1、,二進(jìn)制表示與運算,二進(jìn)制表示與運算,二進(jìn)制與十進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換,數(shù)的表示（定點小數(shù)、定點整數(shù)、浮點數(shù)）,機器碼（原碼、反碼、補碼）,定點數(shù)的運算,十進(jìn)制,由0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9等十個不同的符號來表示數(shù)值的一種表示方法，采用逢10進(jìn)1的計算方式。例如 253.48=2*102+5*101+3*100+4*10-1+8*10-2 顯然，任一數(shù)字的位置是由10的次冪而決定的，這個10就是十進(jìn)制的基數(shù)。十進(jìn)制的特征： 數(shù)字的個數(shù)等于基數(shù) 最大的數(shù)字比基數(shù)小1 每個數(shù)字都要乘以基數(shù)的冪次，而該冪次是由每個數(shù)所在的位置決定的,為什么數(shù)字計算機上要采用二進(jìn)制

2、,計算機是電子設(shè)備，它容易實現(xiàn)的穩(wěn)定狀態(tài)有兩種，如電路的通或斷、電位的高或低。兩種穩(wěn)定狀態(tài)工作可靠，抗干擾能力強，分別對應(yīng)著數(shù)值和，這就是計算機中使用二進(jìn)制數(shù)的理由。 和的不同編碼組合可以表示一個數(shù)、一個字符或一條操作指令。,二進(jìn)制,二進(jìn)制數(shù) ）用和兩個數(shù)符表示兩個不同的數(shù)。 ）逢二進(jìn)一，即高一位數(shù)是低一位數(shù)的倍 因此，二進(jìn)制數(shù)10101.101的十進(jìn)制值可用以下方法求出： (10101.101)2 124+023+122+021+120+12-1+02-2+12-3 16+0+4+0+1+0.5+0+0.125 (21.625)10,二進(jìn)制,二進(jìn)制：逢二進(jìn)位的數(shù)制系統(tǒng),基數(shù)：0 1,例：(

3、110)2,122121020(6)10,奇偶數(shù)的判斷以尾數(shù)為準(zhǔn),易于運算,用于表達(dá)二進(jìn)制數(shù)所需的物理狀態(tài)最少,例：0999范圍內(nèi)的數(shù)，十進(jìn)制表示需31030個穩(wěn)定狀態(tài)； 二進(jìn)制表示需10220個穩(wěn)定狀態(tài)（2101024）,二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù),整數(shù)部分： (knkn-1k2k1)2=(kn2n-1+kn-12n-2+k221+k1)10,小數(shù)部分： (. k1 k2 kn-1kn)2=(k12-1+k22-2+kn-12-(n-1)+kn 2-n)10,例： (11001)2,24+23+1=(25)10,(0.101)2,2-1+2-3=(0.625)10,(101.11)2,22+1+

4、2-1+2-2=(5.75)10,十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù),轉(zhuǎn)換規(guī)則：除2取余,(x)10 =(knkn-1k2k1)2=(kn2n-1+kn-12n-2+k221+k1)10,k1=x除2取余數(shù)，k2=(x-k1)/2除2取余，直至商數(shù)小于2,(27)10=(11011)2,例： （20）10 （67）10 （128）10,（10100）2,（1000011）2,（10000000）2,十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù),轉(zhuǎn)換規(guī)則：乘2取進(jìn)位,(x)10 =(. k1 k2 kn-1kn)2=(k12-1+k22-2+kn-12n-1+kn 2-n)10,k1=x乘2取進(jìn)位，k2=(2x-k1)乘2取

