1、1,關(guān)系代數(shù)概述,關(guān)系是一個(gè)屬性數(shù)目相同的元組的集合。 關(guān)系代數(shù) Relational Algebra,什么是代數(shù)？,2,“關(guān)系代數(shù)”前傳,數(shù)學(xué)，從總體上劃分： 代數(shù)學(xué)：研究數(shù)的部分； 幾何學(xué)：研究形的部分； 分析學(xué)：溝通形與數(shù)且涉及極限運(yùn)算的部分。 代數(shù)學(xué)范疇： 算術(shù) 初等代數(shù) 高等代數(shù) 數(shù)論 抽象代數(shù),3,“關(guān)系代數(shù)”前傳,一、算術(shù) (一)、含義 現(xiàn)代小學(xué)課程內(nèi)容的算術(shù)，主要講的是自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)以及它們的四則運(yùn)算，并通過由計(jì)數(shù)和度量而引起的一些最簡(jiǎn)單的應(yīng)用題加以鞏固。 如果是在高等數(shù)學(xué)中，則有“數(shù)論”的含義； (二)發(fā)展 10世紀(jì)或11世紀(jì)，起源于印度；后來被阿拉伯人采用；之后傳到西歐；

2、15世紀(jì)，它被改造成現(xiàn)在的形式； 19世紀(jì)中葉，格拉斯曼第一次成功地挑選出一個(gè)基本公理體系，來定義加法與乘法運(yùn)算； (三)地位 深刻地反映了世界的客觀規(guī)律性； 構(gòu)成了數(shù)學(xué)其它分支的最堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。,4,“關(guān)系代數(shù)”前傳,二、初等代數(shù) (一)含義 中學(xué)數(shù)學(xué)課程主要內(nèi)容的初等代數(shù)，其中心內(nèi)容是方程理論。 代數(shù)一詞的拉丁文原意是“歸位”。 代數(shù)方程理論在初等代數(shù)中是由一元一次方程向兩個(gè)方面擴(kuò)展的： 1、增加未知數(shù)的個(gè)數(shù)，考察由有幾個(gè)未知數(shù)的若干個(gè)方程所構(gòu)成的二元或三元方程組(主要是一次方程組)； 2、增高未知量的次數(shù)，考察一元二次方程或準(zhǔn)二次方程。初等代數(shù)的主要內(nèi)容在16世紀(jì)便已基本上發(fā)展完備了。,5

3、,“關(guān)系代數(shù)”前傳,二、初等代數(shù) (二)發(fā)展 1、解方程 公元前19世紀(jì)前17世紀(jì)，古巴比倫解決一次和二次方程； 公元前4世紀(jì)，歐幾里得的原本中就有用幾何形式解二次方程的方法； 公元1世紀(jì)，我國(guó)的九章算術(shù)中有三次方程和一次聯(lián)立方程組的解法，并運(yùn)用了負(fù)數(shù)； 3世紀(jì)，丟番圖用有理數(shù)求一次、二次不定方程的解； 13世紀(jì)，我國(guó)出現(xiàn)的天元術(shù)(李冶測(cè)圓海鏡)是有關(guān)一元高次方程的數(shù)值解法； 16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了三次和四次方程的解法；,6,“關(guān)系代數(shù)”前傳,二、初等代數(shù) (二)發(fā)展 2、代數(shù)符號(hào)發(fā)展三個(gè)階段 代數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展的歷史，可分為三個(gè)階段： 三世紀(jì)之前，文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)：對(duì)問題的解不用縮寫和符號(hào)，而是

4、寫成一篇論文； 三世紀(jì)至16世紀(jì)，簡(jiǎn)化代數(shù)：對(duì)某些較常出現(xiàn)的量和運(yùn)算采用了縮寫的方法；丟番圖的杰出貢獻(xiàn)之一，就是把希臘代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化，開創(chuàng)了簡(jiǎn)化代數(shù)。 16世紀(jì)以后，符號(hào)代數(shù)：對(duì)問題的解多半表現(xiàn)為由符號(hào)組成的數(shù)學(xué)速記，這些符號(hào)與所表現(xiàn)的內(nèi)容沒有什么明顯的聯(lián)系。16世紀(jì)韋達(dá)的名著分析方法入門，對(duì)符號(hào)代數(shù)的發(fā)展有不少貢獻(xiàn)。16世紀(jì)末，維葉特開創(chuàng)符號(hào)代數(shù)，經(jīng)笛卡爾改進(jìn)后成為現(xiàn)代的形式。,7,“關(guān)系代數(shù)”前傳,二、初等代數(shù) (二)發(fā)展 3、基礎(chǔ)符號(hào) 1489年，魏德曼，“”、“”號(hào)第一次在數(shù)學(xué)書中出現(xiàn)； 1514年，由荷伊克開始大家所公認(rèn)； 1540年，雷科德開始使用現(xiàn)在使用“”； 1600年，哈里奧特創(chuàng)

