1、第8講 外測度,目的：懂得如何從長方體的體積概念導(dǎo)出 外測度概念，了解外測度與體積概 念的異同。 重點(diǎn)與難點(diǎn)：外測度的定義，不可測集的 存在性。,正如引言中所說，要研究一般函數(shù)的積分，首先要建立一般集合的“長度”概念，這一工作可以追溯到19世紀(jì)人們關(guān)于容量的研究，其中具有代表性的人物是Peano（皮嚴(yán)諾）、Jordon（約當(dāng)）以及Lebesgue的老師Borel（波雷爾）。然而，Lebesgue的工作替代了十九世紀(jì)的創(chuàng)造，特別是他改進(jìn)了Borel的測度論。,第8講 外測度,第8講 外測度,一外測度的定義 問題1：回憶平面內(nèi)的面積、3維空間中 長方體的體積概念，如何定義n 維空間中長方體的體積？

2、 問題2：有限個互不相交的長方體之并的 體積是什么？,問題3：回憶Riemann積分的定義及其幾何 意義，由此啟發(fā)我們?nèi)绾味x一般 集合的“面積”或“體積”？,第8講 外測度,眾所周知，在 中，開矩形 的面積為 ，在 中，開長方體 的體積為 。很自然地，我們也稱 中的開集,第8講 外測度,為開長方體，并定義其體積為 如果 是一個一般的集合怎么辦呢？熟 悉Riemann積分的人可能比較自然地會想 到，用一些長方體去分割它，然后以長方體 的體積之和近似代替 的體積。但值得注意 的是，由于 是一般的集合，它可能不含任 何開長方體，例如若 是有理數(shù),第8講 外測度,集，它不可能充滿任何長方體。因此，我

3、們不能象Riemann積分那樣企圖采用長方體內(nèi)外來擠的辦法來定義一般集合的“長度”。盡管如此，Riemann積分的思想還是給了我們極大的啟示，它依然是我們的出發(fā)點(diǎn)，只不過具體做法稍不同。,第8講 外測度,定義1 設(shè) 是 的點(diǎn)集， 是 中的一列開長方體， ，則 確定一個非負(fù)的數(shù) （或 ）。記 稱 為 的Lebesgue外測度。,第8講 外測度,二. 外測度的性質(zhì) 問題4：回憶Riemann積分具有什么性 質(zhì)，由此猜測外測度應(yīng)具有什么 性質(zhì)？,第8講 外測度,應(yīng)該注意到，由于沒有假定 是有界集，所 以 有可能是 ，就象 的長度 是 一樣。 由于在 中任意平移一個長方體并不 改變其體積，所以外測度也

4、具有平移不變 性，此外外測度還有如下幾個基本性質(zhì)：,第8講 外測度,性質(zhì)1 。 性質(zhì)2 若 ， 則 。 性質(zhì)3 。,第8講 外測度,問題5：Riemann積分具有有限可加性， 兩個互不相交的集合之并的外測 度是否為這兩個集合的外測度之 和？為什么？,第8講 外測度,性質(zhì)1是顯而易見的。如果注意到當(dāng) 時(shí)，凡是能蓋住 的開長方體序列一定也能蓋住 ， 則由外測度定義很容易得到 。事實(shí)上， 蓋住 的開長方體序列的全體比蓋住 的開長方體序列全體更多。 為證性質(zhì)3，可采用如下辦法，對任意 ，由外測度定義知，對每個 ，存在開長方體序列 ，滿足,第8講 外測度,從而 ，且 于是,第8講 外測度,由 的任意性知