5、進(jìn)位，直至余數(shù)為0,例： (0.125)10=(0.001)2,0.12520.25 進(jìn)位為0 0.2520.5 進(jìn)位為0 0.521 進(jìn)位為1，余數(shù)為0，計算結(jié)束,練習(xí)： (0.625)10=,(0.101)2,(23.25)10=,(10111.01)2,八進(jìn)制與十六進(jìn)制,在計算機中應(yīng)用二進(jìn)制有一系列的優(yōu)點，但寫起來位數(shù)太多，讀起來也比較麻煩，為了讀寫方便，往往采用八進(jìn)制和十六進(jìn)制作為二進(jìn)制的過渡方式。 八進(jìn)制：用0，1，2，3，4，5，6，7 八個數(shù)符。采用“逢八進(jìn)一”的計數(shù)方法。 十六進(jìn)制：用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F(xiàn)十六個數(shù)符。采用“逢十六進(jìn)一”的

6、計數(shù)方法。,二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制的轉(zhuǎn)換,一位八進(jìn)制數(shù)相當(dāng)于三位二進(jìn)制數(shù)，即有如下的對應(yīng)關(guān)系： 轉(zhuǎn)換的方法是：由小數(shù)點開始向左把二進(jìn)制整數(shù)按每三位一劃分，同理，由小數(shù)點開始向右把二進(jìn)制小數(shù)按每三位一劃分，不足三位的用0補齊，然后寫出其相應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)。,二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制的轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換的方法是：由小數(shù)點開始向左把二進(jìn)制整數(shù)按每三位一劃分，同理，由小數(shù)點開始向右把二進(jìn)制小數(shù)按每三位一劃分，不足三位的用0補齊，然后寫出其相應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)。 【例】 (10001101.1101)2( )8,八進(jìn)制與二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換的方法是：這是上述轉(zhuǎn)換的逆過程。將八進(jìn)制數(shù)的每一位用相應(yīng)的三位二進(jìn)制數(shù)寫出即可。 【例】 (32

7、5.46)8( )2 解 3 2 5 . 4 6 011 010 101 . 100 110,二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換,一位十六進(jìn)制數(shù)相當(dāng)于四位二進(jìn)制數(shù)，即有如下對應(yīng)關(guān)系：,二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換的方法是：由小數(shù)點開始向左把二進(jìn)制整數(shù)按每四位一劃分，同理，由小數(shù)點開始向右把二進(jìn)制小數(shù)按每四位一劃分，不足四位用0補齊，然后寫出其相應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)。 【例】 (11110111101.01)2( )16 解 0111 1011 1101 . 0100 7 D . 4 所以 (11110111101.01)2(7BD.4)16,二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換,將十六進(jìn)制數(shù)的每一位用相應(yīng)的四位二

8、進(jìn)制數(shù)寫出。 【例】 (23.F)16( )2 解 2 3 . F 0010 0011 . 1111 所以 (23.F)16(100011.1111)2,非十進(jìn)制到十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換,非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù) 其方法以上已經(jīng)介紹過了，即把非十進(jìn)數(shù)按位權(quán)展開并求和。 例如： (32CF.4B)16 ( )10 (32CF.4B)16 316321621216115160416-11116-2 12288512192150.250.04296875 (13007.29296875)10,二、八、十六進(jìn)制對照表,表1.1 二、八進(jìn)制數(shù)字對照表,表1.2 二、十六進(jìn)制數(shù)字對照表,數(shù)制轉(zhuǎn)換小結(jié) 1.非十進(jìn)制

9、數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù) 方法：把非十進(jìn)數(shù)按位權(quán)展開并求和。 2.十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為非十進(jìn)制數(shù) （1）十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為非十進(jìn)制整數(shù),方法：除以基數(shù)，直至商為，取其余數(shù)，倒排。,（2）十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為非十進(jìn)制小數(shù) 8 4 2 1 23 22 21 20,方法：乘以基數(shù)，直至小數(shù)部分為0，取其整數(shù)，順排。 3.非十進(jìn)制之間互相轉(zhuǎn)換,（1）二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)間互換 一位八進(jìn)制數(shù)相當(dāng)于三位二進(jìn)制數(shù) （2）二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)間互換 一位十六進(jìn)制數(shù)相當(dāng)于四位二進(jìn)制數(shù),練習(xí),十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制：83.25，56.38 二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制：11010011.001011 八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制：265.73 二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八

