1、.,華中科技大學(xué)文華學(xué)院,一元函數(shù)微積分,2015年9月22日12月22日,基礎(chǔ)學(xué)部 梁幼鳴Mobil）,.,德國數(shù)學(xué)家 Leibniz,在一切理論成就中，未必有什么像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣，能被看做人類精神的卓越勝利了。如果在某個(gè)地方我們有人類精神的、純粹和專有的功績，那就正在這里。,F. 恩格斯,英國數(shù)學(xué)家Newton,微積分學(xué)創(chuàng)始人,.,The one real object of education is to have a man in the condition of continually asking questions. （教育的真正目的是使

2、人處于不斷發(fā)問的狀態(tài)） - Mandell Creighton（克萊頓）,Brevity is the soul of wit. （簡潔是智慧的靈魂） - William Shakespeare（莎士比亞） Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味著以最佳手法獲得最佳結(jié)果） - Francis Hutcheson（哈奇森）,.,一位年邁的法國數(shù)學(xué)家說：“只有當(dāng)你使數(shù)學(xué)變得如此明白易懂、可以向任何一個(gè)人闡述其內(nèi)容的時(shí)候，數(shù)學(xué)理論才可以認(rèn)為是完善的?！?- D. Hilbert（希爾伯特）,Brevit

3、y is the soul of wit. （簡潔是智慧的靈魂） - William Shakespeare（莎士比亞） Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味著以最佳手法獲得最佳結(jié)果） - Francis Hutcheson（哈奇森）,.,Advanced Mathematics,退出,一元函數(shù)微積分,第七章,常微分方程及其解法,.,四,五,二,一,退出,Chpt.7 常微方程基本概念與幾種一階和二階線性方程的主要解法,解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法,專題,常微方程基本概念與簡單分

4、類方法,解一階常微方程的湊微分法,三,解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的特征多項(xiàng)式法,一階常微方程的分離變量解法與套公式解法,.,退出,返回,本章只討論常微方程。簡例如下：,2. 常微方程分類命名法,含一元未知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)或因變量,一、常微方程基本概念與簡單分類法,1. 何謂常微分方程,經(jīng)驗(yàn)指出，常微方程中未知函數(shù)及其,非線性方程，剩下的都是線性方程。,顯然，簡例中階數(shù)最高的方程是 (5)，,它們統(tǒng)稱為高階方程）。剩下的方程全,為三階方程；其次是(4)，為二階方程（,是一階方程（尤其含有微分者更如此）,的微分以及自變量的微分的等式稱為,數(shù)或因變量的微分及其多個(gè)自變量的,常微分方程；含多元未知函

5、數(shù)的偏導(dǎo),常微方程按其內(nèi)所含未知函數(shù)的最高,階數(shù)來分類并命名。最高階數(shù)是幾，方,程就被稱為幾階方程。,導(dǎo)數(shù)的冪次是否全為一次，決定了未知,函數(shù)的具體結(jié)構(gòu)能否被解出來的難度。,全為一次的方程稱為線性方程，否則稱,為非線性方程。易見，簡例唯有 (2) 是,的微分的等式稱為偏微分方程。,.,退出,返回,3. 常微方程的特解與通解,常微方程的通解多數(shù)都能囊括方程的,例外）。不被通解囊括的以及通解中的,例1-1 驗(yàn)證方程 的通解,任何含自變量與因變量的表達(dá)式，若,能由之恒等地推出給定的常微方程時(shí)，,都稱為該常微方程的解；解若含有任意,所有可能存在的解（僅非線性方程鮮有,常數(shù)、且不能合并的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰

6、,任意常數(shù)取特定值后所得出的對應(yīng)解稱,證,是,好等于方程的階數(shù)時(shí)稱為方程的通解。,為方程的特解。,由于表達(dá)式中僅含一個(gè)任意常數(shù)，個(gè)數(shù),可見，給定的表達(dá)式是給定方程的解；,明顯與方程的階數(shù)（一階）相等，故此,解是方程的通解。,證畢。,一、常微方程基本概念與簡單分類法,.,退出,返回,的通解。,解,故原方程的通解為,*例2-1 求一階非線性微分方程,即,非線性方程的通解（包括特解） 往往用隱函數(shù)的形式書寫比較簡潔。 有些非線性方程偶爾可經(jīng)變元代換化成線性方程再求解（有興趣者可參閱教材P236之例4與例5），但轉(zhuǎn)換過程瑣碎，明顯不如湊微分法來得直接和明快。,二、解一階常微方程的湊微分法,可見，,.,

7、退出,返回,的通解。,解,故原方程的通解為,*例2-2 求一階非線性微分方程,即,用湊微分法解常微方程， 需要純熟地掌握湊微分的四則運(yùn)算技巧，特別是商的微分運(yùn)算法則； 其掌控的要點(diǎn)在于 認(rèn)準(zhǔn)何為分母，何為分子。 （本例即教材P236之例4）,可見，,二、解一階常微方程的湊微分法,.,退出,返回,解,的通解。,例2-3 求一階線性微分方程,故,湊微分法解一階微分方程時(shí)， 只要可能，應(yīng)堅(jiān)持因變量按因變量湊， 自變量按自變量湊；然后再合并歸總得通解。,在極理想的情況下，原方程有可能被 重組成因變量與自變量全都各居一側(cè)的形式， 人們常稱其為已分離變量的形式。 這種方程的解幾乎顯而易見：,二、解一階常微

