1、2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第1頁,102教學(xué)計劃,第8章多元函數(shù)微分,18學(xué)時,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第2頁,第八章,第八節(jié),一、多元函數(shù)的極值,二、最值應(yīng)用問題,三、條件極值,多元函數(shù)的極值及其求法,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第3頁,一、 多元函數(shù)的極值,定義: 若函數(shù),則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).,例如 :,在點(diǎn) (0,0) 有極小值;,在點(diǎn) (0,0) 有極大值;,在點(diǎn) (0,0) 無極值.,極大值和極小值,統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).,的某鄰域內(nèi)有,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第4頁

2、,定理1 (必要條件),函數(shù),偏導(dǎo)數(shù),證:,據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.,取得極值 ,取得極值,取得極值,且在該點(diǎn)取得極值 ,則有,存在,故,說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) .,例如,但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).,有駐點(diǎn)( 0, 0 ),但在該點(diǎn)不取得極值.,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第5頁,定理2 (充分條件),若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,令,時, 具有極值,則: 1) 當(dāng),A0 時取極大值;,A0 時取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),證明見 第九節(jié)(P65) . 這里略,時, 沒有極值.,時, 不能確定 , 需另行討論.,2011年3

3、月,D8_8極值與最值,總26頁 第6頁,例1.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點(diǎn).,解方程組,的極值.,得4個駐點(diǎn):,(1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判別.,在點(diǎn)(1,0) 處,為極小值;,求二階偏導(dǎo)數(shù),2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第7頁,在點(diǎn)(3,0) 處,不是極值;,在點(diǎn)(3,2) 處,為極大值.,在點(diǎn)(1,2) 處,不是極值;,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第8頁,例3.討論函數(shù),及,是否取得極值.,解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.,因此,

4、為極小值.,正,負(fù),0,在點(diǎn)(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能為,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第9頁,二、最值應(yīng)用問題,函數(shù) f 在閉域上連續(xù),函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值,最值可疑點(diǎn),駐點(diǎn),邊界上的最值點(diǎn),特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點(diǎn)P 時,為極小 值,為最小 值,(大),(大),依據(jù),2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第10頁,例3.,解: 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為,則水箱所用材料的面積為,令,得駐點(diǎn),某廠要用鐵板做一個體積為2,根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸

5、時, 才能使用料最省?,因此可,斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).,即當(dāng)長、寬均為,高為,時, 水箱所用材料最省.,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第11頁,例4. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,把它折起來做成,解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積,一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大.,為,問怎樣折法才能使斷面面,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第12頁,令,解得:,由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有,一個駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第13頁,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第

6、14頁,三、條件極值,極值問題,無條件極值:,條 件 極 值 :,條件極值的求法:,方法1 代入法.,求一元函數(shù),的無條件極值問題,對自變量只有定義域限制,對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制,例如 ,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第15頁,方法2 拉格朗日乘數(shù)法.,如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數(shù),可確定隱函數(shù),的極值問題,極值點(diǎn)必滿足,設(shè),記,例如,故,故有,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第16頁,引入輔助函數(shù),輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).,利用拉格,極值點(diǎn)必滿足,則極值點(diǎn)滿足:,朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.

7、,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第17頁,推廣,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.,設(shè),解方程組,可得到條件極值的可疑點(diǎn) .,例如, 求函數(shù),下的極值.,在條件,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第18頁,例5.,要設(shè)計一個容量為,則問題為求x , y ,令,解方程組,解: 設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積,最小.,z 使在條件,水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？,的長方體開口水箱, 試問,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第19頁,得唯一駐點(diǎn),由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料

8、最省.,因此 , 當(dāng)高為,思考:,1) 當(dāng)水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?,提示: 利用對稱性可知,2) 當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價,最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何?,提示:,長、寬、高尺寸相等 .,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第20頁,已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓,圓周上求一點(diǎn) C, 使,ABC 面積 S最大.,解答提示:,設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí),則,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第21頁,設(shè)拉格朗日函數(shù),解方程組,得駐點(diǎn),對應(yīng)面積,而,比較可知,

9、點(diǎn) C 與 E 重合時, 三角形,面積最大.,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn) 動畫開始或暫停,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第22頁,備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.,解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x , y , z ,則,它們所對應(yīng)的三個三角形面積分別為,設(shè)拉氏函數(shù),解方程組, 得,故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第23頁,為邊的面積最大的四邊形 ,試列出其目標(biāo)函數(shù)和約束條件 ?,提示:,目標(biāo)函數(shù) :,約束條件 :,答案:,即四邊形內(nèi)接于圓時面積最大 .,2. 求平面上以,2011年3月,D8_8極值與最

10、值,總26頁 第24頁,6在兩個曲面,的交線上，求到原點(diǎn)最長和最短的距離。,解：設(shè)兩曲面的交線,上任一點(diǎn)為M(x,y,z),則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為,問題可歸結(jié)為求條件極值,構(gòu)造函數(shù),解方程組,得,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第25頁,代入函數(shù)中,由幾何問題確實存在最大值和最小值.,所求的最短距離為,最長距離為,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第26頁,7.某企業(yè)生成甲,乙兩種產(chǎn)品,其銷售單價分別為10萬元/件、 9萬元/件,若生產(chǎn)x件甲產(chǎn)品和y件乙產(chǎn)品的總成本為,(萬元),又已知兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量為100件,試建立這一問題的 數(shù)學(xué)模型,并分析兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時

11、企業(yè)獲得最大利潤.,解：設(shè)收益函數(shù)為G(x,y),則,G(x,y)=10 x+9y,利潤總收益總成本，利潤函數(shù)記為L(x,y),那么,這一問題的數(shù)學(xué)模型應(yīng)為求函數(shù),且x+y=100,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第27頁,這是條件極值問題，構(gòu)造函數(shù),解方程組,得駐點(diǎn)(70,30)因為這是實際問題存在最大利潤,又有唯一駐點(diǎn)，因此當(dāng)x=70,y=30,有最大利潤。,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第28頁,總習(xí)題8,17.求平面,和柱面x2y21的交線上與xy平面距離最短的點(diǎn),解 設(shè)M(x y z)為平面和柱面的交線上的一點(diǎn) 則M到xOy平面,的距離為d(x y z)

12、|z|,問題在于求函數(shù)f(x y z)|z|2z2在約束條件,和x2y21下的最小值,作輔助函數(shù),令,解方程組得,因為可能的極值點(diǎn)只有,這一個 所以這個點(diǎn)就是所求之點(diǎn),2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第29頁,提示: 由題設(shè),例1. 已知函數(shù),(D) 根據(jù)條件無法判斷點(diǎn)(0, 0)是否為f (x,y) 的極值點(diǎn).,則( ),的某個鄰域內(nèi)連續(xù), 且,A,(考研),2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第30頁,內(nèi)容小結(jié),1. 函數(shù)的極值問題,第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).,即解方程組,第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .,2. 函數(shù)的條件極值問題,(1) 簡單問題用代入法,如對二元函數(shù),(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第31頁,設(shè)拉格朗日函數(shù),如求二元函數(shù),下的極值,解方程組,第二步 判別, 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小, 根據(jù)問題的實際意義確定最值,第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件),3. 函數(shù)的最值問題,在條件,求駐點(diǎn) .,2011年3月,D8_8極值與最值,總26頁 第32頁,