10、進(jìn)制：11010011.1101 十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制：3FD.6C 二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制：11011110.11 十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制：593.92 八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制：67.76,練習(xí),十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制：85.58 十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制：7C.C7 八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制：56.65 十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制：5B.B5,數(shù)的定點與浮點表示,一個十進(jìn)制數(shù)123.456可以表示為 123.456 = 0.123456 * 103 數(shù)0.000456可以表示為： 0.000456 = 0.456 * 10-3 類似地，對于二進(jìn)制數(shù)10011.101也可以這樣表示為： 10011.101 = 210

11、1 * 0.10011101,數(shù)的定點與浮點表示,一般地，任意一個二進(jìn)制數(shù)N可表示為： N=2j * S 其中j是二進(jìn)制整數(shù)位數(shù)；S是二進(jìn)制小數(shù)，j稱為數(shù)N的階碼，S為數(shù)N的尾數(shù)。尾數(shù)S表示數(shù)N的全部有效數(shù)字，階碼j指明了小數(shù)點的位置。,數(shù)的定點與浮點表示,一般地，任意一個二進(jìn)制數(shù)N可表示為： N=2j * S 對任何一個數(shù)，若階碼j是固定不變的，則把這種表示法稱為定點表示，這樣的數(shù)稱為定點數(shù)。反之，如果j可以取不同值，則把這種表示稱為數(shù)的浮點表示，這樣的數(shù)稱為浮點數(shù)。,數(shù)的定點與浮點表示,一般地，任意一個二進(jìn)制數(shù)N可表示為： N=2j * S 如果對任何數(shù)j=0，則該定點數(shù)只能表示小數(shù)。這種

12、表示法是一種常用的方法，以后我們討論問題時，除非特別說明，否則都采用這種表示方法。,數(shù)的定點與浮點表示,如果計算機中的數(shù)采用定點表示，則計算機中數(shù)的小數(shù)點是固定的，這種計算機叫定點計算機；如果計算機中的數(shù)采用浮點表示，這時機器中數(shù)的小數(shù)是可以變化的，這種計算機叫浮點計算機。,數(shù)的機內(nèi)表示 定點小數(shù),定點小數(shù)：,數(shù)符：0正， 1負(fù),例：+0.001101,-0.1010,若機器字長為n，則定點小數(shù)的數(shù)值表示范圍為： 2-(n-1)=|x|=1-2-(n-1),小數(shù)點,有關(guān)機器碼及其運算的介紹均以定點小數(shù)為例,數(shù)的機內(nèi)表示 定點整數(shù),無符號整數(shù)：,字長為n時，無符號整數(shù)的表達(dá)范圍為 02n-1,有

13、符號整數(shù)：,字長為n時，有符號整數(shù)的表達(dá)范圍為 |x|=2n1-1,數(shù)的機內(nèi)表示 浮點數(shù),浮點數(shù)：,將數(shù)x表示為 s2j的形式，其中s為x的小數(shù)形式（尾數(shù)）,-110.11= -0.11011211,設(shè)階碼共m位，尾數(shù)共n-1位，則浮點數(shù)的表示范圍為： 2-(2m-1)2-1=|x|=2(2m-1)1-2-(n-1),符號的表示方法,在計算機中，二進(jìn)制數(shù)碼1和0是用電子元件的兩種不同狀態(tài)來表示的，對于一個數(shù)的符號，也用電子元件的兩種不同狀態(tài)來表示。一般約定正數(shù)的符號用0表示，負(fù)數(shù)和符號用1表示。 在作乘法或除法時，把數(shù)的符號位按位相加后就得到結(jié)果的符號位，其規(guī)則為： 正數(shù)乘正數(shù)，符號按位相加得

