半圓，電荷在此半圓上有一電勢最小的位置P，設(shè)PA與AB的夾角為，則 （用三角函數(shù)表

7、示）,切向場強為0位置為電勢最小的位置！,例:電荷均勻分布在半球面上，它在這半球的中心O處電場強度等于E0兩個平面通過同一條直徑，夾角為，從半球中分出一部分球面，如圖所示試求所分出的這部分球面上（在“小瓣”上）的電荷在O處的電場強度E,E,半球面均勻分布電荷在O點引起的場強可視為“小瓣”球面電荷與“大瓣”球面電荷在O點引起的電場的矢量和.,由對稱性及半球幾何關(guān)系可知E大與E小垂直，如圖所示:,例:有兩個異種點電荷，其電量之比為n，相互間距離為d試證明它們的電場中電勢為零的等勢面為一球面，并求此等勢面的半徑及其中心與電量較小電荷的距離r ,-q,nq,以小電量電荷所在位置為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)

8、,-q與nq在坐標(biāo)為（x、y）的點電勢迭加為零，即有,零等勢面為球面,球心坐標(biāo),球半徑,例:半徑分別為R1和R2的兩個同心半球相對放置，如圖所示，兩個半球面均勻帶電，電荷密度分別為1和2，試求大的半球面所對應(yīng)底面圓直徑AOB上電勢的分布 ,A,B,大半球面上電荷量為,大半球面上電荷在底面引起的電勢為整個大球面上電荷引起電勢的一半,即,小半球面上電荷量為,小半球面上電荷在其底面引起的電勢為整個小球面上電荷引起電勢的一半,即,根據(jù)電場疊加原理,直徑AB上電荷分布為:,小半球面上電荷在球面外引起的電勢亦為整個小球面上電荷引起電勢的一半,即,例: 一半徑為R、帶電量為Q的均勻帶電球面，試求其上的表面張

9、力系數(shù)，定義為面上單位長度線段兩側(cè)各向?qū)Ψ绞┘拥淖饔昧?,R,在球面上取一面元,面元受力如示,面元周邊所受張力合力大小為,面元處于平衡,則,返回,例:如圖，電場線從正電荷q1出發(fā)，與正點電荷及負(fù)點電荷的連線成角，則該電場線進入負(fù)點電荷q2的角度是多大？,以點電荷+q1與-q2為中心，取一半徑r很小的球面，可視為其上電場線均勻分布，穿出2角所對的球冠面的電場線應(yīng)完全穿入2角所對的球冠面，兩面上電通量相等：,例:準(zhǔn)確地畫出兩點電荷q及4q的電場線分布示意圖.,若兩電荷相距a，場強為零的點在兩點電荷連線延長線距+q為x遠(yuǎn)處:,由上題，從+q出發(fā)，與兩電荷連線所成角度在0,之間的電場線進入-4q終止時

10、與兩電荷連線夾角在0,/3之間，如圖:,O點電勢為0：,由高斯定理知,例:如圖，兩個以O(shè)為球心的同心金屬球殼都接地，半徑分別是r、R現(xiàn)在離O為l（rlR）的地方放一個點電荷q問兩個球殼上的感應(yīng)電荷的電量各是多少？ .,例:如圖所示，將表面均勻帶正電的半球，沿線分成兩部分，然后將這兩部分移開很遠(yuǎn)的距離，設(shè)分開后的球表面仍均勻帶電，試比較點與點電場強度的大小 ,若正四面體的四個面電勢相同，四面體就是一個等勢體，其中心點電勢即可確定，現(xiàn)正四面體ABCD各面靜電勢均不同，其中心點的電勢難以直接確定.,例:如圖所示，正四面體ABCD各面為導(dǎo)體，但又彼此絕緣已知帶電后四個面的靜電勢分別為、和,求四面體中心

11、點的電勢0 ,進行等效替代：另有同樣的三個四個面的靜電勢分別為1、 2 、 3和4的正四面體，將它們適當(dāng)?shù)丿B在一起，使四個面的電勢均為1+2 +3+4 ，中心點O共點，這個疊加而成的四面體是等勢體，其中心O點電勢40=1+2 +3+4,例:如圖所示，在半徑為R、體密度為的均勻帶電球體內(nèi)部挖去半徑為r的一個小球，小球球心與大球球心O相距為a，試求點的場強，并證明空腔內(nèi)電場均勻 ,r1,O,r2,帶電球內(nèi)半徑為r處場強,a,B,A,P處帶寬設(shè)為,帶面積為,均勻帶電球電荷面密度為,P處帶上電荷量為,P處弧上電荷線密度為,例:如圖所示，在半徑為R的細(xì)圓環(huán)上分布有不能移動的正電荷，總電量為Q，AB是它的

