1、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其共線的坐標(biāo)表示（第二課時(shí)） 教學(xué)設(shè)計(jì)一 教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課的內(nèi)容選自人教A版必修4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其共線的坐標(biāo)表示,在學(xué)習(xí)平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。向量是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，又是一個(gè)數(shù)學(xué)工具。作為數(shù)學(xué)模型，它需要從不同的角度（幾何或代數(shù)）建構(gòu)或完善自己身的數(shù)學(xué)體系；作為數(shù)學(xué)工具，它是一種方法，用以解決幾何（平面幾何，立體幾何，解析幾何）、代數(shù)、三角、物理等方面的問(wèn)題。向量是既有大小又有方向的量，向量是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。但是前面所研究的向量加法、減法、數(shù)乘等運(yùn)算中，都是從“形”的角度展開(kāi)，很多問(wèn)題需要借助平面圖形的幾何性質(zhì)才能解決，這給

2、向量的深入研究帶來(lái)了很多困難，有必要從“數(shù)”的方向進(jìn)行研究，而向量的坐標(biāo)表示正是適逢其時(shí)，使得形與數(shù)二者相互結(jié)合、互為補(bǔ)充，開(kāi)辟了向量運(yùn)算的新天地。平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其共線向量的坐標(biāo)表示是在學(xué)生對(duì)平面向量的基本定理有了充分的認(rèn)識(shí)和正確的應(yīng)用后產(chǎn)生的。向量用坐標(biāo)表示后，對(duì)立體幾何教材的改革也有著深遠(yuǎn)的意義，可使空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地代數(shù)化，把空間形式的研究從“定性”推到“定量”的深度。引入坐標(biāo)運(yùn)算之后使學(xué)生形成了完整的知識(shí)體系（向量的幾何表示和向量的坐標(biāo)表示），為用“數(shù)”的運(yùn)算解決“形”的問(wèn)題搭起了橋梁。二 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1.知識(shí)與技能：掌握平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，包括平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算掌握平面向

3、量共線的坐標(biāo)表示，會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.2.過(guò)程與方法：大膽讓學(xué)生自己探究向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量的坐標(biāo)表示，這是向量的代數(shù)運(yùn)算，利用向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，實(shí)現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化.3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：了解向量是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)，要從“數(shù)”的方向研究向量，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)學(xué)習(xí)并不困難，趁機(jī)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及探索精神在解決問(wèn)題過(guò)程中要形成見(jiàn)數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣,以加深理解知識(shí)要點(diǎn),增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).三學(xué)生的學(xué)情分析本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了向量的概念和表示、向量的線性運(yùn)算以及平面向量基本定理后，開(kāi)始研究平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量的坐標(biāo)表示是向量的代數(shù)運(yùn)算，這對(duì)學(xué)生

4、來(lái)說(shuō)學(xué)習(xí)并不困難，可以大膽讓學(xué)生自己探究。教師在引導(dǎo)學(xué)生探究時(shí)始終抓住向量具有幾何與代數(shù)的雙重特征這一屬性和向量具有數(shù)與形結(jié)合的這一特點(diǎn)，利用已有的知識(shí)，進(jìn)一步熟悉向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量的坐標(biāo)表示，能體會(huì)向量代數(shù)化的重要作用，并加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。四 教學(xué)策略分析教學(xué)過(guò)程是教師和學(xué)生共同參與的過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生自主性學(xué)習(xí),充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性；有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生素質(zhì)。 針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際情況，在教學(xué)中采用“問(wèn)題教學(xué)法和引探式教學(xué)法”的教學(xué)方法。應(yīng)用多媒體課件輔助教學(xué)。五教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)回顧1.平面向量的加、減運(yùn)算及其幾何意義：

5、向量的加法：三角形法則（首尾相連）和平行四邊形法則（共起點(diǎn)）。 向量的減法：， 則 。（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減數(shù)）。 2.平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量,作基底，對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得向量，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(,)叫做向量的坐標(biāo)，記作： 3.向量共線定理：向量與向量為共線向量，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)使得【設(shè)計(jì)意圖】以提問(wèn)的方式完成對(duì)舊知識(shí)的復(fù)習(xí)鞏固，為本節(jié)課探究新知打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。（二）情境引入（提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣）以前，我們所講的向量都是用有向線段表示，即幾何的方法表示。學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)表示后，我們知道向量也

