1、2002考研數(shù)學三真題及答案一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上)(1) 設常數(shù)，則(2) 交換積分次序：. (3) 設三階矩陣，三維列向量.已知與線性相關(guān)，則.(4) 設隨機變量和的聯(lián)合概率分布為 -10100.070.180.1510.080.320.20則和的協(xié)方差.(5) 設總體的概率密度為而是來自總體的簡單隨機樣本，則未知參數(shù)的矩估計量為 二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 設函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，在開區(qū)間內(nèi)可導，則 ( )(A)當時，存在，使.(

2、B)對任何，有.(C)當時，存在，使.(D)存在，使.(2) 設冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與，則冪級數(shù)的收斂半徑為 ( )(A) 5 (B) (C) (D)(3) 設是矩陣，是矩陣，則線性方程組 ( )(A)當時僅有零解 (B)當時必有非零解 (C)當時僅有零解 (D)當時必有非零解 (4) 設是階實對稱矩陣，是階可逆矩陣，已知維列向量是的屬于特征值的特征向量，則矩陣屬于特征值的特征向量是 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 設隨機變量和都服從標準正態(tài)分布，則 ( )(A)服從正態(tài)分布 (B)服從分布 (C)和都服從分布 (D)服從分布三、(本題滿分5分)求極限 四、(本題滿分7分)

3、設函數(shù)有連續(xù)偏導數(shù)，且由方程所確定，求.五、(本題滿分6分)設求.六、(本題滿分7分)設是由拋物線和直線及所圍成的平面區(qū)域；是由拋物線和直線所圍成的平面區(qū)域，其中.(1)試求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積；繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積；(2)問當為何值時，取得最大值？試求此最大值.七、(本題滿分7分)(1)驗證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù). 八、(本題滿分6分)設函數(shù)在上連續(xù)，且.利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，證明存在一點，使 .九、(本題滿分8分)設齊次線性方程組其中，試討論為何值時，方程組僅有零解、有無窮多組解？在有無窮多組解時，求出全部解，并用基礎(chǔ)解系表示全部解.十、(本題滿

4、分8分)設為三階實對稱矩陣，且滿足條件，已知的秩(1)求的全部特征值(2)當為何值時，矩陣為正定矩陣，其中為三階單位矩陣.十一、(本題滿分8分)假設隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，隨機變量試求：(1)和的聯(lián)合概率分布；(2).十二、(本題滿分8分)假設一設備開機后無故障工作的時間服從指數(shù)分布，平均無故障工作的時間 為5小時.設備定時開機，出現(xiàn)故障時自動關(guān)機，而在無故障的情況下工作2小時便關(guān)機.試求該設備每次開機無故障工作的時間的分布函數(shù).參考答案一、填空題(1)【答案】【詳解】里面為型，通過湊成重要極限形式來求極限，(2)【答案】【詳解】畫出與原題中二次積分的限所對應的積分區(qū)域與，將它們的并集記

5、為于是 再將后者根據(jù)積分定義化為如下形式，即，所以(3)【答案】【詳解】由于與線性相關(guān)，(兩個非零向量線性相關(guān)，則對應分量成比例)，所以有，得 或(兩個非零向量線性相關(guān)，則其中一個可以由另一個線性表出)即 ，得 ，得 (4)【答案】【詳解】、和都是分布，而分布的期望值恰為取時的概率由離散型隨機變量和的聯(lián)合概率分布表可得的可能取值為0和1，且的可能取值也為0和1，且和的邊緣分布為；故有 而邊緣分布律：，所以，的聯(lián)合分布及其邊緣分布為 01001802204010320280600500501由上表同理可求得的分布律為01072028所以由分布的期望值恰為取1時的概率得到：(5)【答案】【詳解】矩

6、估計的實質(zhì)在于用樣本矩來估計相應的總體矩，此題中被估參數(shù)只有一個，故只需要用樣本一階原點矩(樣本均值)來估計總體的一階原點矩(期望)期望 樣本均值 用樣本均值估計期望有 ，即 ，解得未知參數(shù)的矩估計量為 二、選擇題(1)【答案】(B)【詳解】方法1：論證法由題設在開區(qū)間內(nèi)可導，所以在內(nèi)連續(xù)，因此，對于內(nèi)的任意一點，必有 即有故選(B)方法2：排除法(A)的反例：，有，但在內(nèi)無零點(C)與(D)的反例， ，但(當)，不滿足羅爾中值定理，當然也不滿足拉格朗日中值定理的結(jié)論故選(B)(2)【答案】(D)【詳解】方法1：是矩陣，是矩陣，則是階方陣，因當時，有(系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù))方程組必有非

7、零解，故應選(D)方法2：是矩陣, 當時,，則，(系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù))方程組必有非零解，即存在，使得，兩邊左乘，得，即有非零解，故選(D)(3)【答案】(B)【詳解】方法1：由題設根據(jù)特征值和特征向量的定義，是階實對稱矩陣，故設，則上式左乘，右乘，得，即，所以 兩邊左乘，得 得根據(jù)特征值和特征向量的定義，知的對應于特征值的特征向量為，即應選(B)方法2：逐個驗算(A)，(B)，(C)，(D)中哪個選項滿足，由題設根據(jù)特征值和特征向量的定義，是階實對稱矩陣，故設屬于特征值的特征向量為，即，其中對(A)，即令，代入對(B)，成立故應選(B)(4)【答案】C【分析】(i)變量的典型模式是：

