1、高考數(shù)學(xué) (山東專(zhuān)用),10.2雙曲線,A組山東省卷、課標(biāo)卷題組,五年高考,1.(2019課標(biāo)全國(guó)文,10,5分)雙曲線C:-=1(a0,b0)的一條漸近線的傾斜角為130,則C 的離心率為() A.2sin 40B.2cos 40C.D.,答案D本題主要考查雙曲線的性質(zhì),同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式;考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算. 由雙曲線C:-=1(a0,b0)可知漸近線方程為y=x, 由題意知-=tan 130, 又tan 130=-tan 50, =tan 50, 雙曲線的離心率e=,故選D.,方法總結(jié)求雙曲線-=1(a0,b0)的離心率的常見(jiàn)方

2、法: (1)定義法:e=;(2)公式法:e=(為漸近線的傾斜角);(3)方程思想:利用題 中條件得出關(guān)于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的方程,最后利用e=轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的 方程,從而得出離心率e.,2.(2019課標(biāo)全國(guó)理,16,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1 的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若=,=0,則C的離心率為.,答案2,解析本題考查雙曲線的性質(zhì),平面向量的線性運(yùn)算,平面向量數(shù)量積的性質(zhì)等知識(shí);考查學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí);考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算. 雙曲線-=1(a0,b0)的漸

3、近線方程為y=x, =0,F1BF2B, 點(diǎn)B在O:x2+y2=c2上,如圖所示, 不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限,由得點(diǎn)B(a,b),=,點(diǎn)A為線段F1B的中點(diǎn), A,將其代入y=-x得=. 解得c=2a, 故e=2.,思路分析利用=0得出點(diǎn)B在O:x2+y2=c2上,結(jié)合點(diǎn)B在漸近線上求得點(diǎn)B的坐標(biāo),進(jìn) 而利用=得點(diǎn)A的坐標(biāo),由點(diǎn)A在另一條漸近線上可得a與c的關(guān)系,從而求得離心率.,疑難突破求點(diǎn)B的坐標(biāo)是難點(diǎn),垂直關(guān)系可以與圓聯(lián)系,也可以轉(zhuǎn)化為直角三角形,求邊的關(guān)系.,一題多解一題多解一:如圖,由=知A為線段F1B的中點(diǎn), O為線段F1F2的中點(diǎn),OAF2B, =0,F1BF2B, OAF1A且F1

4、OA=OF2B, BOF2=AOF1,BOF2=OF2B, 又易知|OB|=|OF2|=c,OBF2為正三角形, 可知=tan 60=,e=2. 一題多解二:如圖,設(shè)AOy=,則BOy=,=,A為線段F1B的中點(diǎn), 又O為線段F1F2的中點(diǎn),OABF2,OBF2=2. 過(guò)B作BHOF2,垂足為H, 則BHy軸,則有OBH=,HBF2=, 易得OBHF2BH,|OB|=|BF2|, =0,BF1BF2,又O為F1F2的中點(diǎn), |OB|=|OF2|=c,OBF2為正三角形. BOF2=60,則=tan 60=,e=2.,3.(2016山東,13,5分)已知雙曲線E:-=1(a0,b0).若矩形AB

5、CD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的 中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是.,答案2,解析由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c. 因?yàn)?|AB|=3|BC|,所以=6c, 又b2=c2-a2, 所以2e2-3e-2=0,解得e=2或e=-(舍去).,評(píng)析本題考查了雙曲線的基本性質(zhì),利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2構(gòu)造關(guān)于離心率e的方程是求解的關(guān)鍵.,4.(2015山東,15,5分)平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線C1:-=1(a0,b0)的漸近線與拋物線C2: x2=2py(p0)交于點(diǎn)O,A,B.若OAB的垂心為C2的焦點(diǎn),則C