8、方程的湊微分法,.,退出,返回,解,故原方程的通解為,或者,故原方程的通解為,或者,例2-4 解下列一階線性齊次方程,方程兩邊同乘以,線性方程中不含未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的項(xiàng)稱為非齊次項(xiàng)。非齊次項(xiàng)為零的方程稱為線性齊次方程,二、解一階常微方程的湊微分法,.,的特解。,退出,返回,滿足初始條件,解,故方程的通解為,亦即,又,故欲求的特解為,或者,例2-5 求一階線性微分方程,亦即,二、解一階常微方程的湊微分法,.,退出,返回,解,故方程的通解為,或者,又,即,故原方程欲求的特解為,或者,的特解。,滿足初始條件,例2-6 求一階線性微分方程,二、解一階常微方程的湊微分法,.,*例2-7 求一階線性微分

9、方程 與,退出,返回,解,故方程的通解為,即,的通解。,故方程的通解為,即,二、解一階常微方程的湊微分法,.,退出,返回,解,得,x 的連續(xù)函數(shù)。,所得等式的兩邊同乘以,參考課本P237公式(6),故方程的通解為,可見,*例2-8 求一階線性微分方程,的通解，其中P，Q 都是,二、解一階常微方程的湊微分法,.,但應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出的是，其中的不定積分,僅用以特指 P ( x ) 的某一,積函數(shù)的某個(gè)原函數(shù)而非全體原函數(shù)。,而非全體原函數(shù)。,該公式在教材的P237的公式(6)中借不定積分的形式表述為,的通解求算公式：,*例2-8的求解結(jié)果實(shí)際上給出了一階線性微分方程,類似地，不定積分,也僅用以特指被,顯

10、然，使用變積分上限的函數(shù)表示某指定函數(shù)的原函數(shù)，較之上述,采取將全體原函數(shù)聲明混用于單個(gè)原函數(shù)的過于簡單的做法要嚴(yán)謹(jǐn)。,二、解一階常微方程的湊微分法,退出,返回,.,退出,返回,的通解。,解,故原方程的通解為,*例2-9 求一階線性微分方程,用湊微分法解常微方程， 除應(yīng)純熟地掌握湊微分的四則運(yùn)算技巧、特別是商的運(yùn)算法則之外， 對已經(jīng)選湊成形的微分間的相互關(guān)聯(lián)性，尤其應(yīng)保持住豐富的聯(lián)想空間。 何謂規(guī)律？不就是相互關(guān)聯(lián)性嗎？ “想象力比知識更重要”，本例即為又一值得體味的佐例 （請與教材P236之例4相比對 ）,可見，,二、解一階常微方程的湊微分法,.,退出,返回,1. 分離變量法,2. 公式法,

11、已分離變量的方程。對可分離變量,若一階常微方程已被改寫成關(guān)于,通解表達(dá)式，把未知函數(shù)的系數(shù)和,若一階常微方程已被改寫成等號,兩邊各自分別是同一變量疑似為某,全微分的方程，則這種方程就稱為,所求得的一階任意線性微分方程的,非齊次項(xiàng)的信息直接代入計(jì)算，而,一舉得出通解的解法稱為公式法。,這種奠基性的解法一旦與微分方程的具體構(gòu)形特征掛上鉤之后，,湊微分法是微分方程求解的奠基性解法。,還能衍生出許多其它的經(jīng)典解法。,的方程分離變量，各邊再分頭關(guān)于,自身的變量求不定積分常能求出方,程的解。這種解法稱為分離變量法。,某個(gè)變量為未知函數(shù)的一階線性微,分方程的規(guī)范形式,，則借用例 2-8,三、一階常微方程的分

12、離變量解法與套公式解法,.,退出,返回,*例3-1 用分離變量法求微分方程,（因 y 0 顯然是方程之解，故任意常,（若 y 0）,數(shù) C 取 0 時(shí)通解就可將之囊括其內(nèi)）,的通解。,解,故,*例3-2 用公式法求一階線性微分方程,的通解。,解,三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法,短接,.,故返回給定的變量即得原方程的通解,退出,返回,*例3-3 用變元代換法求微分方程,的通解。（此乃P239習(xí)題7.2的 4(2) ）,解,若令,則方程將化為以 Z 為,未知函數(shù)的一階線性方程,方程的通解應(yīng)為,于是，依線性方程的求解公式，此,三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法,.,退出,返回,*

