1、1.線面垂直的定義 (1)定義:如果一條直線a與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線a與平面互相垂直,記作a.直線a叫做平面的垂線,平面叫做直線a的垂面,垂線和平面的交點叫做垂足. (2)惟一性定理:過一點有且只有一條直線與已知平面垂直,過一點有且只有一個平面與已知直線垂直. (3)點面距、線面距:從平面外一點引平面的垂線,這個點和垂足間的距離,叫做這個點到這個平面的距離;一條直線和一個平面平行,這條直線上任意一點到這個平面的距離,叫做這條直線和這個平面的距離.,交流1 (1)如果一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,那么這條直線和這個平面垂直嗎? (2)若l,則直線l到的距離就是l上任

2、意一點到平面的距離.這種說法對嗎?為什么? 答案：(1)不一定.如果平面內(nèi)的那無數(shù)條直線都互相平行,那么直線與平面的位置關系可能是斜交、垂直、平行、在平面內(nèi). (2)正確.因為直線l上各點到平面的距離都相等.,2.線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理 (1)判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么這條直線垂直于這個平面.用符號表示為若am,an,mn=A,m,n,則a. (2)性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行.用符號表示為a,b,則ab. 交流2 在直線與平面垂直的判定定理中,若去掉mn=A,結(jié)論還成立嗎? 答案：不一定.如圖正方體中m,n,lm,ln,但l

3、,故定理中的“兩條相交直線”是不可缺少的條件.,3.直線與平面所成的角 線面角:一條直線與一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線,斜線與平面的交點叫做斜足,斜線上一點與斜足間的線段叫做這個點到平面的斜線段.平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線與這個平面所成的角.一條直線垂直于平面,則它們所成的角為直角;一條直線與平面平行或在平面內(nèi),則它們所成的角是0的角. 交流3 平面的一條斜線與平面所成的角的范圍是什么?任意一條直線與平面所成的角的范圍呢? 答案：平面的一條斜線與平面所成的角的范圍是090;任意一條直線與平面所成的角的范圍是090.,典例導學,一

4、,二,三,即時檢測,一、線面垂直的判定定理及應用 如圖,在ABC中,ABC=90,D是AC的中點,S是ABC所在平面外一點,且SA=SB=SC. (導學號51800031),(1)求證:SD平面ABC; (2)若AB=BC,求證:BD平面SAC. 思路分析：題設條件中的三棱錐的三條側(cè)棱相等,ABBC,D是AC的中點,要證(1)需在平面ABC內(nèi)找兩條相交直線與SD垂直,故等腰三角形底邊的中線是可以利用的垂直關系,要證(2),需設法在平面SAC內(nèi)找兩條相交直線與BD垂直,可利用(1)的結(jié)論.,典例導學,一,二,三,即時檢測,證明：(1)因為SA=SC,D是AC的中點, 所以SDAC. 在RtABC

5、中,AD=BD, 由已知SA=SB, 所以ADSBDS, 所以SDBD. 又ACBD=D, 所以SD平面ABC. (2)因為AB=BC,D為AC的中點, 所以BDAC.由(1)知SDBD, 因為SDAC=D, 所以BD平面SAC.,典例導學,一,二,三,即時檢測,1.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點,現(xiàn)在沿DE,DF及EF把ADE,CDF,BEF折起,使A,B,C三點重合于點P,則DP平面. 解析：A,B,C重合于一點P,且ADAE,DCCF, PDPE,DPPF(將A,C換成P). DP平面PEF. 答案：PEF,典例導學,一,二,三,即時檢測,2.如圖,AB是圓O的直

6、徑,PA垂直于圓O所在平面,M是圓周上任意一點,ANPM,垂足為N. 求證:AN平面PBM. 證明：設圓O所在平面為, 已知PA,且BM,PABM. 又AB為O的直徑,點M為圓周上一點, AMBM.由于直線PAAM=A, BM平面PAM.而AN平面PAM, BMAN. 又PMAN,PMBM=M, AN平面PBM.,典例導學,一,二,三,即時檢測,判定直線與平面垂直的方法: 應用直線與平面垂直的判定定理是證明直線與平面垂直的主要方法.如果在一個問題的條件中,出現(xiàn)較多的線線垂直或線面垂直,那么證線面垂直常會選擇直線與平面垂直的判定定理,關鍵是找平面內(nèi)的兩條相交直線與已知直線垂直.,典例導學,即時檢

7、測,一,二,三,二、線面垂直性質(zhì)定理的應用 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在A1D,AC上,且EFA1D,EFAC. (導學號51800032) 求證:EFBD1. 思路分析：題目條件中給出了線線垂直,通過轉(zhuǎn)化可證得線面垂直,要證EFBD1,只需證明EF與BD1同垂直于某一平面即可,由條件可知這里當然選擇平面AB1C.,典例導學,即時檢測,一,二,三,證明：如圖所示,連結(jié)AB1,B1C,BD,B1D1. DD1平面ABCD,AC平面ABCD, DD1AC. 又ACBD且BDDD1=D, AC平面BDD1B1. BD1平面BDD1B1, BD1AC. 同理可證BD1B1