6、1的離心率為.,答案,解析設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè),拋物線C2的焦點(diǎn)為F,則F.聯(lián)立得和分別解得 和 A,B. F為OAB的垂心, AFOB, kAFkOB=-1, 即=-14b2=5a24(c2-a2)=5a2=, e=.,B組課標(biāo)卷、其他自主命題省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,1.(2019課標(biāo)全國(guó)文,10,5分)已知F是雙曲線C:-=1的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn). 若|OP|=|OF|,則OPF的面積為() A.B.C.D.,答案B本題主要考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合圖形考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 如圖,記雙曲線的

7、右焦點(diǎn)為F,設(shè)左焦點(diǎn)為F,連接PF,PF, 由題意得F(3,0),F(-3,0), |OP|=|OF|=|FF|=3, FPF=90,設(shè)|PF|=m,|PF|=n, 則故mn=10.,SOPF=SPFF=mn=,故選B.,解題關(guān)鍵由于題中條件只涉及一個(gè)焦點(diǎn)F,故合理作圖標(biāo)出左、右兩焦點(diǎn)F,F,并將雙曲線的定義作為已知條件直接應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,利用平面幾何知識(shí)發(fā)現(xiàn)FPF=90是解決本題的關(guān)鍵.,2.(2018天津文,7,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直 線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,

8、則雙曲線的方程為() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案A本題主要考查雙曲線的方程、幾何性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用. 雙曲線-=1(a0,b0)的離心率為2, e2=1+=4,=3,即b2=3a2,c2=a2+b2=4a2, 不妨設(shè)點(diǎn)A(2a,3a),B(2a,-3a), =3,漸近線方程為y=x, 則點(diǎn)A與點(diǎn)B到直線x-y=0的距離分別為d1=a,d2=a,又 d1+d2=6,a+a=6,解得a=,b2=9.雙曲線的方程為-=1,故選A. 方法歸納求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法: (1)定義法:根據(jù)題目條件求出a,b的值,即可求得方程. (2)待定系數(shù)法:根據(jù)題目條件確定焦點(diǎn)的位

9、置,從而設(shè)出所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用題目條件構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組,解出a,b的值,即可求得方程.,3.(2017天津文,5,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上, OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為() A.-=1B.-=1 C.-y2=1D.x2-=1,答案D本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)和雙曲線的方程. 不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,由題意可知c=2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,),所以=,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2 =3,故所求雙曲線的方程為x2-=1,故選D.,4.(2017天津,5,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左焦點(diǎn)為

10、F,離心率為.若經(jīng)過(guò)F和P(0,4) 兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案B本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 由離心率為可知a=b,c=a,所以F(-a,0),由題意可知kPF=1,所以a=4, 解得a=2,所以雙曲線的方程為-=1,故選B.,方法總結(jié)求雙曲線的方程的常用方法:(1)待定系數(shù)法:設(shè)出所求雙曲線的方程,根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組,從而解方程組求出a和b的值;(2)定義法:根據(jù)題意得到動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的關(guān)系式,結(jié)合雙曲線的定義求出動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的軌跡方程.,5.(2016課標(biāo)全國(guó),5,5分)已知方程-=

11、1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離 為4,則n的取值范圍是() A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,),答案A原方程表示雙曲線,且焦距為4, 或 由得m2=1,n(-1,3).無(wú)解.故選A.,6.(2016天津,6,5分)已知雙曲線-=1(b0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓 與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為 () A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案D不妨設(shè)A(x0,y0)在第一象限,由題意得 由得=, 所以=, 由可得b2=12. 所以雙曲線的方程為-=1.故選D.,評(píng)析本題考查了圓和

12、雙曲線的方程與性質(zhì),考查了運(yùn)算求解能力和方程的思想方法.,7.(2015天津,6,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2,),且雙曲線的一個(gè)焦 點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案D由題意知點(diǎn)(2,)在漸近線y=x上,所以=,又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x=-,所 以c=,故a2+b2=7,所以a=2,b=.故雙曲線的方程為-=1.選D.,8.(2015福建,3,5分)若雙曲線E:-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且|PF1|= 3,則|PF2|等于() A.11B.9C.5D.3,答案B|PF1|=

