1、第五章實(shí)際流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ),王浩 1251934,5.1實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程納維-斯托克斯方程 5.2實(shí)際流體元流的伯努利方程 5.3 實(shí)際流體總流的伯努利方程 5.4不可壓縮氣體的伯努利方程 5.5總流的動(dòng)量方程,本章概論,實(shí)際流體動(dòng)力學(xué),1、實(shí)際流體動(dòng)力學(xué)（fluid dynamics）的力學(xué)性質(zhì)： 實(shí)際流體具有粘性。在作用面上的表面力不僅有壓應(yīng)力即動(dòng)壓強(qiáng)，還有切應(yīng)力。 2、作用在一平面上M點(diǎn)的表面應(yīng)力 表面應(yīng)力 pn 在x、y、z三個(gè)軸向都有三個(gè)分量： 與平面成法向的壓應(yīng)力pzz，即動(dòng)壓強(qiáng)； 與平面成切向的切應(yīng)力zx，和zy。 3、通過(guò)任一點(diǎn)在三個(gè)互相垂直的作用面上的表面應(yīng)力。共有九個(gè)分

2、量 三個(gè)是壓應(yīng)力px、py、pz 六個(gè)是切應(yīng)力xy、xz、yx、yz、zx、zy,壓應(yīng)力和切應(yīng)力的第一個(gè)下標(biāo)，表示作用面的法線方向，即表示應(yīng)力的作用面與那一個(gè)軸相垂直； 另兩個(gè)下標(biāo)，表示應(yīng)力的作用方向，即表示應(yīng)力作用方向與那一個(gè)軸相平行,5.1.1以應(yīng)力表示的實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程,5.1 實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程納維-斯托克斯方程,設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z)，速度、壓應(yīng)力、切應(yīng)力、單位質(zhì)量力分別為 ux , uy , uz ,px ,py ,pz ,xy ,xz ,yz ,zx ,zy ,zx , fx , fy , fz 。 x 軸方向受力分析： 壓力為： 左右面、上下面的切力為： 質(zhì)量力

3、為： 慣性力為：,根據(jù)牛頓第二定律 上式即為以應(yīng)力形式表示的實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程。 對(duì)于不可壓縮均質(zhì)流體來(lái)講，密度為常數(shù)，單位質(zhì)量力的分量fx、fy、fz通常是已知的，所以上式中有表面應(yīng)力的九個(gè)分量和速度的三個(gè)分量，共十二個(gè)未知量。,5.1.2流體質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),5.1 實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程納維-斯托克斯方程,1、切應(yīng)力的特性和大小 （1）切應(yīng)力的互等定律 （2）切應(yīng)力和它的應(yīng)變(變形)之間的關(guān)系廣義牛頓內(nèi)摩擦定律 2、壓應(yīng)力的特性和大小 1）同一點(diǎn)上三個(gè)正交方向的壓應(yīng)力的平均值 p 是單值，它與方位無(wú)關(guān)。,2）各個(gè)方向的壓應(yīng)力可認(rèn)為等于這個(gè)平均值加上一個(gè)附加壓應(yīng)力 3、實(shí)際流體中任一點(diǎn)的

4、應(yīng)力狀態(tài)討論 1）理想流體，=0, px=py=pz=p 2）實(shí)際流體的均勻直線流中ux=a(不為零的常數(shù))，uy=O，uz=0和固體邊壁處ux = uy = uz= 0。 px=py=pz=p 3）在實(shí)際流體中任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)就可由一個(gè)壓應(yīng)力(即動(dòng)壓強(qiáng)) p 和三個(gè)切應(yīng)力xy,yz,zx 來(lái)表示。,5.1.3實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程納維-斯托克斯方程,5.1 實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程納維-斯托克斯方程,1、納維-斯托克斯方程 考慮：不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程，切應(yīng)力與主應(yīng)力的關(guān)系表達(dá)式，得 拉普拉斯算符： 上式即為不可壓縮均質(zhì)實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，稱(chēng)納維-斯托克斯方程，簡(jiǎn)稱(chēng)N-S方程。N-S