8、C, 又ACB1C=C,BD1平面AB1C. EFA1D,A1DB1C, EFB1C.又EFAC且ACB1C=C, EF平面AB1C, EFBD1.,典例導學,即時檢測,一,二,三,1.已知ABC在平面內(nèi),A=90,DA平面,則CA與DB的位置關系是. 解析：DA平面,AC平面, DAAC. 又ACAB,ABDA=A, AC平面ABD. BD平面ABD, ACBD. 答案：垂直,典例導學,即時檢測,一,二,三,2.已知:=AB,PQ于Q,PO于O,OR于R.求證:QRAB. 證明：如圖,=AB,PO于O, POAB. PQ于Q,PQAB. POPQ=P,AB平面PQO. OR于R,PQOR.

9、PQ與OR確定平面PQRO, 又QR平面PQRO,QRAB.,典例導學,即時檢測,一,二,三,證明線線平行常有如下方法: (1)利用線線平行定義證共面且無公共點; (2)利用三線平行公理證兩直線同時平行于第三條直線; (3)利用線面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行; (4)利用線面垂直的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直; (5)利用面面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.,典例導學,即時檢測,一,二,三,三、線面距、線面角的有關問題 RtABC在平面內(nèi),點P在平面外,P到直角頂點A的距離為8,到兩條直角邊的距離均為5 ,求:(導學號51800033) (1)P到平面的距離

10、; (2)PA與平面所成角的正弦值. 思路分析：(1)要求P到平面的距離,于是我們過P作PO于點O,再利用勾股定理求得P到平面的距離. (2)容易證明PAO即為PA與平面所成角,可在RtPAO中應用銳角三角函數(shù)定義求得.,典例導學,即時檢測,一,二,三,解：(1)如圖,過點P作PO于點O,作ODAB于點D,連結(jié)PD.,典例導學,即時檢測,一,二,三,1.(2016浙江杭州高二聯(lián)考)如圖,在三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是正三角形,AA底面ABC,且AB=1,AA=2,則直線BC與平面ABBA所成角的正弦值為. (導學號51800034),典例導學,即時檢測,一,二,三,解析：如圖所示,取A

11、B的中點D,連結(jié)CD,BD. 底面ABC是正三角形, CDAB. AA底面ABC,AACD. 又AAAB=A, CD側(cè)面ABBA, CBD是直線BC與平面ABBA所成的角.,典例導學,即時檢測,一,二,三,2.在三棱錐P-ABC中,ACB=90,PA=PB=PC,AC=18 cm,P到BC的距離為41 cm,則P到平面ABC的距離為. (導學號51800035) 解析：過P作PO平面ABC,垂足為O,由PA=PB=PC知O是ABC的外心,又ABC為直角三角形, O為斜邊AB的中點. 作OMAC,則OMBC,且M為BC的中點. 又PC=PB, BCPM.,答案：40 cm,典例導學,即時檢測,一

12、,二,三,不論是求點面距還是求線面角,都離不開證線面垂直,有了線面垂直,便可找到垂線段,得出點面距;有了線面垂直,才有射線在平面內(nèi)的射影,才能找出線面角.解此類題的一般步驟是作(找)證算(求).,典例導學,1,2,3,4,即時檢測,1.已知m,n,l是三條直線,是兩個平面,下列命題中,正確的是() 若l垂直于內(nèi)兩條直線,則l 若l平行于,則內(nèi)有無數(shù)條直線與l平行 若m,m,n,則mn 若l,m,則lm A.B.C.D. 解析：應是內(nèi)兩條相交直線,不正確;正確,過l的平面與平面有無數(shù)條交線,這些交線都與l平行;m與n還可能異面,不正確;正確. 答案：C,典例導學,即時檢測,1,2,3,4,2.一

13、條直線和三角形的兩邊同時垂直,則這條直線和三角形的第三邊的位置關系是.(填“垂直”或“不垂直”) 解析：如圖,由已知假設lAB,lAC. ABAC=A,不妨假設AB與AC共面于, 則l. 又BC,lBC. 答案：垂直,典例導學,即時檢測,1,2,3,4,3.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA平面ABC,PA=8,則P到BC的距離是. (導學號51800036) 解析：取BC的中點D,連結(jié)PD,AD. AB=AC,ADBC. 又PA平面ABC,BC平面ABC, PABC.ADPA=A,BC平面PAD. PD平面PAD,PDBC, PD的長度就是P到BC的距離. 在ABC中,AB=AC=5,BC=6, CD=3,AD=4. 在RtPAD中,PD2=PA2+AD2=82+42=