1、,第九章 多邊形,9.2 多邊形的內(nèi)角和與外角和,回顧并思考,1、什么叫做三角形？,三角形是由三條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形。,2、什么叫四邊形?五邊形?六邊形?n邊形呢？,四邊形ABCD,五邊形ABCDE,六邊形ABCDEF,一般地,由n條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為n邊形,又稱為多邊形。,你能說一說下面所指的是多邊形的什么？,猜一猜,邊,內(nèi)角,頂點(diǎn),如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱它為正多邊形。,如：正四邊形（正方形）、正五邊形等。,1、什么叫做正三角形？,回顧并思考,三條邊都相等的三角形叫正三角形(等邊三角形)。,2、什么叫做正

2、多邊形？,正四邊形ABCD (正方形ABCD),正五邊形ABCDE,我們現(xiàn)在研究的是如圖8.3.1所示的多邊形，是凸多邊形； 如圖8.3.2所示的多邊形，是凹多邊形，但不在現(xiàn)在研究的范圍中。今后如果不說明，我們講的多邊形都是凸多邊形。,圖 8.3.2,比 一 比,畫出連結(jié)下面四點(diǎn)的所有線段：,連結(jié)多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。,做 一 做,A,B,C,D,n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出幾條對(duì)角線？,問題一,（1）四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線？,（2）五邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線？,（3）六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線？,n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條

3、對(duì)角線？,（1）四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出1條對(duì)角線？,（2）五邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出2條對(duì)角線？,（3）六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出3條對(duì)角線？,n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出(n-3)條對(duì)角線？,問題一,n邊形一共可以引出幾條對(duì)角線？,n邊形一共可以引出幾條對(duì)角線？,（2）五邊形一共可以引出幾條對(duì)角線？,（3）六邊形一共可以引出幾條對(duì)角線？,（1）四邊形一共可以引出幾條對(duì)角線？,（1）四邊形一共可以引出2條對(duì)角線？,（2）五邊形一共可以引出5條對(duì)角線？,（3）六邊形一共可以引出9條對(duì)角線？,n邊形的內(nèi)角和是多少呢?,問題二,多邊形的邊數(shù),分成的三角形個(gè)數(shù),多邊形的內(nèi)角和,4,5,6,n

4、,7,2,3,4,n-2,5,2180,3180,360,4180,5180,(n-2)180,540,720,900,n邊形的內(nèi)角和是(n-2) 180,問題二,你能用其他的方法分割多邊形嗎？并推導(dǎo)出多邊形的內(nèi)角和公式？（以六邊形為例）,5180,n邊形被分割出 個(gè)三角形,(n-1),六邊形被分割出5個(gè)三角形,-180,=720,(n-1) 180- 180 =(n-2) 180,6180,六邊形被分割出6個(gè)三角形,-360,=720,n邊形被分割出 個(gè)三角形,n,n180- 360 = n180- 2180 =(n-2)180,你能從多邊形外部找一點(diǎn)分割多邊形嗎？試一試。,多邊形的內(nèi)角和(

5、n-2) 180.,小結(jié)：,通過分割成三角形，轉(zhuǎn)化為利用三角形內(nèi)角和求出。,1800,3600,5400,7200,9000,1、八邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為_,2、已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是2340， 則這個(gè)多邊形是_邊形,做一做,1080o,十五,例2,已知多邊形的每一內(nèi)角為,150，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).,解,設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n， 根據(jù)題意，得,（n2）1800 =1500 n,解這個(gè)方程，得n= 12,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意,答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12.,已知ABC中，A40,剪去A后成四邊形，則1+2_,A,B,C,D,E,1,2,練習(xí),解： A+B+C=_( ),A=40( ),B+C=_,又

6、B+ C+ 1+ 2=_, 1+2_,180,三角形的內(nèi)角和等于180,已知,140,360,220,1、n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)所畫對(duì)角線的條數(shù)是 ； 2、n邊形內(nèi)角和 = ； 3、九邊形的內(nèi)角和是_ 4、已知一個(gè)多邊形的邊數(shù)恰好是從一個(gè)頂點(diǎn)所畫的對(duì)角線的條數(shù)的2倍，則此多邊形的邊數(shù)為 ； 5、一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加1，則內(nèi)角和增加的度數(shù)是( ) A.60 B.90 C.180 D.360,C,課 堂 測(cè) 試,6,n3,（n2） 180,1260,第九章 多邊形,9.2 多邊形的內(nèi)角和與外角和,一、課前復(fù)習(xí)，新課準(zhǔn)備,1、在平面內(nèi)，由若干條不在同一直線上的線段 組成的封閉圖形叫做多邊形。多邊形有凸多邊

7、形和凹多邊形之分，我們通常研究 多邊形。,頂點(diǎn),邊,內(nèi)角,對(duì)角線,2、n邊形( n3 ) 有 個(gè)頂點(diǎn)， 條邊， 個(gè)內(nèi)角，從一個(gè)頂點(diǎn)可以引出 條對(duì)角線，共有 條對(duì)角線。 N邊形的內(nèi)角和,n,n,n,首尾順次相連,凸,3、正n邊形的每條邊 ，每個(gè)內(nèi)角 。,相等,相等,（n2） 180,內(nèi)角,外角,多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角。,問題三,1、什么叫做三角形的外角？,三角形內(nèi)角的一邊與另一邊反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做三角形的外角,2、什么叫做多邊形的外角？,3、n邊形有幾個(gè)內(nèi)角？幾個(gè)外角?,n邊形有n個(gè)內(nèi)角， 2n個(gè)外角。,從與三角形的每個(gè)內(nèi)角相鄰的兩個(gè)外角中分別取

