1、第三章 不等式本章整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一用函數(shù)的圖象解不等式函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，而利用函數(shù)的圖象能直觀、準(zhǔn)確、迅速地分析研究函數(shù)的性質(zhì)或解決與函數(shù)有關(guān)的問題，因此，函數(shù)圖象是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，在歷年高考中都有涉及函數(shù)圖象形象顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了形的直觀性，它是探求解題路徑、獲得問題結(jié)果的重要工具，在解方程或不等式時(shí)，特別是非常規(guī)的方程或不等式，有時(shí)需要畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合能起到十分快捷的效果【應(yīng)用1】 已知函數(shù)f(x)若方程f(x)k無實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(，0)B(，1) C D提示：所給的函數(shù)f(x)是分段函數(shù)，

2、而方程f(x)k無實(shí)數(shù)根，可利用數(shù)形結(jié)合法轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象無交點(diǎn)解析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出yf(x)與yk的圖象，如圖，當(dāng)x時(shí)，f(x)lg所以若兩函數(shù)圖象無交點(diǎn)，則klg答案：C【應(yīng)用2】 已知a，b，c依次是方程2xx0，log2x2x和x的實(shí)數(shù)根，則a，b，c的大小關(guān)系是_提示：構(gòu)造常見的初等函數(shù)利用函數(shù)的圖象可解決問題解析：由2xx0，得2xx，設(shè)函數(shù)y12x，y2x，分別作出它們的圖象，如圖1，兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為a，可得a0，同理，對(duì)于方程log2x2x，可得圖2，得1b2；對(duì)于方程x，可得圖3，得0c1，所以acb答案：acb專題二不等式的解法常見的不等式有一元一次不等式，一元二次

3、不等式，簡單的高次不等式，分式不等式，含有指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式，其解法為：(1)解一元二次不等式，畫出其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象，來確定解集(2)解高次不等式常用穿根法(3)分式不等式利用不等式的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)求解(4)解含有指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式利用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的不等式(組)求解【應(yīng)用1】 求解下列不等式：(1)x22x30；(3)1；(4)log(2x23x)1提示：(1)注意解一元二次不等式的幾個(gè)步驟(2)穿根法求解(3)轉(zhuǎn)化為整式不等式，注意分母不為0(4)對(duì)數(shù)不等式，真數(shù)大于0解：(1)x22x30又方程x22x30的兩根為x11，x2

4、3，不等式的解集為x|x3或x0的解集為x|x1或3x2(4) (2x23x)1，又00提示：二次項(xiàng)系數(shù)為a，需對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論；還要對(duì)根的大小進(jìn)行討論，兩者要同時(shí)進(jìn)行解：(1)當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為(x2)(2)0即x20，x2(2)當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為(x2)，解得x0時(shí)，原不等式可化為(x2)0，此時(shí)兩根分別為2，當(dāng)a1時(shí)，2，解得x2當(dāng)a1時(shí)，2，解得x2或x當(dāng)0a1時(shí)，2或x2綜上所述，不等式的解集為當(dāng)a0時(shí)，x|x2；當(dāng)a1時(shí)，x|x2；當(dāng)a1時(shí)，；當(dāng)0a1時(shí)，專題三利用均值不等式求最值的常用方法均值不等式是一個(gè)重要的不等式，利用它可以求解函數(shù)最值問題對(duì)于有些題目，可以直接利

5、用均值不等式求解但是有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用均值不等式求解常見的變形手段為配湊法、整體代換法等下面介紹一些常用的變形方法1湊系數(shù)【應(yīng)用1】 已知0x5，求yx(102x)的最大值提示：由0x0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值注意到2x(102x)10為定值，故只需將yx(102x)湊上一個(gè)系數(shù)即可解：yx(102x)2x(102x)2，當(dāng)且僅當(dāng)2x102x，即x時(shí)，等號(hào)成立所以當(dāng)x時(shí)，yx(102x)的最大值為2湊項(xiàng)法【應(yīng)用2】 已知x，求函數(shù)f(x)4x2的最大值提示：由題意知4x50，首先要調(diào)整符號(hào)，又(4x2)不是定值，故需

6、對(duì)4x2進(jìn)行湊項(xiàng)才能得到定值解：x0f(x)4x2323231，當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)f(x)的最大值為13分離法【應(yīng)用3】 求f(x)(x1)的值域提示：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x1)的項(xiàng)，再將其分離解：f(x)(x1)5，當(dāng)x10，即x1時(shí)，f(x)259(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)等號(hào)成立)；當(dāng)x10，即xp2x恒成立的x的取值范圍提示：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x和p，關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是變量本題可將p視作變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題解：原不等式即(x1)px22x10，設(shè)f(p)(x1)px22x1，則f

7、(p)在2，2上恒大于0，故有：即解得x32二次函數(shù)型【應(yīng)用2】 設(shè)f(x)x22ax2，當(dāng)x1，)時(shí)，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍提示：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1，)上恒大于0的問題，就可以利用函數(shù)的圖象解決了解：設(shè)F(x)f(x)ax22ax2a(1)當(dāng)4a24(2a)4(a1)(a2)0，即2a0的解集為R解：令y，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)xR，y0恒成立，即mx28xn0恒成立當(dāng)m0時(shí)，不等式化為8xn，不可能恒成立；當(dāng)m0時(shí)，必須有即由y，得(my)x28x(ny)0xR，824(my)(ny)0，即y2(mn)ymn160由題意知f(x)0，2，則y1，9即關(guān)于y的不等式的解集為1，9此時(shí)滿足故所求m5，n5【應(yīng)用2】 已知在ABC中，三邊分別為a，b，c，m為正