6、可以用代數(shù)的方法，即用坐標(biāo)來(lái)表示。那么向量的運(yùn)算就可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)完成，問(wèn)題的解決肯定要方便的多。因此，我們有必要探究一下這個(gè)問(wèn)題：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其共線的坐標(biāo)表示。（板書(shū)課題）（三）探索研究（教師當(dāng)導(dǎo)演，學(xué)生做主演，教師積極啟發(fā)學(xué)生思考）我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示,現(xiàn)在已知,你能得出,的坐標(biāo)表示嗎? 活動(dòng):學(xué)生通過(guò)向量的坐標(biāo)表示來(lái)進(jìn)行兩個(gè)向量的加、減運(yùn)算,可得: 即同理教師和學(xué)生一起總結(jié),把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為: 兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)計(jì)意圖 推導(dǎo)公式，明確運(yùn)算法則設(shè)計(jì)的提問(wèn)題是學(xué)生利

7、用向量已有的知識(shí)可以解決的，這樣激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生分析理解問(wèn)題的能力。如圖1,已知,怎樣表示的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為的點(diǎn)嗎?標(biāo)出點(diǎn)后,你能總結(jié)出什么結(jié)論? 圖1 討論結(jié)果:=-=結(jié)論:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)向量的減法運(yùn)算說(shuō)明一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)教師對(duì)總結(jié)完全的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng),并鼓勵(lì)學(xué)生,只要善于開(kāi)動(dòng)腦筋,勇于創(chuàng)新,展開(kāi)思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收獲.如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量?活動(dòng):此處教師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥:設(shè),其中.向量與向量共線，當(dāng)且僅當(dāng)有

8、唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得。如果用坐標(biāo)表示,可寫(xiě)為即消去后得這就是說(shuō),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)向量與向量為共線向量.又我們知道與是等價(jià)的。討論結(jié)果: 時(shí)向量與向量為共線向量.教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟:向量共線的兩種等價(jià)形式:向量與向量為共線向量，其中, 設(shè)計(jì)意圖總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，加深理解，突破重難點(diǎn)。通過(guò)問(wèn)題的形式調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索、歸納總結(jié)；從而得到向量的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量的結(jié)論；同時(shí)增加學(xué)生在學(xué)習(xí)中的獲取知識(shí)的快樂(lè)。（四）新知鞏固 （應(yīng)用探究結(jié)論，解決問(wèn)題，訓(xùn)練思維） 例1 已知,求,的坐標(biāo).解:=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);=3(2,1)+4

9、(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).【設(shè)計(jì)意圖】本例是向量代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用,讓學(xué)生根據(jù)向量和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算得出的結(jié)論，可由學(xué)生自己完成.變式訓(xùn)練1.已知且，則的值為 【設(shè)計(jì)意圖】此題是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題,目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，教學(xué)過(guò)程中要讓學(xué)生感受到坐標(biāo)運(yùn)算的簡(jiǎn)潔，體會(huì)形式化運(yùn)算的有優(yōu)點(diǎn).例2已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).活動(dòng):本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個(gè)向量相等,則它們的坐標(biāo)相等”,解題過(guò)程中應(yīng)用了方程思想;解法二利用

10、向量加法的平行四邊形法則求得向量的坐標(biāo),進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).解題過(guò)程中,關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思考,將頂點(diǎn)D的坐標(biāo)表示為已知點(diǎn)的坐標(biāo).解:方法一:設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y).=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y).頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).方法二:由向量加法的平行四邊形法則,可知=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).【設(shè)計(jì)意圖】本題目的是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過(guò)數(shù)形結(jié)合解決

