1、第四篇 振動(dòng)與波動(dòng),第十二章 振動(dòng),第十三章 波動(dòng),第十三章 電磁振蕩和電磁波,第十四章 幾何光學(xué)/ 波動(dòng)光學(xué),波 動(dòng) 學(xué),第十二章 振 動(dòng),12-5 兩個(gè)相互垂直的、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,12-4 兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,12-3 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振,12-2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量,12-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1. 掌握描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各物理量及各量間的關(guān)系。 2. 掌握旋轉(zhuǎn)矢量法。 3. 掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本特征，能建立一維簡(jiǎn)諧 振動(dòng)的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫 出一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理解其物理 意義。 4. 理解同方向、同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。,教學(xué)基本要求,物體在一定

2、位置附近來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng),機(jī)械振動(dòng):,引言.F,一. 簡(jiǎn)諧振動(dòng),1. 彈簧振子,模型,任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以認(rèn)為是由幾個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成,12-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng),FF2,（理想化的物理模型）,平衡位置O,物體所受合外力為零的位置,胡克定律,彈性力大小,方向,始終指向平衡位置O,以O(shè) 為原點(diǎn)取Ox軸，坐標(biāo)x 為物體相對(duì)于平衡位 置的位移,（變力）,物體所受合外力大小F = -kx 的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng),2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)定義,令,加速度與位移成正比且方向相反的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng),位移是時(shí)間的余弦（正弦）函數(shù)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng),簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程,解為:,簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程,二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期及頻率,振幅 A,物

3、體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值,周期 T,物體作一次完全振動(dòng)所需的時(shí)間，單位 s,頻率 v,單位時(shí)間內(nèi)所作完全振動(dòng)的次數(shù)，單位 Hz,角(圓)頻率,秒內(nèi)物體作全振動(dòng)的次數(shù),單位 rad/s 或 s-1,簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程可以表示為,振動(dòng)周期和頻率可以表示為,固有周期,固有頻率,與初始 條件無(wú)關(guān),伽利略曾觀察的比薩教堂的吊燈,（彈簧振子）,符合定義的幾種簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型,豎直彈簧振子,平衡時(shí),振動(dòng)方程,三. 諧振動(dòng)的速度和加速度,位 移,速 度,加速度,曲線表示：,四. 諧振動(dòng)的相位、初相和振幅的決定,相位,確定 t 時(shí)刻振動(dòng)物體位移和運(yùn)動(dòng)方向,初相,t = 0 時(shí)的相位,由初始條件確定A 和,設(shè) t

4、= 0 時(shí)，,由,振幅,（振動(dòng)狀態(tài)）,1. 由 給出 的兩個(gè)可能值,2.由 的正負(fù)號(hào)，確定 的值,初相 的決定,（難點(diǎn)）,（決定于 正負(fù)）,或：,來(lái)求解。,例題 12-1 彈簧振子 ， 。就下列情形分別求簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程。 將物體從平衡位置向右移到 處釋放。 將物體從平衡位置向右移到 處后并給物體以向左的速度 。,解,時(shí)，,振幅,角頻率,k,由,振動(dòng)方程,時(shí)，,振幅,振動(dòng)方程：,由,？,設(shè)平衡時(shí)鋼繩的伸長(zhǎng)量為,例題 12-2 卷?yè)P(yáng)機(jī)上吊著 的重物，以速度 下降，鋼繩上端因故突然被卡住，這時(shí)鋼繩的勁度系數(shù) ，不計(jì)鋼繩質(zhì)量，求重物此后的運(yùn)動(dòng)方程。,解,建立坐標(biāo)系，,當(dāng)m 相對(duì)于O 的位移為 x 時(shí),故

