1、,第四節(jié),一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),三、相關(guān)變化率,隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo),相關(guān)變化率,第二章,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若由方程,可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由,表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .,例如,可確定顯函數(shù),可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .,函數(shù)為隱函數(shù) .,則稱此,隱函數(shù)求導(dǎo)方法:,兩邊對 x 求導(dǎo)( 注意 y = y(x) ),(含導(dǎo)數(shù) 的方程),例1. 求由方程,在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù),解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo),得,因 x = 0 時 y = 0 , 故,確定的隱函數(shù),例2. 求橢圓,在點(diǎn),處的切線方程.,解: 橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo),故

2、切線方程為,即,例3. 求,的導(dǎo)數(shù) .,解: 兩邊取對數(shù) , 化為隱式,兩邊對 x 求導(dǎo),1) 對冪指函數(shù),可用對數(shù),說明:,注意:,求導(dǎo)法求導(dǎo) :,2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .,例如,兩邊取對數(shù),兩邊對 x 求導(dǎo),又如,對 x 求導(dǎo),兩邊取對數(shù),二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若參數(shù)方程,可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù),可導(dǎo), 且,則,時, 有,時, 有,(此時看成 x 是 y 的函數(shù) ),關(guān)系,若上述參數(shù)方程中,二階可導(dǎo),且,則由它確定的函數(shù),可求二階導(dǎo)數(shù) .,利用新的參數(shù)方程,可得,記,?,例4. 設(shè), 且,求,已知,解:,練習(xí): 書P112 題8(1),解:,注意 :

3、,例5. 拋射體運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為,求拋射體在時刻 t 的運(yùn)動速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量為,垂直分量為,故拋射體速度大小,再求速度方向,(即軌跡的切線方向):,設(shè) 為切線傾角,則,拋射體軌跡的參數(shù)方程,速度的水平分量,垂直分量,在剛射出 (即 t = 0 )時, 傾角為,達(dá)到最高點(diǎn)的時刻,高度,落地時刻,拋射最遠(yuǎn)距離,速度的方向,例6. 設(shè)由方程,確定函數(shù),求,解: 方程組兩邊對 t 求導(dǎo) , 得,故,三、相關(guān)變化率,為兩可導(dǎo)函數(shù),之間有聯(lián)系,之間也有聯(lián)系,稱為相關(guān)變化率,相關(guān)變化率問題解法:,找出相關(guān)變量的關(guān)系式,對 t 求導(dǎo),得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式,求出未

4、知的相關(guān)變化率,例7. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為,當(dāng)氣球高度為 500 m 時, 觀察員,視線的仰角增加率是多少?,解: 設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則,兩邊對 t 求導(dǎo),已知,h = 500m 時,思考題: 當(dāng)氣球升至500 m 時停住 , 有一觀測者以,100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來,當(dāng)距離為500 m,時, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,對 t 求導(dǎo),已知,求,試求當(dāng)容器內(nèi)水,例8. 有一底半徑為 R cm , 高為 h cm 的圓錐容器 ,今以 自頂部向容器內(nèi)注水 ,位等于錐高的一半時水面上升的速度.,解: 設(shè)時刻 t 容器

5、內(nèi)水面高度為 x ,水的,兩邊對 t 求導(dǎo),而,故,體積為 V , 則,內(nèi)容小結(jié),1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則,直接對方程兩邊求導(dǎo),2. 對數(shù)求導(dǎo)法 :,適用于冪指函數(shù)及某些用連乘, 連除表示的函數(shù),3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法,極坐標(biāo)方程求導(dǎo),4. 相關(guān)變化率問題,列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式,對 t 求導(dǎo),相關(guān)變化率之間的關(guān)系式,轉(zhuǎn)化,求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式,思考與練習(xí),1. 求螺線,在對應(yīng)于,的點(diǎn)處的切線方程.,解: 化為參數(shù)方程,當(dāng),時對應(yīng)點(diǎn),斜率, 切線方程為,點(diǎn)擊圖中任意處 動畫播放暫停,2. 設(shè),求,提示: 分別用對數(shù)微分法求,答案:,3. 設(shè),由方程,確定 ,解:,方程兩邊對 x 求導(dǎo),得,再求導(dǎo), 得,當(dāng),時,故由 得,再代入 得,求,作業(yè),P111 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2