5、 。 看起來似乎外測度概念推廣了通常的體 積概念，我們所期待的問題已經(jīng)解決，但 是，當(dāng)我們完成了在某個原始概念基礎(chǔ)上推 廣或建立一個新的概念后，首先必須回過頭,第8講 外測度,來審查一下這一概念是否具有合理性，所謂 合理性就應(yīng)包括下面兩個方面的問題： 1、它是否的確為原始概念的自然推廣？ 2、它是否繼承了原始概念的基本特征？按 上述方式定義的外測度是不是長方體體 積概念的一種推廣呢？ 這就要看看當(dāng) 是長方體時(shí)，其體積與外測 度是否相等。為方便計(jì)算，以 為例來說 明這件事，一般情形可類似證明。假設(shè) 是 矩形或是從某個矩形挖去有限個開矩形后剩,第8講 外測度,下的部分， 是 的閉包（顯然 與 有通

6、 常的體積）。下面用歸納法證明，如果 是任意有限個蓋住 的開矩形。 則 。如果 是某個開矩形，它將 蓋住時(shí)，則顯然有 。假設(shè) 是 個開矩形將 蓋住時(shí)，有 。,第8講 外測度,往證蓋住 的 個開矩形 也滿足 記 ，則 仍是從矩形中挖去有限 個開矩形后剩下的部分，且 將 蓋?。ㄊ聦?shí)上，不難證明： ）。由歸納假設(shè)知,第8講 外測度,， 于是 所以對任意有限個蓋住 的開矩形 ， 有 。,第8講 外測度,下設(shè) 是任一列開矩形將 蓋住，則由有 限覆蓋定理知存在有限個 ，它們也 將 蓋住，于是 ，進(jìn)而 。由 的任意性知 。 由外測度的定義，不難看到 。于 是,第8講 外測度,即 。 故 。特別地，當(dāng) 是 長

7、方體時(shí)， 。至于相反的不等式則是 顯然的。綜上得 。 這說明外測度確是“體積”（或“面積”、 “長度”）概念的自然拓廣。至此，集合的,第8講 外測度,“體積”問題似乎已得到解決，但事情遠(yuǎn)非如 此簡單。 既然外測度是體積概念的自然推廣， 那么當(dāng) 時(shí)，應(yīng)有 。 因?yàn)閰^(qū)間的長度或立體的體積都是具有可 加性的。遣憾的是，外測度并非對所有的 集合都具有可加性。事實(shí)上，如果對任意,第8講 外測度,兩個不交的集合 都有 ， 則不難推知對任意有限個互不相交的點(diǎn)集 ，也有 進(jìn)而對任意一列互不相交的點(diǎn)集 ， 有,第8講 外測度,令 便知 相反的不等式由外測度的性質(zhì)3立得，所以 這就是說，只要外測度具有可加性，則它

8、一 定具有可數(shù)可加性。然而下面的例子說明， 外測度并不具有這種性質(zhì)。,第8講 外測度,例1 對任意 ，令 顯然 ，故 非空，而且對任意 ， 如果 ，則 。事實(shí)上，若 ，則對任意 及 ， 均為有理數(shù)， 也為為理數(shù)， 于是 及,第8講 外測度,都為有理數(shù)，這說明 ， ，由 的任 意性知 （實(shí)際上 是有理數(shù) ）。 這樣， 可以分解成一些互不相交的 之 并，對每個 ，從中任取一點(diǎn)構(gòu)成一個集合 ，當(dāng) 然 。 記 為 中有理數(shù)全體，,第8講 外測度,即 是將 平移 后得到的，顯然 ， 而且當(dāng) 時(shí)， 。若不然，存在 ，則存在 ，使 ， 于是 為有理數(shù)，但由 的構(gòu)造， 若 ，則 屬于不同的 ，即 不 能為有理

9、數(shù)，因此只能有 ，然而這將導(dǎo) 致 ，再次得到矛盾，所以 與 一定不交。,第8講 外測度,下證 ，任取 ，則 ， 由 的構(gòu)造， 是單點(diǎn)集，設(shè)為 ，于 是 是有理數(shù)，且 ，因此存 在某個 ，使 ，這樣 。 即 。 綜上得 。如果外測 度具有可加性，則,第8講 外測度,注意 是經(jīng)過 平移 后得到的，故 ，于是由 的收斂性知 ，然而這樣導(dǎo)致 。這個矛盾說明外測度的確不具有可加性。,第8講 外測度,問題出在哪里呢？是不是外測度的定義有缺 陷？從上面的例子可以看到，整個的證明并未用到 外測度的具體構(gòu)造，這就是說，只要一種關(guān)于集合 的函數(shù)（常稱為集函數(shù)）具備性質(zhì)1、2、3及可加 性，就不可避免地會碰到上述矛