5、用大于號(hào)“”和小于號(hào)“”； 1631年，奧屈特給出“”、“”作為乘除運(yùn)算符； 1637年，笛卡爾第一次使用了根號(hào)，并引進(jìn)用字母表中頭前的字母表示已知數(shù)、后面的字母表示未知數(shù)的習(xí)慣做法。 4、數(shù) 公元前4世紀(jì)，古希臘人發(fā)現(xiàn)無理數(shù)； 公元前2世紀(jì)(西漢時(shí)期)，我國(guó)開始應(yīng)用負(fù)數(shù)； 1545年，意大利的卡爾達(dá)諾開始使用虛數(shù)； 1614年，英國(guó)的耐普爾發(fā)明對(duì)數(shù)； 17世紀(jì)末，一般的實(shí)數(shù)指數(shù)概念才逐步形成。,8,“關(guān)系代數(shù)”前傳,三、高等代數(shù) (一)含義 在高等代數(shù)中，一次方程組(即線性方程組)發(fā)展成為線性代數(shù)理論；是包含向量空間、線性變換、型論、不變量論和張量代數(shù)等內(nèi)容的一門近世代數(shù)分支學(xué)科； 、二次方

6、程發(fā)展成為多項(xiàng)式理論；是研究只含有一個(gè)未知量的任意次方程的一門近世代數(shù)分支學(xué)科。 作為大學(xué)課程的高等代數(shù)，只研究它們的基礎(chǔ)。,9,“關(guān)系代數(shù)”前傳,三、高等代數(shù) (二)發(fā)展 1683年，關(guān)孝和(日本人)最早引入行列式概念； 1841年，雅可比,行列式理論最系統(tǒng)的論述； 1855年，凱雷引入了矩陣的概念；(在邏輯上，矩陣的概念先于行列式的概念；而在歷史上，次序正相反；行列式和矩陣在數(shù)學(xué)上并不是大的改革，而是速記的一種表達(dá)式。不過已經(jīng)證明它們是高度有用的工具)。,10,“關(guān)系代數(shù)”前傳,三、高等代數(shù) (二)發(fā)展 1515年，菲洛解決了被簡(jiǎn)化為缺2次項(xiàng)的3次方程的求解問題； 1540年，費(fèi)爾拉里成功

7、地發(fā)現(xiàn)了一般4次方程的代數(shù)解法。人們繼續(xù)尋求5次、6次或更高次方程的求根公式，但這些努力在200多年中付諸東流。(多項(xiàng)式代數(shù)的研究始于對(duì)3、4次方程求根公式的探索。) 1746年，達(dá)朗貝爾首先給出了“代數(shù)學(xué)基本定理”的證明,斷言：一般地說，n次代數(shù)方程應(yīng)當(dāng)有n個(gè)根； 1799年，22歲的高斯在寫博士論文中，給出了這個(gè)定理的第一個(gè)嚴(yán)格的證明； 1824年，22歲的阿貝爾證明了：高于4次的一般方程的全部系數(shù)組成的根式，不可能是它的根； 1828年，年僅17歲的伽羅華創(chuàng)立了“伽羅華理論”，包含了方程能用根號(hào)解出的充分必要條件。,11,“關(guān)系代數(shù)”前傳,四、數(shù)論 含義 以正整數(shù)作為研究對(duì)象的數(shù)論，可以

8、看作是算術(shù)的一部分，但它不是以運(yùn)算的觀點(diǎn)，而是以數(shù)的結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，即一個(gè)數(shù)可用性質(zhì)較簡(jiǎn)單的其它數(shù)來表達(dá)的觀點(diǎn)來研究數(shù)的。因此可以說，數(shù)論是研究由整數(shù)按一定形式構(gòu)成的數(shù)系的科學(xué)。,12,“關(guān)系代數(shù)”前傳,五、抽象代數(shù) 抽象代數(shù)又稱近世代數(shù)，他的基本觀念與目標(biāo)都決定于十九世紀(jì)。 由于代數(shù)可以處理實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)以外的物集，例如向量、矩陣超數(shù)、變換等，這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定，而數(shù)學(xué)家將個(gè)別的演算經(jīng)由抽象手法把共有的內(nèi)容升華出來，并因此而達(dá)到更高層次的效率，這就是抽象代數(shù)誕生的場(chǎng)景。 抽象代數(shù)的研究已成為二十世紀(jì)的熱潮之一，而且現(xiàn)在它已經(jīng)拓展到悠遠(yuǎn)的境界，前面所提過的數(shù)學(xué)家，都曾經(jīng)在抽象代數(shù)的發(fā)展作出