1、9.4直線與圓、圓與圓的位置關系,第九章平面解析幾何,NEIRONGSUOYIN,內容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,課時作業(yè),1,基礎知識 自主學習,PART ONE,(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關系. 相交； 相切； 相離.,1.判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法,相交,dr,相切,相離,知識梳理,ZHISHISHULI,dr,dr,2.圓與圓的位置關系,dr1r2,dr1r2,|r1r2|dr1r2,d|r1r2|(r1r2),0d|r1r2|(r1r2),無解,一組實數解,兩組不同的實數解,一組實數解,無解,1.在求過一定點的圓的切線方程時，應

2、注意什么？,提示應首先判斷這點與圓的位置關系，若點在圓上則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線應有兩條；若點在圓內，切線為零條.,2.用兩圓的方程組成的方程組有一解或無解時能否準確判定兩圓的位置關系？,提示不能，當兩圓方程組成的方程組有一解時，兩圓有外切和內切兩種可能情況，當方程組無解時，兩圓有相離和內含兩種可能情況.,【概念方法微思考】,題組一思考辨析,1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.() (2)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.() (3)過圓O：x2y2r2上一點P(x

3、0，y0)的圓的切線方程是x0 xy0yr2.() (4)過圓O：x2y2r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0 xy0yr2.() (5)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切.(),基礎自測,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,題組二教材改編,2.若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點，則實數a的取值范圍是 A.3，1 B.1,3 C.3,1 D.(，31，),1,2,3,4,5,6,7,3.圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關系為 A.內切 B.相交 C.外切 D.相離,32d

4、32， 兩圓相交.,1,2,3,4,5,6,7,解析兩圓圓心分別為(2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，,4.圓x2y240與圓x2y24x4y120的公共弦長為_.,得兩圓公共弦所在直線為xy20.,1,2,3,4,5,6,7,題組三易錯自糾,5.若直線l：xym0與圓C：x2y24x2y10恒有公共點，則m的取值范圍是,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,6.(2018鄂爾多斯模擬)設圓C1，C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于,解析因為圓C1，C2和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，所以兩圓都在第一象限內，設圓心坐標為(a，a)

5、，,1,2,3,4,5,6,7,7.過點A(3,5)作圓O：x2y22x4y10的切線，則切線的方程為 _.,5x12y450或x30,1,2,3,4,5,6,7,解析化圓x2y22x4y10為標準方程得(x1)2(y2)24，其圓心為(1,2)，,點A(3,5)在圓外. 顯然，當切線斜率不存在時，直線與圓相切，即切線方程為x30， 當切線斜率存在時，可設所求切線方程為y5k(x3)， 即kxy53k0. 又圓心為(1，2)，半徑r2，,1,2,3,4,5,6,7,故所求切線方程為5x12y450或x30.,1,2,3,4,5,6,7,2,題型分類深度剖析,PART TWO,題型一直線與圓的位

6、置關系,例1(2018本溪模擬)在ABC中，若asinAbsin Bcsin C0，則圓C：x2y21與直線l：axbyc0的位置關系是 A.相切B.相交C.相離D.不確定,解析因為asin Absin Bcsin C0， 所以由正弦定理得a2b2c20.,多維探究,命題點1位置關系的判斷,故圓C：x2y21與直線l：axbyc0相切，故選A.,命題點2弦長問題,例2若a2b22c2(c0)，則直線axbyc0被圓x2y21所截得的弦長為,命題點3切線問題,例3已知圓C：(x1)2(y2)210，求滿足下列條件的圓的切線方程. (1)與直線l1：xy40平行；,解設切線方程為xyb0，,(2)

7、與直線l2：x2y40垂直；,解設切線方程為2xym0，,(3)過切點A(4，1).,過切點A(4，1)的切線斜率為3， 過切點A(4，1)的切線方程為y13(x4)， 即3xy110.,(1)判斷直線與圓的位置關系的常見方法 幾何法：利用d與r的關系. 代數法：聯(lián)立方程之后利用判斷. 點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交. 上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題. (2)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構成直角三角形. (3)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關系解決問題.,跟蹤訓練1

8、(1)圓x2y22x4y0與直線2txy22t0(tR)的位置關系為_.,相交,解析直線2txy22t0恒過點(1，2)， 12(2)2214(2)50， 點(1，2)在圓x2y22x4y0內， 直線2txy22t0與圓x2y22x4y0相交.,(2)過點(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長為_.,由題意知最短的弦過P(3,1)且與PC垂直，,(3)過點P(2,4)引圓(x1)2(y1)21的切線，則切線方程為_.,解析當直線的斜率不存在時，直線方程為x2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意； 當直線的斜率存在時，設直線方程為y4k(x2)，即kxy42

9、k0， 直線與圓相切，,x2或4x3y40,即4x3y40. 綜上，切線方程為x2或4x3y40.,題型二圓與圓的位置關系,命題點1位置關系的判斷,例4分別求當實數k為何值時，兩圓C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交和相切.,多維探究,解將兩圓的一般方程化為標準方程，得 C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k， 則圓C1的圓心為C1(2,3)，半徑r11；,即14k34時，兩圓相交.,所以當k14或k34時，兩圓相切.,命題點2公共弦問題,例5已知圓C1：x2y22x6y10和C2：x2y210 x12y450. (1)求證：圓C1和圓C2相交