10、盾。而性質(zhì)1、2、3與可加性又是必須具備的條件。由此可見，問 題不在于外測度的定義方法有毛病，而是碰到了一 種無法克服的困難。換句話說，總有一些集合，其 測度是不具有可加性的，既然無法克服這個困難， 最好的辦法是把這些集合排除在外，只考慮那些具,第8講 外測度,有可加性的集合。我們把前者稱為不可測集，后者 稱為可測集。,第8講 外測度,三. 可測集的定義 問題6：回憶Riemann積分的存在性定理， 它啟發(fā)我們應(yīng)如何定義一般的可測 集？,第8講 外測度,如何判斷一個集合是可測或不可測的呢？有兩種方 法來作出判斷，其一是采用內(nèi)外測度的辦法，回憶 微積分中求曲邊梯形的面積時(shí)，通過將函數(shù)的定義 區(qū)間

11、分割成若干小區(qū)間，然后以這些小區(qū)間為邊作 若干小矩形包住曲邊梯形，同時(shí)又讓曲邊梯形包住 以這些小區(qū)間為邊的另一些小矩形，如果當(dāng)劃分越 來越細(xì)時(shí)，內(nèi)外小矩形面積之和趨于同一個值，則 曲邊梯形的面積就存在。否則就不存在，內(nèi)外測度 方法與此很相似，集合E 的外測度是包住E 的一些 小長方體和體積之和的下確界，如何作內(nèi)測度呢？,第8講 外測度,第8講 外測度,為敘述方便，以直線上有界點(diǎn)集 為例，不妨設(shè) ，若 可測， 也應(yīng)可測，于是應(yīng)有 。 如果開區(qū)間 蓋住了 ，則 ，因此一種自然的方式是定義 的內(nèi)測度為：,當(dāng) 時(shí)，稱 是可測集。 直觀地解釋內(nèi)測度就是將 挖去一些 開區(qū)間后剩下部分的長度之上確界?；貞浺?/p>

12、下直 線上有界閉集的構(gòu)造不難發(fā)現(xiàn)，內(nèi)測度其實(shí)就是 包含在 中的閉集的測度之上確界；而閉集的測 度可以定義為某個包含它的閉區(qū)間長度減去其余 集的構(gòu)成區(qū)間長度之和。,第8講 外測度,第8講 外測度,但是將這一方法推廣到 中會帶來一些技術(shù)上的麻煩，所以下面我們采用另外一種方法。 如果 是可測集（注意，我們尚未定義可測集）。 也應(yīng)當(dāng)是可測的，于是應(yīng)有 。但 ，由外測度性質(zhì)3 至少有一個為 ，所以上述等式恒成立。,第8講 外測度,由此并不能得到關(guān)于可測性的任何實(shí)質(zhì)性信息， 因此，我們將 限制在任意的開長方體 上，考 慮 與 是否可加，即對任意開長方 體 ，下式是否總成立： 假如對一切開長方體上式總成立，則可以證明對任意集合 ，下式也成立,第8講 外測度,事實(shí)上，對任意 ，存在開長方體序列 ， 使 ，且 。 由于,第8講 外測度,故,第8講 外測度,由 的任意性知 ， 于是 。 我們就用該式來定義可測性。,第8講 外測度,定義2 假設(shè) ，如果對任意集合 ，都有 則稱 為Lebesgue可測集，此時(shí) 稱為 的Lebesgue測度，簡記為 。,第8講 外測度,等式（1）稱為Cara