1、第五章,矩陣對(duì)角化問(wèn)題,1. 方陣對(duì)角化的概念,尋找相似變換矩陣 ，使,這就稱為把方陣 對(duì)角化.,說(shuō)明,如果能找到可逆矩陣 ，使 ，則 可對(duì)角化；,如果找不到這樣可逆矩陣 ，則 不可對(duì)角化.,2. 定理的引入,設(shè)有可逆矩陣 ，使 為對(duì)角陣.,下面 回答 能否由 確定.,因而 由 和 確定，,也就是由 確定.,由于特征向量不是惟一的，所以矩陣 也不 是惟一確定的.,反過(guò)來(lái)，,是依次與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則,設(shè)矩陣 的 個(gè)特征值為 ，,當(dāng) 可逆，即 線性無(wú)關(guān)時(shí)，有,這表明方陣 能否對(duì)角化完全可用 的特征值和 特征向量來(lái)刻畫(huà).,由定理證明可知,如果矩陣A相似于對(duì)角矩陣, 設(shè),則矩陣P的列是A的線性無(wú)關(guān)

2、的特征向量,對(duì)角矩陣的對(duì)角元素是P中列向量對(duì)應(yīng)的矩陣A的特征值.,若 則 的主對(duì)角元素即為 的特征值，,3. 方陣可對(duì)角化的充要條件,定理4 階矩陣 與對(duì)角陣相似(即 能對(duì)角化),的充要條件是 有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.,推論,若 階矩陣 的 個(gè)特征值互不相等，則 與對(duì)角陣相似.(逆命題不一定成立）,說(shuō)明,當(dāng) 的特征方程有重根時(shí)，不一定有 個(gè)線性無(wú) 關(guān)的特征向量，從而不一定能對(duì)角化；,但是，有重根時(shí)，也有可能能對(duì)角化. 所以,特征值互不相等只是 與對(duì)角陣相似的充分條件.,下述定理可將關(guān)于可對(duì)角化條件更精細(xì)地刻畫(huà)出來(lái).,例 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？,解:,得,得基礎(chǔ)解系,當(dāng) 時(shí)，齊次線性方

3、程組為,當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為,得基礎(chǔ)解系,線性無(wú)關(guān),即A有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A可以對(duì)角化。,得基礎(chǔ)解系,所以 不能化為對(duì)角矩陣.,當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為,例 設(shè),問(wèn) 為何值時(shí)，矩陣能對(duì)角化？,解: 析：此例是定理的應(yīng)用.,定理表明：,階矩陣 可對(duì)角化,有 個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量.,由此可推得另一個(gè)充要條件：,對(duì) 的每個(gè)不同的特征值 ， 的重?cái)?shù),=對(duì)應(yīng)于 的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù),所以的特征值為 1(二重)， .,對(duì)應(yīng)于單根 ，可求得線性無(wú)關(guān)的特征向量1個(gè)；,對(duì)應(yīng)于二重特征值 1，若 能對(duì)角化，則,要使 ，則,即,說(shuō)明,解答此題的關(guān)鍵是將 取值條件“ 可對(duì)角化” 轉(zhuǎn)化為“二重特征值 1 應(yīng)滿足 ”， 從而求得.,矩陣 能否對(duì)角化，取決于它的線性無(wú)關(guān)特征 向量的個(gè)數(shù)，而與 的秩， 的行列式都無(wú)關(guān).,四.矩陣對(duì)角化的實(shí)現(xiàn)的步驟:若矩陣A可以對(duì)角化,(3)用(2)中求