8、，其中要求滿足：相互獨立，稱為參數(shù)為的變量(ii) 變量的典型模式是：，其中要求滿足：與相互獨立，稱為參數(shù)為的變量【詳解】方法1：根據(jù)題設條件，和均服從故和都服從分布，答案應選(C)方法2：題設條件只有和服從，沒有與的相互獨立條件因此，與的獨立條件不存在，選(B)、(D)項均不正確題中條件既沒有與獨立，也沒有正態(tài)，這樣就不能推出服從正態(tài)分布的選項(A)根據(jù)排除法，正確選項必為(C)三【詳解】四【詳解】方法1：用一階微分形式不變性求全微分由所確定，兩邊求全微分，有，解出 所以 方法2：(根據(jù)多元函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法則)下面通過隱函數(shù)求導得到，由兩邊對求偏導數(shù)，有得，類似可得，代入表達式，再代入 中

9、，得五【詳解】首先要從求出命，則有，于是(通過換元求出函數(shù)的表達式)(換元積分法)(分部積分法)六【分析】旋轉(zhuǎn)體的體積公式：設有連續(xù)曲線，與直線及軸圍成平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)體的體積.【詳解】(1) (2) 根據(jù)一元函數(shù)最值的求法要求駐點，令,得. 當時，當時，因此是的唯一極值點且是極大值點，所以是的最大值點，七【解】(1) ，由收斂半徑的求法知收斂半徑為，故由冪級數(shù)在收斂區(qū)間上逐項可導公式得，同理得 從而 (由的麥克勞林展開式)這說明，是微分方程的解，并且滿足初始條件，.(2)微分方程對應的齊次線性方程為，其特征方程為，其特征根為，所以其通解為.另外，該非齊次方程的特解形式為，代入原非

10、齊次方程得，所以.故微分方程的通解為.故 由初始條件得解得，于是得到惟一的一組解：從而得到滿足微分方程及初始條件的解，只有一個，為另一方面，由(1)已知也是微分方程及初始條件的解，由微分方程解的唯一性，知 八【詳解】方法1：因為與在上連續(xù)，所以存在使得 ，滿足又，故根據(jù)不等式的性質(zhì)根據(jù)定積分的不等式性質(zhì)有所以 由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在，使即有 方法2：因為與在上連續(xù)，且，故與都存在，且記，于是即因此必存在使不然，則在內(nèi)由連續(xù)函數(shù)的零點定理知要么恒為正，從而根據(jù)積分的基本性質(zhì)得；要么恒為負，同理得，均與不符由此推知存在使，從而 九【詳解】方法1：對系數(shù)矩陣記為作初等行變換當時，的同解方程組為

11、，基礎(chǔ)解系中含有個(未知數(shù)的個數(shù)-系數(shù)矩陣的秩)線性無關(guān)的解向量，取為自由未知量，分別取，, 得方程組個線性無關(guān)的解，為基礎(chǔ)解系，方程組的全部解為，其中是任意常數(shù)當時，當且時，僅有零解.當時，的同解方程組是基礎(chǔ)解系中含有個線性無關(guān)的解向量，取為自由未知量，取，得方程組個非零解，即其基礎(chǔ)解系，故方程組的全部解為，其中是任意常數(shù)方法2：方程組的系數(shù)行列式(1)當且時，方程組只有零解(2)當時，方程組的同解方程組為基礎(chǔ)解系中含有個(未知數(shù)的個數(shù)-系數(shù)矩陣的秩)線性無關(guān)的解向量，取為自由未知量，分別取，, 得方程組個線性無關(guān)的解，為基礎(chǔ)解系，方程組的全部解為，其中是任意常數(shù)(1)當時，其同解方程組是基

12、礎(chǔ)解系中含有個線性無關(guān)的解向量，取為自由未知量，取，得方程組個非零解，即其基礎(chǔ)解系，故方程組的全部解為，其中是任意常數(shù)十【詳解】(1) 設是的任意特征值，是的屬于的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義，有 兩邊左乘，得 +2*得 因，從而上式，所以有，故的特征值的取值范圍為因為是實對稱矩陣，所以必相似于對角陣，且的主對角線上元素由的特征值組成，且，故的特征值中有且只有一個0. (若沒有0，則，故與已知矛盾；若有兩個0，則，故與已知矛盾；若三個全為0，則，故與已知矛盾). 故即有特征值(2)是實對稱矩陣，有特征值，知的特征值為因為矩陣正定的充要條件是它的所有的特征值均大于零，故正定故時是正定矩陣十一【分析】有四個可能值，可以逐個求出在計算過程中要注意到取值與的值有關(guān)的分布為均勻分布，計算概率不用積分都行，可以直接看所占區(qū)間的長度比例即可【詳解】只有四個可能值依照題意，有于是，分布為 (2) 因為，所以我們應該知道和的分布律對離散型隨機變量，的取值可