13、3a+c=8,故點(diǎn)P在雙曲線的左支上,由雙曲線的定義得|PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故選B.,9.(2016浙江文,13,5分)設(shè)雙曲線x2-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.若點(diǎn)P在雙曲線上,且F1 PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是.,答案(2,8),解析PF1F2為銳角三角形,不妨設(shè)P在第一象限,P點(diǎn)在P1與P2之間運(yùn)動(dòng)(如圖). 當(dāng)P在P1點(diǎn)處時(shí),F1P1F2=90, =|F1F2|=|P1F1|P1F2|. 由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2, 得|P1F1|P1F2|=6, 此時(shí)|PF1|+

14、|PF2|=2. 當(dāng)P在P2點(diǎn)處時(shí),P2F2F1=90, =2,易知=3, 此時(shí)|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,當(dāng)PF1F2為銳角三角形時(shí),|PF1|+|PF2|(2,8).,評(píng)析找到點(diǎn)P的兩個(gè)特殊位置是解決本題的關(guān)鍵.,考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì) 1.(2019課標(biāo)全國(guó)文,12,5分)設(shè)F為雙曲線C:-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F 為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為() A.B.C.2D.,答案A本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)以及圓的性質(zhì);考查了運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算. 如圖,連接OP,|PQ|=|OF

15、|=c, PQ過(guò)圓心.易得P. 又|OP|=a, a2=+=, =2,e=.故選A.,解題關(guān)鍵由|PQ|=|OF|=c,可知PQ過(guò)以O(shè)F為直徑的圓的圓心,進(jìn)而得到P是解答本題的 關(guān)鍵.,2.(2019浙江,2,4分)漸近線方程為xy=0的雙曲線的離心率是() A.B.1C.D.2,答案C本題考查雙曲線的漸近線、離心率;考查學(xué)生的運(yùn)算求解的能力;體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 漸近線方程為y=x,a=b, c=a,e=, 故選C.,解題關(guān)鍵正確理解雙曲線方程與漸近線方程的關(guān)系,從而得出a與c的關(guān)系.,3.(2019北京文,5,5分)已知雙曲線-y2=1(a0)的離心率是,則a=() A.B.4C.2

16、D.,答案D本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力以及方程的思想,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算. 由題意得e=,又a2+b2=c2,=e2-1=4, b2=1,a2=.a0,a=.,易錯(cuò)警示把雙曲線的離心率錯(cuò)認(rèn)為e=而出錯(cuò).,4.(2019天津理,5,5分)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線-=1(a0,b0)的兩 條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且|AB|=4|OF|(O為原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為() A.B.C.2D.,答案D本題主要考查雙曲線的離心率,拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程,通過(guò)圓錐曲線的性質(zhì)考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 如圖,由題意可

17、知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1, |AB|=4|OF|=4,A(-1,2),又點(diǎn)A在直線y=-x上, 2=-(-1),=2, 雙曲線的離心率e=.故選D.,5.(2019課標(biāo)全國(guó)理,10,5分)雙曲線C:-=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線上,O為坐 標(biāo)原點(diǎn).若|PO|=|PF|,則PFO的面積為() A.B.C.2D.3,答案A本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),通過(guò)雙曲線的漸近線考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法.考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算. 由雙曲線的方程為-=1,知a=2,b=,故c=,漸近線的方程為y=x. 不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,作PQOF于Q,如圖, |PO|=|PF|,

18、Q為OF的中點(diǎn),|OQ|=. 令POF=,由tan =得|PQ|=|OQ|tan =. PFO的面積S=|OF|PQ|=.故選A.,解題關(guān)鍵求等腰PFO底邊上的高是解題的關(guān)鍵.掌握雙曲線的方程和幾何性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)和保證.,6.(2018課標(biāo)全國(guó)文,6,5分)雙曲線-=1(a0,b0)的離心率為,則其漸近線方程為() A.y=xB.y=x C.y=xD.y=x,答案A本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì). =, 雙曲線的漸近線方程為y=x.故選A.,7.(2018課標(biāo)全國(guó),11,5分)設(shè)F1,F2是雙曲線C:-=1(a0,b0)的左,右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò) F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|