12、一條直徑，如果要使AB上的場強處處為零，則圓環(huán)上的電荷應(yīng)該如何分布？,均勻帶電金屬球表面每一個面元受到整個球面其余部分電荷對它的靜電力大小是,則單位面積靜電力,設(shè)想另半球?qū)Υ税肭虻淖饔昧εc壓強亦為P的氣體作用在半球上的壓力相平衡，則,例:兩個半球合在一起組成一個完整的金屬球，球的半徑為R，如圖所示，求兩個半球間的靜電斥力.,E,例:在強度為E的均勻電場中放著一個均勻的金屬球，其半徑為R，由于感應(yīng)，在球上產(chǎn)生了表面密度為的電荷，與圖中標(biāo)出的角有關(guān)系求關(guān)系式(),例:如圖所示，平面上有一段長為l的均勻帶電直線AB，在該平面取直角坐標(biāo)Oxy，原點O為AB中點，AB沿x軸試證明該平面上任一點P的電場線

13、方向沿APB的角平分線；試求該平面上的電場線方程試求該平面上的等勢線方程.,P,C,EP,B,A,h,元電荷在P點引起的場強,各點合場強均沿該點對AB張角的角平分線 !,利用雙曲線性質(zhì)：雙曲線上各點切線沿該點與雙曲線兩焦點夾角平分線，而所研究的電場其各點電場線切線沿各點對A、B張角平分線，則電場線為一簇焦距為l /2的雙曲線,利用橢圓性質(zhì)：橢圓上各點法線為該點與橢圓兩焦點夾角平分線，所研究的電場其各點電場線切線沿各點對A、B張角平分線，而等勢線與電場線處處垂直，則其等勢線即為一簇焦距為 l /2的橢圓,返回,例:如圖，無限大的接地導(dǎo)體板，在距板d處的A點有一個電量為Q的正電荷，求板上的感應(yīng)電荷

14、對點電荷Q的作用力,由于導(dǎo)體板接地，板上電勢為零，在點電荷Q的作用下，板的右側(cè)出現(xiàn)感應(yīng)電荷.,由于導(dǎo)體為一等勢面，從點電荷Q出發(fā)的電場線應(yīng)處處與導(dǎo)體面正交而終止，因而導(dǎo)體板右側(cè)電場線分布大致如圖所示,聯(lián)想到等量異種電荷的電場：,導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷對板右側(cè)電場的影響，可用與點電荷Q關(guān)于導(dǎo)體面成鏡像對稱的另一虛設(shè)點電荷-Q替代，板上感應(yīng)電荷對Q的作用亦等效于像電荷-Q對Q發(fā)生的作用,由庫侖定律，板上感應(yīng)電荷對點電荷Q的作用力大小為,R,O,r,由導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷總電量在O點引起的電勢與點電荷q在O點引起的電勢之和為零得,根據(jù)唯一性原理可知，等效的像電荷量即為,像電荷位置，應(yīng)令其在球面上任意點引起的電

15、勢與q在同一點電勢疊加為零，即滿足,對任意角位置等式均成立必有,例:如圖所示，設(shè)在一接地導(dǎo)體球的右側(cè)P點，有一點電荷q，它與球心的距離為d，球的半徑為R，求導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為多少？點電荷q受到的電場力為多大？,例:半徑為R2的導(dǎo)電球殼包圍半徑為R的金屬球，金屬球原來具有電勢為U，如果讓球殼接地，則金屬球的電勢變?yōu)槎嗌伲?U,金屬球上電量設(shè)為Q,球殼接地后設(shè)感應(yīng)電荷的像電荷電量為q，由高斯定理,殼接地后球的電勢為Q與q引起的電勢疊加,Ec,q,a,b,q,Ea,Eb,像電荷在c點引起的場強大小,例:兩個電量q相等的正點電荷位于一無窮大導(dǎo)體平板的同一側(cè)，且與板的距離均為d，兩點電荷之間的距離為2

16、d求在兩點電荷聯(lián)線的中點處電場強度的大小與方向,例:如圖所示，質(zhì)子加速器使每個質(zhì)子得到的動能為E很細(xì)的質(zhì)子束從加速器射向一個遠(yuǎn)離加速器的半徑為r的金屬球，并留在球上球中心并不處在加速器發(fā)射出的質(zhì)子運動方向的直線上，而與該直線的垂直距離為d，且dr，加速器工作足夠長時間后，球能充電到多高的電勢？計算中取E=2keV，,設(shè)質(zhì)子初速度為v0，當(dāng)金屬球充電到電勢為U時，質(zhì)子與金屬球相切而過，設(shè)此時速度設(shè)為v，由于質(zhì)子在向球運動時，只受庫侖力且力的方向沿球徑向，故對球心O，沖量矩為零，質(zhì)子角動量守恒：,U,由動能定理：,例:需要凈化空氣中的灰塵，但在一般條件下灰塵沉積下來是較緩慢的，為此可利用這樣一個事