5、方程是不可壓縮均質(zhì)流體的普遍方程。 N-S方程中有四個(gè)未知數(shù)，實(shí)際上由于數(shù)學(xué)上的困難，N-S方程尚不能求出普遍解。,2、在柱坐標(biāo)系中，N-S方程 3、納維-斯托克斯方程求解條件 初始條件：在起始時(shí)刻t=0時(shí)，各處的流速、壓力值；對(duì)于恒定流，則不存在條件。 邊界條件：一般包括固體邊界和自由表面等處的運(yùn)動(dòng)要素情況。,5.1.4實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程的積分,5.1 實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程納維-斯托克斯方程,滿(mǎn)足條件 1）流體是不可壓縮均質(zhì)的理想流體，密度為常數(shù)； 2）質(zhì)量力是有勢(shì)的； 3）恒定流； 4）沿流線運(yùn)動(dòng)積分； 運(yùn)動(dòng)微分方程簡(jiǎn)化為： 第二項(xiàng)表示單位質(zhì)量流體沿流線作微小 位移時(shí)應(yīng)力(主要是切應(yīng)

6、力)所作的微功。 流體在作這些功的所消耗的機(jī)械能，就 是流體的能量損失。 5）作用于流體上的質(zhì)量力只有重力； 運(yùn)動(dòng)微分方程簡(jiǎn)化為：,第二項(xiàng)表示對(duì)單位重量而言的應(yīng)力所作的微功。以 表示 。 對(duì)上式沿流線由點(diǎn)1到點(diǎn)2積分，得 式中 上式為不可壓縮均質(zhì)實(shí)際流體恒定流的伯努利方程式，又稱(chēng)伯努利方程。 限于同一條流線上各點(diǎn)的總機(jī)械能保持不變；這和理想流體伯努利方程在有勢(shì)流的應(yīng)用條件不同。,5.2.1實(shí)際流體元流的伯努利方程,5.2 實(shí)際流體的伯努利方程,用元流分析法推導(dǎo)出不可壓縮均質(zhì)實(shí)際 流體恒定元流的伯努利方程： 元流段的動(dòng)能增量: 重力所作的功為： 壓力所作的功為： 阻力所作的功為：,根據(jù)動(dòng)能定理

7、得,5.2.2實(shí)際流體元流伯努利方程的物理意義,5.2 實(shí)際流體的伯努利方程,1.實(shí)際流體元流伯努利方程的物理意義 z 是元流過(guò)流斷面上單位重量流體從某一基準(zhǔn)面算起所具有的位能稱(chēng)單位位能。 p/g 是元流過(guò)流斷面上單位重量流體從某一基準(zhǔn)面算起所具有的位能壓能，稱(chēng)單位壓能。 z+p/g 是元流過(guò)流斷面上單位重量流體從某一基準(zhǔn)面算起所具有勢(shì)能，稱(chēng)單位勢(shì)能。 u 2/ 2g 是元流過(guò)流斷面上單位重量流體 所具有的動(dòng)能，稱(chēng)單位動(dòng)能。 hw是單位重量流體由過(guò)流斷面1-1移動(dòng) 到過(guò)流斷面2-2時(shí)的能量損失。,是單位重量流體總機(jī)械能。 物理意義：元流各過(guò)流斷面上單位重量流體所具有的總機(jī)械能沿流程減小，部分機(jī)

8、械能轉(zhuǎn)化為熱能或聲2. 流體元流伯努利方程的幾何意義 z 是位置水頭 p/g是壓強(qiáng)水頭 z+p/g是測(cè)壓管水頭u 2/ 2g 是速度水頭 hw 是是能量損失，稱(chēng)水頭損失或損失水頭。是總水頭 幾何意義：對(duì)于液體來(lái)說(shuō)，元流各過(guò)流斷面上總水頭H沿流程保持減??； 同時(shí)，亦表示了元流在不同過(guò)流斷面上各水頭水頭之間可以相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。,5.2.2實(shí)際流體元流伯努利方程的物理意義,5.2 實(shí)際流體的伯努利方程,水頭線和水力坡度 水頭線：沿程水頭（如總水頭或測(cè)壓管 水頭）的變化曲線。 單位長(zhǎng)度上的水頭損失稱(chēng)能線坡度或水 力坡度。 將順流程向下的 J 視為正。 J總是正值 。 單位長(zhǎng)度上測(cè)壓管水頭的降低或升高，

