1、2.2.2直接證明與間接證明,反證法,思考？,A、B、C三個(gè)人，A說(shuō)B撒謊，B說(shuō)C撒謊，C說(shuō)A、B都撒謊。則C必定是在撒謊，為什么？,分析:假設(shè)C沒(méi)有撒謊, 則C真. 那么A假且B假;,由A假, 知B真. 這與B假矛盾.,那么假設(shè)C沒(méi)有撒謊不成立;,則C必定是在撒謊.,反證法： 假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過(guò)正確的推理,引出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法。,反證法的思維方法： 正難則反,例1用反證法證明： 如果ab0，那么,練一練： 已知a0，證明x的方程ax=b有且只有一個(gè)根。,反思1：,用反證法證題的一般步驟是什么？,（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；即假設(shè)結(jié)

2、論的反面成立。,（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；,（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。,假設(shè)結(jié)論反面成立,正確推理導(dǎo)出矛盾,否定假設(shè)肯定結(jié)論,例2 求證： 是無(wú)理數(shù)。,假設(shè)不成立，故 是無(wú)理數(shù)。,練一練：,1、用反正法證明時(shí)，導(dǎo)出矛盾有那幾種可能？,（1）與原命題的條件矛盾；,（3）與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾；,（2）與假設(shè)矛盾。,（1）難于直接使用已知條件導(dǎo)出結(jié)論的命題； （2）唯一性命題； （3）“至多”或“至少”性命題； （4）否定性或肯定性命題。,2、你認(rèn)為反證法的使用情形有那些？,反思2：,（4）與客觀事實(shí)矛盾.,說(shuō)明：常用的正面敘述詞語(yǔ)及其否定：,不

3、等于,小于或 等于（）,大于或 等于（）,不是,不都是,至少有兩個(gè),一個(gè)也沒(méi)有,某個(gè),某些,至少有n1個(gè),某兩個(gè),思考：,小結(jié),1.反證法是一種間接證明的方法，是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，其基本思路是： 假設(shè)結(jié)論不成立構(gòu)設(shè)矛盾否定假設(shè)肯定結(jié)論.,2.反證法主要適用于以下兩種情形： （1）所證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接有條件推出結(jié)論線索不清晰； （2）從正面入手需要分成多種情形進(jìn)行討論，而從反面證明，只要研究一種或很少的幾種情形.,練習(xí)：,1、 已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足0a,b,c1，求證： (1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不可能同時(shí)大于1/4,3、已知a+b+c0，ab+ac+bc0，abc0，求證： a0，b0，c0,作業(yè),綜合法和分析法的應(yīng)用 (習(xí)題課),知識(shí)回顧,1.綜合法的基本含義和思維流程分別是什么？,含義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理、性質(zhì)、法則等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所證結(jié)論成立.,流程:,2.分析的基本含義和思維流程分別是什么？,含義:從所證結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到歸結(jié)為判定一個(gè)顯然成立的條件（已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)、法則等）為止.,流程:,應(yīng)用舉例,例1 已知a，b，c0，求證： a3b3c33abc.,例2 已知數(shù)列an滿足 , ,求證：,例3 已知a3，求證：,例4 在ABC中，三個(gè)