13、例3-4 用變元代換法求微分方程,若再令,則方程顯然是以 z,的通解。,解,依求解公式，此方程的通解應(yīng)為,若令,故返回給定的變量即得原方程的通解,則方程將化為以,t 為自變量的一階微分方程,（ 因?yàn)?為未知函數(shù)、以 t 為自變量的一階線性,方程,三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法,.,退出,返回,解,*例3-5 用不同方法求方程的通解,解二（湊微分法）,故原方程的通解為,一（公式法）,方程是線性方程,方程即,三、一階常微方程的分離變量解法與套公式解法,亦即,.,退出,返回,四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法,例4-0 求一階線性齊次方程的通解,解,原方程即,拆中降階建立在

14、對一階常系數(shù)線性齊次方程的通解能目視得解的基礎(chǔ)上,亦即,故原方程的通解為,系數(shù)為 a ，通解為,Ans. 通解為,Ans. 通解為,Ans. 通解為,Ans. 通解為,Ans. 通解為,.,退出,返回,*例4-1 求二階線性齊次方程的通解,【拆中降階要點(diǎn)】,中項(xiàng)系數(shù)的分拆之積與末項(xiàng)系數(shù)相等,解,原方程即,故原方程的通解為,解,原方程即,故原方程的通解為,四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法,短接,.,退出,返回,例4-2 求下列微分方程的通解,解,原方程即,【拆中降階要點(diǎn)】,中項(xiàng)系數(shù)的分拆之積與末項(xiàng)系數(shù)相等,亦即,原方程即,故原方程的通解為,解,故原方程的通解為,四、解二階常系數(shù)線

15、性齊次和非齊次方程的拆中降階法,.,*例4-3 求下列微分方程的通解,中是一階導(dǎo)函數(shù)項(xiàng)的代稱,中項(xiàng)系數(shù)的分拆之積與末項(xiàng)系數(shù)相等,解,原方程即,故原方程的通解為,原方程即,解,故原方程的通解為,退出,返回,四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法,【拆中降階要點(diǎn)】,.,*例4-4 求二階線性齊次方程 的通解。,解,原方程即,亦即,或者,故原方程的通解為,退出,返回,根據(jù)著名的歐拉（Euler）公式,四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法,特征多項(xiàng)式,.,*例4-5-1 求二階線性非齊次方程,解,原方程即,亦即,故原方程的通解為,退出,返回,可以看出：非齊次方程的通解等于某個(gè)特解

16、與對應(yīng)齊次方程的通解之和。本例的求算過程乃是一般性證明的某個(gè)具體實(shí)現(xiàn)。,四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法,的通解。,.,*例4-5-2 求二階線性非齊次方程,解,原方程即,亦即,故原方程的通解為,退出,返回,可以看出：非齊次方程的通解等于某個(gè)特解與對應(yīng)齊次方程的通解之和。本例的求算過程乃是一般性證明的某個(gè)具體實(shí)現(xiàn)。,四、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法,的通解。,.,*例4-5-3 求二階線性非齊次方程,解,原方程即,亦即,故原方程的通解為,退出,返回,可以看出：非齊次方程的通解等于某個(gè)特解與對應(yīng)齊次方程的通解之和。本例的求算過程乃是一般性證明的某個(gè)具體實(shí)現(xiàn)。,四、

17、解二階常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的拆中降階法,的通解。,.,退出,返回,五、解二階常系數(shù)線性微分方程的特征根法,一階常系數(shù)線性微分方程只有一個(gè),中的各階導(dǎo)函數(shù)幻化成 r 的各次冪函,將二階線性常系數(shù)齊次方程,稱為微分方程的特征多項(xiàng)式，特征多,如果特征根是復(fù)數(shù)，則二者必共軛，,用湊微分法可以證明，如果兩特征根,不相等，則線性齊次方程的通解必為,若兩特征根彼此相等，即,則齊次方程的通解必為,數(shù)所得到的二次三項(xiàng)式,項(xiàng)式的根稱為微分方程的特征根。以,特征多項(xiàng)式作為標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程,特征根 r，二階常系數(shù)線性微分方程,有兩個(gè)特征根,當(dāng)然必不相等。記兩共軛之根為,稱為微分方程的 特征方程。,.,退出,返回,例5-1 求下列微分方程的通解,解,的特征多項(xiàng)式,特征根為,方程的通解為,的特征多項(xiàng)式,特征根為,齊次方程,依原方程構(gòu)造特征多項(xiàng)式最容易,的特征多項(xiàng)式,特征根為,齊次方程,出差錯(cuò)的是不求導(dǎo)數(shù)的未知函數(shù)項(xiàng)。,警示自己的口訣是：不求導(dǎo)數(shù)即求,零階導(dǎo)數(shù)，r 的零次冪可視為無 r ！,齊次,的通解為,的通解為,五、解二階常系數(shù)線性微分方程的特征根法,.,退出,返回,例5-2 求下列微分方程的通解,解,項(xiàng)式,特征根為,通解為,的特征多項(xiàng)式,特征根為,齊次方程,的特征多項(xiàng)式,特征根為,齊次方程, 齊次方程的,的通解為,的通解為,的特征多,特征根彼此相等時(shí)，