19、PF1|=|OP|,則C的離心率為() A.B.2C.D.,答案C本題考查雙曲線的幾何性質(zhì). 點(diǎn)F2(c,0)到漸近線y=x的距離|PF2|=b(b0),而|OF2|=c,所以在RtOPF2中,由勾股定 理可得|OP|=a,所以|PF1|=|OP|=a. 在RtOPF2中,cosPF2O=, 在F1F2P中, cosPF2O=, 所以=3b2=4c2-6a2, 則有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得=(負(fù)值舍去),即e=.故選C.,方法總結(jié)求雙曲線的離心率的值(或取值范圍) 根據(jù)題設(shè)條件,得出一個(gè)關(guān)于a,b,c的等式(或不等式),利用c2=a2+b2消去b,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的等式(或不等式

20、),即可求得離心率的值(或取值范圍).,8.(2018課標(biāo)全國(guó)文,10,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的離心率為,則點(diǎn)(4,0)到C的 漸近線的距離為() A.B.2C.D.2,答案D本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式. e=,且a0,b0,=1, C的漸近線方程為y=x, 點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為=2.,9.(2018浙江,2,4分)雙曲線-y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是() A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0) C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2),答案B本小題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì). a2=3,b2=1,c=2.又焦點(diǎn)在x軸上,雙

21、曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0).,易錯(cuò)警示求雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)的易錯(cuò)點(diǎn) (1)焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上,容易判斷錯(cuò)誤; (2)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系式容易混淆.,10.(2017課標(biāo)全國(guó)文,5,5分)若a1,則雙曲線-y2=1的離心率的取值范圍是() A.(,+)B.(,2) C.(1,)D.(1,2),答案C由題意知e2=1+,因?yàn)閍1,所以11+2,則1e,故選C.,方法總結(jié)處理離心率問(wèn)題,總離不開(kāi)a,b,c三者之間的關(guān)系,在雙曲線問(wèn)題中常利用e2= =1+求離心率.,11.(2017課標(biāo)全國(guó)文,5,5分)已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x

22、軸垂 直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則APF的面積為() A.B. C.D.,答案D本題考查雙曲線的幾何性質(zhì). 易知F(2,0),不妨取P點(diǎn)在x軸上方,如圖. PFx軸, P(2,3),|PF|=3,又A(1,3), |AP|=1,APPF, SAPF=31=.故選D.,12.(2017課標(biāo)全國(guó),9,5分)若雙曲線C:-=1(a0,b0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得 的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為() A.2B.C.D.,答案A本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系. 由題意可知圓的圓心為(2,0),半徑為2.因?yàn)殡p曲線-=1的漸近線方程為y=x,即bxay=0, 且雙曲

23、線的一條漸近線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為2,所以=,所以=.故離心率e =2.選A.,方法總結(jié)求雙曲線離心率e的常見(jiàn)方法有兩種.一是直接法:e=;二是間接法:即由 條件得到關(guān)于a、c的等式,再化成關(guān)于e的方程求解.,13.(2016課標(biāo)全國(guó),11,5分)已知F1,F2是雙曲線E:-=1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸 垂直,sinMF2F1=,則E的離心率為() A.B.C.D.2,答案A解法一:由MF1x軸,可得M,|MF1|=.由sinMF2F1=,可得cosMF2F1= =,又tanMF2F1=,=,b2=ac,c2=a2+b2b2=c2-a2,c2-a2- ac=0e2-e-1=0,e

24、=(舍負(fù)).故選A. 解法二:由MF1x軸,得M,|MF1|=,由雙曲線的定義可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又 sinMF2F1=a2=b2a=b,e=.故選A.,14.(2015課標(biāo)全國(guó),5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若 0,則y0的取值范圍是() A.B. C.D.,答案A若=0,則點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心,以半焦距c=為半徑的圓上,則 解得=.可知:0點(diǎn)M在圓x2+y2=3的內(nèi)部y0.故選A.,15.(2015課標(biāo)全國(guó),11,5分)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,ABM為等腰三角形,且頂角為120,則E的離心率