17、實，即灰塵是帶電的為模擬凈化過程，提出兩種裝置 第一個裝置是，將含有灰塵空氣的玻璃圓桶（高h(yuǎn)1 m，半徑R0.1 m，如圖示）放在場強E11104 V/m的電場中，場強方向沿著圓柱形桶的軸向經(jīng)時間t1120 s后，可以觀察到容器中所有的灰塵均已沉積在底部 第二個裝置是這樣的：沿圓柱桶的軸線緊拉著一根細(xì)導(dǎo)線，且將此導(dǎo)線跟高壓電源相連，電源電壓是這樣選取的，使在容器壁上場強值恰好等于第一個裝置的場強值1104 V/m已知在這種情況下場強E1/r，r為離軸線的距離 假設(shè)塵粒是同種的，其所帶電荷量也相等，試確定第二個裝置中塵粒沉積到容器壁所需時間由于空氣中的塵粒不多，體電荷可以忽略，認(rèn)為塵粒沉積過程動

18、態(tài)平衡，空氣阻力與速度成正比，不計重力,解答,第一個裝置中，電場力恒定，故塵粒勻速下降時有,第二個裝置中，在距離軸心r處塵粒速度設(shè)為vr，則,讀題,電容器相關(guān)研究,電容器中的電介質(zhì),電介質(zhì)的介電常數(shù)定義為,平行板電容器電容,電容與電壓電量,電容器充放電,電容器的能量,到例,到例6,示例,由高斯定理,無限大均勻帶電平面的電場由,兩面積S、間距d平行板電容器當(dāng)帶電荷量Q時，板間電場由電場疊加原理可得為,平行板電容器,兩板間電勢差,球形電容器,由高斯定理,在距球心ri處場強,在距球心ri處,其上場強視作恒定,則元電勢差為,電容器兩極間電勢差為,例:兩個半徑均為R的導(dǎo)體球相互接觸形成一孤立導(dǎo)體，試求此

19、孤立導(dǎo)體的電容,解題方向: 若能確定系統(tǒng)電勢為U時的電量Q,可由定義求得C,考慮其中1球,電勢為U時,電量,引入同樣的第2球,1球?qū)㈦妱莜B加,為維持U,對稱地,為維持球2電勢U,亦設(shè)置像電荷予以抵消,為抵消像電荷引起的電勢,再設(shè)置下一級像電荷,例:半徑分別為a和b的兩個球形導(dǎo)體，相距很遠(yuǎn)地放置，分別帶有電荷qa、qb，現(xiàn)用一金屬導(dǎo)線連接，試求連接后每球上的電荷量及系統(tǒng)的電容.,解題方向: 系統(tǒng)總電量守恒，只要確定導(dǎo)線連接后系統(tǒng)的電勢,可由定義求得C,設(shè)連接后兩球各帶電,由電荷守恒有,由等勢且相距很遠(yuǎn),解得,返回,解題方向: 不平行電容器等效為無窮多個板間距離不等的平行板電容器并聯(lián)!,用微元法,

20、若無窮均分b,若無窮均分C,等式兩邊取n次方極限得,例:如圖，兩塊長與寬均為a與b的導(dǎo)體平板在制成平行板電容器時稍有偏斜，使兩板間距一端為d，另一端為（dh），且h d，試求該空氣電容器的電容 ,例:如圖所示，由五個電容器組成的電路，其中C14F，C26F，C10F，求AB間的總電容,設(shè)在A、B兩端加一電壓U，并設(shè)UMUN,M(N)處連接三塊極板總電量為,則有,解得,于是有,五電容連接后的等效電容為,五電容連接直觀電路如圖,例:如圖是一個無限的電容網(wǎng)絡(luò)，每個電容均為C，求A、B兩點間的總電容,設(shè)n個網(wǎng)格的電容為Cn,則有,整理得,該無窮網(wǎng)絡(luò)等效電容為,n,返回,例:如圖，一平行板電容器，充以三