5、作諧振動(dòng),令,取鋼繩剛被卡住時(shí)t=0，,運(yùn)動(dòng)方程,或：,例題 12-3 證明：當(dāng)擺球偏角 很小時(shí)，單擺的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其周期。,取擺線在平衡位置的右邊時(shí)， 為正,解：,擺球切向運(yùn)動(dòng)方程：,當(dāng) 時(shí)，,令,故單擺作諧振動(dòng)，振動(dòng)周期,例4）如圖所示為一L、C自由振蕩電路，求其自 由振蕩頻率。,解：設(shè)電流方向如圖。,依基爾霍夫定律：,令：,對(duì)t求導(dǎo)：,（R=0）,五. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法,t = 0時(shí)，,與x軸夾角,t 0時(shí)，,以 為角速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)， 與 x軸夾角,FF,旋轉(zhuǎn)矢量 在 x 軸上的投影P點(diǎn),作諧振動(dòng),注意：,例題 12-5 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在Ox軸上作諧振動(dòng)，振幅為A。若某時(shí)刻

6、t 測(cè)得質(zhì)點(diǎn)的位移 ，向Ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位。,作旋轉(zhuǎn)矢量圖，t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位,解1 旋轉(zhuǎn)矢量法,解2 解析法,動(dòng)能：,勢(shì)能：,總能量：,12-2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量,簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能隨時(shí)間變化并相互轉(zhuǎn)換，振動(dòng)系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒.,x,O,t,動(dòng)能,勢(shì)能,總能量,能量曲線,一. 阻尼振動(dòng),振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng),實(shí)驗(yàn)表明，流體中運(yùn)動(dòng)物體所受的粘滯阻力,由牛頓第二定律,令,阻力系數(shù),阻尼系數(shù),固有角頻率,運(yùn)動(dòng)微分方程,12-3 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振,*,1. 弱阻尼,有阻尼作用時(shí)的角頻率,振動(dòng)曲線,微分方程解為,阻尼振動(dòng)的周期,2. 強(qiáng)阻尼及臨界阻尼,強(qiáng)阻尼,弱阻尼,

7、位移時(shí)間曲線,x,t,O,臨界阻尼,強(qiáng)阻尼,二. 受迫振動(dòng) 共振,1. 受迫振動(dòng),系統(tǒng)在周期性外力作用下發(fā)生的振動(dòng),周期性的外力稱為驅(qū)動(dòng)力。最簡(jiǎn)單的驅(qū)動(dòng)力可表示為,驅(qū)動(dòng)力的振幅,驅(qū)動(dòng)力的角頻率,2. 運(yùn)動(dòng)微分方程,令,受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程,其中,穩(wěn)態(tài)解,暫態(tài)解,振幅,與驅(qū)動(dòng)力相位差,3. 共振,由 得A 取最大值時(shí)，共振角頻率,穩(wěn)定受迫振動(dòng)的振幅A 最大的現(xiàn)象稱為共振,最大振幅,長(zhǎng)850米、寬12米的美國(guó)華盛頓州Tacoma Narrows 橋，于1940年，在通車幾個(gè)月后，由于凌晨的風(fēng)引起大幅擺動(dòng)因共振而垮塌.,振幅,初位相,合振動(dòng)位移,一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng),12-4 兩個(gè)

8、同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,FF,同頻率的諧振動(dòng),相位差 的影響,1. 相位相同,2. 相位相反,3. 一般情況下,重要：,例題 12-6 物體同時(shí)參與N個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)，其振幅都等于a，每相鄰二振動(dòng)的相位差都等于 成等差級(jí)數(shù)。求合振動(dòng)振幅。FF,解,設(shè)N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為,C,O,M,N,P,Q,旋轉(zhuǎn)矢量表示,合振動(dòng)的振幅,N個(gè)等腰三角形全等，每個(gè)三角形底角均=,每個(gè)三角形頂角均=,其中,一. 合振動(dòng),兩個(gè)互相垂直、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可表示為,合振動(dòng)的軌道方程,為一橢圓,12-5 兩個(gè)互相垂直的、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,*,1. 兩振動(dòng)相位差 時(shí)，軌道方程為,其軌道是一過(guò)原點(diǎn)，斜率為 的直線 ，質(zhì)點(diǎn)作振幅為 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,二. 討論,2. 兩振動(dòng)相位差 時(shí)，軌道方程,其軌