25、為() A.B.2C.D.,答案D設(shè)雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a0,b0),則A(-a,0),B(a,0),不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象 限內(nèi),則易得M(2a,a),又M點(diǎn)在雙曲線E上,于是-=1,解得b2=a2,e=.,16.(2015四川,5,5分)過(guò)雙曲線x2-=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線 于A,B兩點(diǎn),則|AB|=() A.B.2 C.6D.4,答案D雙曲線x2-=1的右焦點(diǎn)為F(2,0), 其漸近線方程為xy=0. 不妨設(shè)A(2,2),B(2,-2),所以|AB|=4,故選D.,17.(2019江蘇,7,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2-=1(b0)經(jīng)過(guò)

26、點(diǎn)(3,4),則該雙曲線 的漸近線方程是.,答案y=x,解析本題主要考查雙曲線漸近線方程,考查了運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算. 由雙曲線x2-=1(b0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),得9-=1, 解得b=,又b0,所以b=, 易知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上, 故雙曲線的漸近線方程為y=x=x.,18.(2018江蘇,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一 條漸近線的距離為c,則其離心率的值是.,答案2,解析本題考查雙曲線的性質(zhì). 雙曲線的一條漸近線方程為bx-ay=0,則F(c,0)到這條漸近線的距離為=c,b=c, b2=c2,又b2=c2-a2,

27、c2=4a2,e=2.,19.(2018北京文,12,5分)若雙曲線-=1(a0)的離心率為,則a=.,答案4,解析本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì). 由題意知c=,e=,又a0, a=4.,20.(2017課標(biāo)全國(guó),15,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半 徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若MAN=60,則C的離心率為.,答案,解析本題考查雙曲線的方程、幾何性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力. 解法一:不妨設(shè)點(diǎn)M、N在漸近線y=x上,如圖,AMN為等邊三角形,且|AM|=b, 則A點(diǎn)到漸近線

28、y=x的距離為b,又將y=x變形為一般形式為bx-ay=0,則A(a,0)到漸近線bx- ay=0的距離d=,所以=b,即=, 所以雙曲線離心率e=. 解法二:不妨設(shè)點(diǎn)M、N在漸近線y=x上,如圖,作AC垂直于MN,垂足為C,據(jù)題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),則|AC|=,在ACN中,CAN=MAN=30,|AN|= b,所以cosCAN=cos 30=,所以離心率e=.,21.(2016北京,13,5分)雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直 線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=.,答案2,解析由OA,OC所在直線為漸近線,且OAOC,

29、知兩條漸近線的夾角為90,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2-y2=a2.OB是正方形的對(duì)角線,且點(diǎn)B是雙曲線的焦點(diǎn),則c=2,根據(jù)c2=2 a2可得a=2.,評(píng)析本題考查等軸雙曲線及其性質(zhì).,22.(2016江蘇,3,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1的焦距是.,答案2,解析由-=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,所以c=,所以2c=2.,C組教師專(zhuān)用題組 考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,1.(2017課標(biāo)全國(guó),5,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢 圓+=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答

30、案B本題考查求解雙曲線的方程. 由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為-=k(k0),即-=1,雙曲線與橢圓+ =1有公共焦點(diǎn),4k+5k=12-3,解得k=1,故雙曲線C的方程為-=1.故選B.,一題多解橢圓+=1的焦點(diǎn)為(3,0),雙曲線與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),a2+b2=(3)2 =9,雙曲線的一條漸近線為y=x,=,聯(lián)立可解得a2=4,b2=5.雙曲線C的方 程為-=1.,2.(2015廣東,7,5分)已知雙曲線C:-=1的離心率e=,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方 程為() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案C由已知得解得 故b=3,從而所求的雙曲線方程為-=