8、一個(gè)相加，得到的和稱為三角形的外角和。,從與多邊形的每個(gè)內(nèi)角相鄰的兩個(gè)外角中分別取一個(gè)相加，得到的和稱為多邊形的外角和。,問題三,4、什么叫三角形的外角和？,5、什么叫多邊形的外角和？,6、多邊形的外角和是多少呢?,任意多邊形的外角和都為360度。,多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)。,問題三,例.正五邊形的每一個(gè)外角等于_.每一個(gè)內(nèi)角等于 _,72,144,例.如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于150,則這個(gè) 多邊形的邊數(shù)是_,A.12 B.9 C. 8 D.7,A,如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角等于30,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_,12,例. 一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角和是外角和的2倍, 則這個(gè)多邊形為( )A.三

9、角形 B.四邊形 C.五邊形 D. 六邊形,例. 一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角和與外角和的比是7:2,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為( ),求A+B+C+D+E+F+G+H的值,做一做,1、如圖，以五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以1 為半徑畫圓，求圓與五邊形重合的面積,圖3,2、如圖，求A+ B+ C+ D+ E+ F+ G的值,變式：,3、多邊形最多有幾個(gè)直角？最多有幾個(gè)銳角？為什么？,挑戰(zhàn)自我：,思考,怎樣應(yīng)用我們今天學(xué)習(xí)凸多邊形的數(shù)學(xué)思想,研究凹多邊形的相關(guān)知識(shí).,2、如圖所示，小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m，向右轉(zhuǎn)15，再前進(jìn)10m，又向右轉(zhuǎn)15，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了 m。,1、內(nèi)角和

10、等于外角和2倍的多邊形是（ ） A五邊形 B六邊形 C七邊形 D八邊形,鞏固應(yīng)用,祝同學(xué)們今后在數(shù)學(xué)廣闊的天空中更加自由的翱翔！,再見！,1、十邊形的內(nèi)角和是_,外角和是_,如果十邊形的各個(gè)內(nèi)角都相等，那么它的一個(gè)內(nèi)角是_,2、在一個(gè)多邊形中，它的內(nèi)角最多可以有_個(gè)是銳角,做一做,3、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是_邊形？,4、一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角比相鄰?fù)饨谴?6，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為_.,5、已知過m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線,n邊形 沒有對(duì)角線,p邊形有p條對(duì)角線,則(m-p)n=_.,探索多邊形的內(nèi)角和關(guān)鍵是：,把多邊形分成幾個(gè)三角形，再利用三角形的內(nèi)角和求得。,議 一

11、議,你還有其它的分法嗎？,P,P,n180o360o,（n1）180o180o,正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形、正六邊形的內(nèi)角分別是多少度？,比一比看誰算得快,600,900,1080,1200,1、什么叫正三角形？什么叫正方形？,3、如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱它為正多邊形 （regular polygon）,2、什么叫正多邊形？,歸納：,(課本P55：) (1) 十邊形的內(nèi)角和是 ; 如果十邊形的各個(gè)內(nèi)角都相等，那么它的一個(gè)內(nèi)角是 。 (2)已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是2340，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_。,1440o,144o,15,鞏固練習(xí),A組：課本P62：5、6

12、、7,作業(yè)：,F,B組： 已知一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角的和是2750，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。,C組： 如圖：我國的國旗上的五星是正五角星，正五角星中的五邊形ABCDE是正五邊形，你能求出五角星中F的度數(shù)？,今天的收獲,3、n邊形的內(nèi)角和等于：（n2）180,2、n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)所畫對(duì)角線的條數(shù)為：n3,4、利用類比歸納、轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí)方法，可以把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決;,5、方程的數(shù)學(xué)思想在幾何中有重要的作用。,1、 由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為n邊形，又稱為多邊形。,為了求得n邊形的內(nèi)角和，請(qǐng)根據(jù)下圖所示，完成表格。,1,2,3,4,n2,1800,3600,5400,7200,(n2)1800,你找到規(guī)律了嗎？,探索多邊形的內(nèi)角和關(guān)鍵是：,把多邊形分成幾個(gè)三角形，再利用三角形的內(nèi)角和求得。,議 一 議,你還有其它的分法嗎？,P,P,n180o360o,（n1）180o180o,來思考幾個(gè)問題：,1.一個(gè)多邊形的邊都相等，它的內(nèi)角一定都相等嗎？,如菱形的四條邊相等，但它的內(nèi)角不一定都相等，所以應(yīng)該說：一個(gè)多邊形的邊都相等，它的內(nèi)角不一定都相等.,2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角都相等，它的邊一定都相等嗎？,如矩形的內(nèi)角都是直角，但它的邊未必都相等，所以應(yīng)該說：一個(gè)多邊形的內(nèi)角都相等，它的邊不一定都相等。,隨堂練習(xí)