11、問(wèn)題。變式訓(xùn)練2.已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn).解:當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí),仿例二得:D1=(2,2);當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí),仿例二得:D2=(4,6); 當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí),仿上得:D3=(-6,0). 【設(shè)計(jì)意圖】本題進(jìn)一步體現(xiàn)研究平面向量的核心思想-數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)滲透分類討論的思想，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。例3已知=(4,2),=(6,y),且,求y.解:,4y-26=0.y=3.變式訓(xùn)練3.已知，若與平行，則的值為 設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生利用平面向量共線的充要條件完成了例3的解答

12、后，通過(guò)變式訓(xùn)練使知識(shí)的系統(tǒng)化。完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)；引導(dǎo)學(xué)生從不同的問(wèn)題中領(lǐng)悟新舊知識(shí)的本質(zhì)屬性，體現(xiàn)了問(wèn)題變換的思想。例4已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來(lái)判斷.首先要探究三個(gè)點(diǎn)組合成兩個(gè)向量,然后根據(jù)兩個(gè)向量共線的充要條件來(lái)判斷這兩個(gè)向量是否共線從而來(lái)判斷這三點(diǎn)是否共線.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)形式來(lái)判斷向量之間的關(guān)系.讓學(xué)生通過(guò)觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標(biāo)系中作出A、B、C三點(diǎn),觀察圖形,我們猜想A、B、C三點(diǎn)共線.下面給出證明.=(1-(-1),3-(-1)=

13、(2,4), =(2-(-1),5-(-1)=(3,6),又26-34=0,且直線AB、直線AC有公共點(diǎn)A,A、B、C三點(diǎn)共線.點(diǎn)評(píng):本例的解答給出了判斷三點(diǎn)共線的一種常用方法,其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線,則這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線.這是從平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法移植過(guò)來(lái)的.變式訓(xùn)練：4.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點(diǎn)共線，則x的值為_(kāi). 設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來(lái)判斷.首先要探究三個(gè)點(diǎn)組合成兩個(gè)向量,然后根據(jù)兩個(gè)向量共線的充要條件來(lái)做.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)形式來(lái)判斷向量之間的關(guān)系.（五）課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)

14、知識(shí):平面向量的和、差、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算,兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示.向量共線的等價(jià)條件有兩種形式:向量與向量為共線向量 【設(shè)計(jì)意圖】小節(jié)是一堂課內(nèi)容的概括和總結(jié)，是必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，有利于使學(xué)生把握本節(jié)所學(xué)的重要內(nèi)容，讓學(xué)生總結(jié)，是檢查學(xué)生的收獲情況，是更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力。（六）課堂練習(xí)及課后作業(yè)1. 若與相等，已知?jiǎng)t的值為 2. 已知和向量，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)。3. 已知向量若與平行，試求的值。4.已知平面向量 ， ，且，那么（ ）A. k=1且 與同向 B.k=1且 與反向 C.k=-1且 與同向 D.k=-1且 與反向 5.若，且A,B,C三點(diǎn)共線，求的值6.已知向量的坐標(biāo)，求，的

15、坐標(biāo)。(1) (2) 7.已知求點(diǎn)A的坐標(biāo)。8.若向量=(-1，x)與=(-x， 2)共線且方向相同，則x為_(kāi).9.設(shè)向量，若向量與向量共線，則= 10. 設(shè)A(k,12)，B(4,5)，C(10，k)，求當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線【設(shè)計(jì)意圖】鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，設(shè)置分層作業(yè)，滿足每一位學(xué)生，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望和信心.（七）教學(xué)反思本節(jié)課的教學(xué)效果從整體上看是非常順利的，學(xué)生的自主探究和思維活動(dòng)都一步步得到實(shí)施，并且真正做到了讓每一位學(xué)生都參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中，體現(xiàn)了以人為本。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探究，手動(dòng)實(shí)踐，合作交流，閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。本節(jié)課設(shè)計(jì)時(shí)較大的困難是共線向量坐標(biāo)表示充要條件的教學(xué)，如果讓學(xué)生死記硬背，學(xué)生只能表面接受，但不能真正理解。處理時(shí)要讓學(xué)生自主探究，這樣體現(xiàn)了利用舊