31、1,故選C.,3.(2015安徽,4,5分)下列雙曲線中,焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=2x的是() A.x2-=1B.-y2=1 C.-x2=1D.y2-=1,答案C由于焦點(diǎn)在y軸上,故排除A、B.由于漸近線方程為y=2x,故排除D.故選C.,考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì) 1.(2015湖北,8,5分)將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b(ab)同時(shí)增加m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到離心率為e2的雙曲線C2,則() A.對(duì)任意的a,b,e1e2 B.當(dāng)ab時(shí),e1e2;當(dāng)ab時(shí),e1e2,答案D依題意有e1=, e2=. 而-=, a0,b0,m0,當(dāng)ab時(shí),有e1e2.故選D.,2.(

32、2015重慶,10,5分)設(shè)雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過(guò)F作AF的垂線與 雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過(guò)B,C分別作AC,AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于a+,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是() A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+) C.(-,0)(0,)D.(-,-)(,+),答案A由題知F(c,0),A(a,0),不妨令B點(diǎn)在第一象限,則B,C,kAB=, CDAB,kCD=, 直線CD的方程為y+=(x-c). 由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性,知點(diǎn)D在x軸上,得xD=+c, 點(diǎn)D到直線BC的距離為c-xD,a+=a+c,b4a2(c-a)(c

33、+a)=a2b2,b2a2,1,又 該雙曲線的漸近線的斜率為或-,雙曲線漸近線斜率的取值范圍是(-1,0)(0,1).選A.,3.(2017課標(biāo)全國(guó)文,14,5分)雙曲線-=1(a0)的一條漸近線方程為y=x,則a=.,答案5,解析由題意可得=,所以a=5.,4.(2017北京文,10,5分)若雙曲線x2-=1的離心率為,則實(shí)數(shù)m=.,答案2,解析本題考查雙曲線的性質(zhì). 由題意知,a2=1,b2=m. e=,m=2.,5.(2015北京,10,5分)已知雙曲線-y2=1(a0)的一條漸近線為x+y=0,則a=.,答案,解析由雙曲線-y2=1(a0)知其漸近線方程為y=x,又因?yàn)閍0,所以=,解

34、得a=.,6.(2015湖南,13,5分)設(shè)F是雙曲線C:-=1的一個(gè)焦點(diǎn).若C上存在點(diǎn)P,使線段PF的中點(diǎn)恰為 其虛軸的一個(gè)端點(diǎn),則C的離心率為.,答案,解析不妨設(shè)F為左焦點(diǎn)(-c,0),點(diǎn)P在第一象限,因?yàn)榫€段PF的中點(diǎn)恰為雙曲線C虛軸的一個(gè)端點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P(c,2b),又P在雙曲線C上,-=1,=5, e=.,7.(2015浙江,9,6分)雙曲線-y2=1的焦距是,漸近線方程是.,答案2;y=x,解析雙曲線-y2=1中,a=,b=1,2c=2=2.其漸近線方程為y=x,即y=x,也 就是y=x.,A組20172019年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,三年模擬,

35、1.(2019山東煙臺(tái)一模,12)已知F1、F2分別為雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn),M為雙曲線右支上 一點(diǎn)且滿(mǎn)足=0,若直線MF2與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為N,則MF1N的面積為() A.12B.12 C.24D.24,答案C設(shè)|MF1|=m,|MF2|=n, F1、F2分別為雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn), m-n=2a=4,|F1F2|=2c=2. =0,MF1MF2, m2+n2=4c2=40,(m-n)2=m2+n2-2mn, 即2mn=40-16=24,mn=12, 解得m=6,n=2, 設(shè)|NF2|=t,則|NF1|=2a+t=4+t, 在RtNMF1中,(4+t)2=(t+2)2+62, 解得

36、t=6,|MN|=6+2=8, MF1N的面積S=|MN|MF1|=86=24.故選C.,2.(2019山東德州第一次檢測(cè),6)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的焦距為10,點(diǎn)P(1,2)在C的漸 近線上,則雙曲線C的方程是() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案C雙曲線C:-=1的漸近線方程為y=x, 又雙曲線C:-=1的焦距為10,點(diǎn)P(1,2)在C的漸近線上, 2c=10,2a=b,c2=a2+b2,a2=5,b2=20, 雙曲線C的方程為-=1. 故選C.,3.(2019山東臨沂第十九中學(xué)調(diào)研,12)設(shè)F1,F2是雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),P是 雙曲線