10、；,證明由題意得，圓C1和圓C2一般方程化為標準方程， 得(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)216，,圓C2的圓心C2(5,6)，半徑r24，,|r1r2|dr1r2， 圓C1和C2相交.,(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長.,解圓C1和圓C2的方程相減，得4x3y230， 兩圓的公共弦所在直線的方程為4x3y230.,(1)判斷兩圓位置關系的方法 常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對值的大小關系判斷，一般不用代數法.重視兩圓內切的情況，作圖觀察. (2)兩圓相交時，公共弦所在直線方程的求法 兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項

11、得到. (3)兩圓公共弦長的求法 求兩圓公共弦長，常選其中一圓，由弦心距d，半弦長 ，半徑r構成直角三角形，利用勾股定理求解.,跟蹤訓練2(1)(2016山東)已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是 ，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關系是 A.內切B.相交C.外切D.相離,解析圓M：x2(ya)2a2(a0)，,M(0,2)，r12. 又圓N的圓心坐標N(1,1)，半徑r21，,r1r2|MN|r1r2， 兩圓相交，故選B.,(2)圓x2y24x4y10與圓x2y22x130相交于P，Q兩點，則直線PQ的方程為_.,x2y60,解析兩個圓的方程兩端相減，可得

12、2x4y120. 即x2y60.,3,課時作業(yè),PART THREE,1.若兩圓x2y2m和x2y26x8y110有公共點，則實數m的取值范圍是 A.(，1) B.(121，) C.1,121 D.(1,121),解析x2y26x8y110化成標準方程為(x3)2(y4)236.,基礎保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以1m121.故選C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.已知點P(a，b)(ab0)是圓x2y2r2內的一點，直線m是以P為中點的弦所在的直線，直線l的方程為axbyr2，那么

13、 A.ml，且l與圓相交B.ml，且l與圓相切 C.ml，且l與圓相離D.ml，且l與圓相離,解析點P(a，b)(ab0)在圓內，a2b2r2. 圓x2y2r2的圓心為O(0,0)，故由題意得OPm，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ml，l與圓相離.故選C.,4.(2018包頭模擬)過點P(1，2)作圓C：(x1)2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為,解析圓(x1)2y21的圓心為(1,0)，半徑為1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.若點A(1,0)和點B(4,0)到直線

14、l的距離依次為1和2，則這樣的直線有 A.1條B.2條C.3條D.4條,解析如圖，分別以A，B為圓心，1,2為半徑作圓. 由題意得，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1， 直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2， 所以直線l是兩圓的公切線，共3條(2條外公切線，1條內公切線).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析A，B，C在圓x2y21上，且ABBC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2016全國)已知直線l：x y6

15、0與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,令y0，則xC2，xD2， |CD|2(2)4.,解析由題意，得圓心為O(0,0)，半徑為1.如圖所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,則|OP|2，OPA30，APB60.,9.(2018衡陽質檢)已知圓E：x2y22x0，若A為直線l：xym0上的點，過點A可作兩條直線與圓E分別切于點B，C，且ABC為等邊三角形，則實數m的取值范圍是_.,解析設圓E的圓心為E，半徑為r

16、，圓E：x2y22x0，即(x1)2y21，則圓心E(1,0)，半徑r為1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又因為|AE|d(d為圓心到直線l的距離)，,10.已知圓C1：x2y22aya240和圓C2：x2y22bx1b20外切，若aR，bR且ab0，則 的最小值為_.,解析x2y22aya240， 即x2(ya)24，x2y22bx1b20， 即(xb)2y21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,當且僅當ab時取等號.,11.已知圓C：x2y22x4y10，O為坐標原點，動點P在圓C外，過P作圓C

17、的切線，設切點為M. (1)若點P運動到(1,3)處，求此時切線l的方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解把圓C的方程化為標準方程為(x1)2(y2)24， 圓心為C(1,2)，半徑r2. 當l的斜率不存在時，此時l的方程為x1，C到l的距離d2r，滿足條件. 當l的斜率存在時，設斜率為k， 得l的方程為y3k(x1)，即kxy3k0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,綜上，滿足條件的切線l的方程為x1或3x4y150.,(2)求滿足條件|PM|PO|的點P的軌跡方程.,1,2,3,4,5,6,7,

18、8,9,10,11,12,13,14,15,16,解設P(x，y)，則|PM|2|PC|2|MC|2 (x1)2(y2)24， |PO|2x2y2，|PM|PO|， (x1)2(y2)24x2y2， 整理，得2x4y10， 點P的軌跡方程為2x4y10.,12.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2,4). (1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解圓M的方程化為標準形式為(x6)2(y7)225，圓心M(6,7)，半徑r

19、5， 由題意，設圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0).,解得b1， 圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.,(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且|BC|OA|，求直線l的方程；,解kOA2， 可設l的方程為y2xm，即2xym0.,直線l的方程為y2x5或y2x15.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又P，Q為圓M上的兩點，|PQ|2r10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018呼倫貝爾質檢)已知直線l：(m2)x(m1)y44m0上總存在點M，使得過M點作的圓C：

20、x2y22x4y30的兩條切線互相垂直，則實數m的取值范圍是 A.m1或m2B.2m8 C.2m10D.m2或m8,技能提升練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如圖，設切點分別為A，B. 連接AC，BC，MC， 由AMBMACMBC90及|MA|MB|知，四邊形MACB為正方形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即m28m200，2m10，故選C.,若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，,14.若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長是_.,4,解析O1與O在A處的切線互相垂直，如圖， 可知兩切線分別過另一圓的圓心，O1AOA.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又A，B關于OO1所在直線對稱， AB長為RtOAO1斜邊上的高的2倍，,拓展沖刺練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.已知圓O：x2y29，點P為直線x2y90上一動