21、種介電常數(shù)分別為1、2和3的均勻介質(zhì)，板的面積為S，板間距離為2d試求電容器的電容 ,等效于C1與串聯(lián)的C2、C3 并聯(lián):,例:在極板面積為S，相距為d的平行板電容器內(nèi)充滿三種不同的介質(zhì)，如圖所示如果改用同一種介質(zhì)充滿板間而電容與之前相同，這種介質(zhì)的介電常數(shù)應(yīng)是多少？如果在3和1、2之間插有極薄的導(dǎo)體薄片，問的結(jié)果應(yīng)是多少？,a,b,c,d,將電容器劃分為如圖所示a、b、c、d四部分,所求等效電容為a與b串聯(lián)、c與d串聯(lián)后兩部分并聯(lián)而成，由C可得,插入導(dǎo)體薄片,所求等效電容為1與2并聯(lián)與3串聯(lián)，由C可得,例:球形電容器由半徑為r的導(dǎo)體球和與它同心的球殼構(gòu)成，球殼內(nèi)半徑為R，其間一半充滿介電常數(shù)

22、為的均勻介質(zhì)，如圖所示，求電容.,球形電容器的電容,本題電容器等效于介電常數(shù)為和的兩個半球電容器并聯(lián)，每個半球電容各為,該球形電容器的等效電容為,R,r,例:如圖所示為共軸的兩導(dǎo)體圓柱面組成的電容器長l、半徑分別為r和R兩圓筒間充滿介電常數(shù)為的電介質(zhì)求此電容器的電容,圓柱面電容器,設(shè)圓柱面電容器電容為C，它由n個電容為nC的元圓柱面電容串聯(lián)而成，元圓柱面電容器可視為平行板電容器，第i個元電容為,ri,ri-1,1,2,3,4,+q1,-q2,+q2,-q1,解題方向:利用電容對兩板間的電壓及極板上的電量的制約,例:四塊同樣的金屬板，每板面積為S，各板帶電量分別為q1、-q1、q2、-q2各板彼

23、此相距為d，平行放置如圖，d比板的線尺寸小得多，當(dāng)板1、板4的外面用導(dǎo)線連接，求板2與板3之間的電勢差 ,例: 如圖所示，兩塊金屬平板平行放置，相距D=1 cm，一板上電荷面密度1=3C/m2，另一板上電荷面密度2=6C/m2 ，在兩板之間平行地放置一塊厚d=5 mm的石蠟板，石蠟的介電常數(shù)=2求兩金屬板之間的電壓 ,如果在每個金屬板上附加面密度為-4.5C/m2的電荷，電容器的帶電就成為“標(biāo)準(zhǔn)狀況”了兩板帶等量異種電荷:,附加電荷在板間引起的電場互相抵消，并不影響原來的板間電場，也不會改變電容器的電勢,等效電容為:,例:電容為C的平行板電容器的一個極板上有電量q，而另一個極板上有電量+4q，

24、求電容器兩極板間的電勢差,如果在每個金屬板上附加-2.5q的電荷，電容器的帶電就成為兩板帶等量異種電荷1.5q 的“標(biāo)準(zhǔn)狀況”：,例:三個電容分別為C1、C 2、C 3的未帶電的電容器，如圖方式相連，再接到點A、B、D上這三點電勢分別為A、UB、D則公共點O的電勢是多大？,解題方向:考慮電容器電容、電壓與電量之間的關(guān)系,設(shè)三個電容帶電量分別為,例:如圖所示的兩塊無限大金屬平板A、B均接地，現(xiàn)在兩板之間放入點電荷q，使它距A板r，距B板R求A、B兩板上的感應(yīng)電荷電量各如何？,解題方向:與設(shè)想將q均勻細(xì)分n份，均勻分布在距板r處的平面M后等效,M,這是兩個電容并聯(lián)!,兩電容器電容之比,并聯(lián)電容總電

25、量,每個電容帶電量,設(shè)三塊板上電量依次為q1、q2、 q3，由電荷守恒：,1、2兩板間的電場是三板上電荷引起電場的疊加：,3、2兩板間的電場也是三板上電荷引起電場的疊加：,例:三塊相同的平行金屬板，面積為S，彼此分別相距d1和d2起初板1上帶有電量Q，而板2和板3不帶電然后將板、分別接在電池正、負(fù)極上，電池提供的電壓為U若板1、3用導(dǎo)線連接如圖，求1、2、3各板所帶電量 ？,返回,S4斷開， S1、S2、S3接通的條件下，三電容器并聯(lián)在電源上，電路情況如圖所示：,C1,C2,C3,S4,S2,S3,R,S1,每個電容器電量為,斷開 S1、S2、S3接通S4的條件下，三電容器串聯(lián)在電源上，電路情況如圖所示：,由電荷守恒：,q1,-q2,q2,-q1,q3,-q3,由電勢關(guān)系：,例:如圖所示的電路中，C14C0，C22C0，C3C0，電池電動勢為，不計內(nèi)阻，C0與為已知量先在斷開S4的條件下，接通S1、S2、S3，令電池給三個電容器充電；然后斷開S1、S2