37、C右支上一點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2=30,則雙曲線C的漸近線方程是() A.xy=0B.xy=0 C.x2y=0D.2xy=0,答案A設(shè)|PF1|PF2|,根據(jù)雙曲線的定義,得|PF1|-|PF2|=2a, 又|PF1|+|PF2|=6a,|PF1|=4a,|PF2|=2a. 在PF1F2中,由余弦定理可得(2a)2=(4a)2+(2c)2-24a2c,得3a2-2ac+c2=0, 解得c=a,又a2+b2=c2,即a2+b2=3a2,=,雙曲線C的漸近線方程是y=x,即xy=0.,考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì) 1.(2018山東泰安寧陽(yáng)一中期中,7)橢圓+=1與雙曲線-=1

38、有相同的焦點(diǎn),則k應(yīng)滿(mǎn)足的 條件是() A.k3B.2k3C.k=2D.0k2,答案C雙曲線-=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(, 0), 又橢圓+=1與雙曲線-=1有相同的焦點(diǎn), 3+k=9-k2,解得k=2或k=-3,又k0,k=2. 故選C.,2.(2019山東日照3月模擬,11)如圖,已知點(diǎn)F1,F2分別是雙曲線-=1(a0,b0)的左,右焦點(diǎn),點(diǎn) A,B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),且滿(mǎn)足AF1BF1,ABF1=,則雙曲線的離心率為() A.B.C.D.,答案A連接BF2,AF2,則四邊形AF2BF1為矩形, 所以|AF1|=|BF2|,|AB|=|F1F2|=2c,

39、 在RtABF1中,|BF1|=2ccos=c, |BF2|=2csin=c,由|BF1|-|BF2|=2a,得離心率為,故選A.,3.(2019山東濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校1月模擬,11)已知直線l過(guò)點(diǎn)A(-1,0)且與B:x2+y2-2x=0相切于點(diǎn)D,以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的雙曲線E過(guò)點(diǎn)D,一條漸近線平行于l,則E的離心率為() A.B.2C.D.,答案B易知直線l的斜率存在,故可設(shè)直線l的方程為y=k(x+1), B:x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1, 由相切可得圓心到直線的距離d=1,解得k=, 所以直線l的方程為y=(x+1), 故漸近線方程為y=x, 聯(lián)立直線與圓的方程得 解得x

40、=,y=, 即D, 易知雙曲線E的焦點(diǎn)在y軸上, 則=,所以e2=1+=4,所以e=2,故選B.,4.(2019山東泰安一輪復(fù)習(xí)檢測(cè),16)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左焦點(diǎn)為F,A,B分別是C 的左、右頂點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且PFx軸,過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E,直線BM與y軸交于點(diǎn)N,若|OE|=2|ON|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為.,答案3,解析因?yàn)镻Fx軸,所以設(shè)M(-c,t), 由題意得A(-a,0),B(a,0), 則AE的斜率k=, 則AE的方程為y=(x+a),令x=0,得y=, 即E, 由BN的斜率為-,得BN的方程為y=-(x-a), 令x=0,得y=,即N,因?yàn)閨OE|=2|ON|,所以2=, 即2(c-a)=c+a,即c=3a,則離心率e=3.,B組20172019年高考模擬專(zhuān)題綜合題組 時(shí)間:10分鐘分值:15分 選擇題(共15分),1.(2018山東德州躍華中學(xué)模擬,6)雙曲線-=1(a0,b0),M、N為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的 兩點(diǎn),P為雙曲線上的點(diǎn),且直線PM、PN斜率分別為k1、k2,若k1k2=,則雙曲線的離心率為 () A.B.2C.D.2,答案A由題意,設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),則N(-x1,-y1), kPMkP