14、：0+0=0 正數(shù)乘負(fù)數(shù)，符號按位相加得：0+1=1 負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)，符號按位相加得：1+1=0,邏輯代數(shù),在數(shù)字電路中，我們要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。,在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義，這里的0和1只表示兩個對立的邏輯狀態(tài)，如電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開關(guān)的開合等。,1 “與”邏輯,A、B條件都具備時，事件Y才發(fā)生。,三種基本運算,-與、或、非,滅,滅,滅,亮,邏輯代數(shù)的基本運算,邏輯代數(shù)的描述方法,真值表,用0表示開關(guān)斷開、1表示開關(guān)閉合 用0表示燈滅、1

15、表示燈亮,邏輯代數(shù)的描述方法,邏輯式,真值表,Y=AB或AB,0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1,有0出0，全1出1。,“或”邏輯,A、B只有一個條件具備時，事件Y才發(fā)生。,滅,亮,亮,亮,邏輯代數(shù)的描述方法,邏輯式,真值表,Y=A + B,0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1,有1出1，全0出0。,“非”邏輯,邏輯式,真值表,有1出0，全0出1。,A條件具備時 ，事件 Y不發(fā)生；A不具備時，事件Y才發(fā)生。,機器碼原碼,數(shù)學(xué)定義： x原=,x 1x=0,1-x 或 1+|x| 0 x-1,物理意義：將x表示為定點小數(shù),例：x

16、=+0011011 x原00011011 x= -1000110 x原11000110,機器碼原碼,原碼表示法簡單易懂，與真值的轉(zhuǎn)換方便。 運算：當(dāng)兩個數(shù)作加法運算時，如果兩數(shù)碼符號相同，則數(shù)值相加，符號不變；如果兩數(shù)符號不同，數(shù)值部分實際上是進(jìn)行相減。這時，必須比較兩個數(shù)哪個絕對值大，才能決定誰減誰。這件事在手算時容易解決，但計算機中執(zhí)行卻比較麻煩，增加了計算復(fù)雜性，效率會降低。,機器碼反碼,所謂反碼，就是把二進(jìn)制數(shù)的各位數(shù)碼，0變?yōu)?，1變?yōu)?。,數(shù)學(xué)定義： x反=,x 1x=0,2-2-n+x 0=x-1,物理意義：正數(shù)反碼等于原碼，負(fù)數(shù)反碼等于原碼各數(shù)碼位取反,例：x=+0011011

17、 x原00011011 x反00011011 x= -1000110 x原11000110 x反10111001,機器碼補碼,3,9,取模運算：整除模數(shù)后取余數(shù),例：45 mod 12 =9 3 mod 12=3 5 mod 3=2,模：一個計算系統(tǒng)的最大容量,定點小數(shù)機器碼以2為模,-3 9 (mod 12),機器碼補碼,數(shù)學(xué)定義： x補=,x 1x=0,2+x 或 2-|x| 或 x反+2-n 0 x-1,物理意義：正數(shù)補碼等于原碼，負(fù)數(shù)補碼等于反碼最低位加1,例：x=+0011011 x原00011011 x反00011011 x補00011011 x= -1000110 x原11000

18、110 x反10111001 x補10111010,示例,已知X=0.125，求它的原碼、反碼和補碼 X原 = 0.001X反 = 0.001X補 = 0.001 已知X=-0.25，求它的原碼、反碼和補碼 X原 = 1.010X反 =2-2-n+X=1.101 X補 = 2-|X| =1.110X補 = X反+2-n,示例,已知X補 = 1.1011，求它的反碼和原碼 解：因為X補 = X反 + 2-n 所以X反 = X補 2-n = 1.1011 2-n = 1.1010 故X原 = 1.0101,定點數(shù)加（減）法,當(dāng)數(shù)值用補碼形式表示時，可用加法完成減法運算。這樣，在計算機的計算器中只要有一個加法器，而不必為了實現(xiàn)減法或負(fù)數(shù)而再配一個減法器。 補碼加法公式為： X補+ Y補= X + Y補(mod 2) 以上形式的正確性可以得到證明，其條件為|X|1, |Y|1, |X+Y|