9、 稱(chēng)水頭線坡度 Jp Jp可正、可負(fù)或?yàn)榱恪?若是均勻流，則總水頭線平行于測(cè)壓管 水頭線，即J=JP。,不同固體邊界下的水頭線 注：出口為自由出流時(shí)，P-P線末端應(yīng)落在出口斷面的管軸線上。,5.3.1實(shí)際流體總流的伯努利方程,5.3 實(shí)際流體總流的伯努利方程,總流是由無(wú)數(shù)微小流束組成的。 1）測(cè)壓管水頭積分： 2）速度水頭積分： 動(dòng)能修正系數(shù)，是同一過(guò)流斷面上 各點(diǎn)速度不等時(shí)的實(shí)際動(dòng)能與假設(shè)該過(guò) 流斷面上各點(diǎn)速度均為斷面平均速度時(shí) 的動(dòng)能比值。 3）水頭損失積分,整理得 上式即為實(shí)際流體總流的伯努利方程(能量方程)。 物理意義:總流各過(guò)流斷面上單位重量流體所具有的勢(shì)能平均值與動(dòng)能平均值之和，亦

10、即總機(jī)械能的平均值沿流程減小，部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能等而損失；同時(shí)，亦表示了各項(xiàng)能量之間可以相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。 幾何意義:對(duì)于液體來(lái)講，總流各過(guò)流斷面上平均總水頭沿流程減小，所減小的高度即為兩過(guò)流斷面間的平均水頭損失；同時(shí)，亦表示了各項(xiàng)水頭之間可以相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。,5.3.1實(shí)際流體總流的伯努利方程,5.3 實(shí)際流體總流的伯努利方程,動(dòng)能及動(dòng)能修正系數(shù)討論 單位重量流體的平均動(dòng)能。 動(dòng)能修正系數(shù)（層流=2.0，紊流=1.051.1），是實(shí)際動(dòng)能與按斷面平均流速計(jì)算的動(dòng)能的比值，即 動(dòng)能修正系數(shù)是一無(wú)量綱數(shù)，取決于總流過(guò)水?dāng)嗝娴牧魉俜植迹植荚骄鶆颍?值越小，越接近于1.0。,層流流速分布 紊流流速

11、分布,5.3.2總流伯努利方程的應(yīng)用條件和應(yīng)用方法,5.3 實(shí)際流體總流的伯努利方程,1、應(yīng)用總流伯努利方程滿(mǎn)足下列條件 1)流體運(yùn)動(dòng)是恒定流； 2)流體運(yùn)動(dòng)符合連續(xù)原理； 3)作用于流體上的質(zhì)量力只有重力； 4)所取過(guò)流斷面在漸變流或均勻流區(qū)域，但兩斷面間不必是漸變流或均勻流； 5)所取兩過(guò)流斷面間沒(méi)有流量匯入或流量分出，亦沒(méi)有能量輸人或輸出。否則，總流能量方程采用有分流和沒(méi)有能量輸人或輸出形式仍適用。 2、應(yīng)用總流伯努利方程的步驟、方法 1) 分析流動(dòng)現(xiàn)象。 2)選取好過(guò)流斷面,3)選擇好計(jì)算點(diǎn)和基準(zhǔn)面 4)壓強(qiáng)的表示方法，一般是以相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)，亦可用絕對(duì)壓強(qiáng)計(jì)，但在同一方程中必須一致；所取

12、單位要一致。 5)全面分析和考慮所取兩過(guò)流斷面間的能量損失。 3、流動(dòng)阻力和能量損失 一般將流動(dòng)阻力和由于克服阻力而消耗的能量損失，按決定其分布性質(zhì)的邊界幾何條件而分為兩類(lèi)。,5.3.2總流伯努利方程的應(yīng)用條件和應(yīng)用方法,5.3 實(shí)際流體總流的伯努利方程,1）沿程阻力、沿程損失 均勻分布在某一流段全部流阻的流動(dòng)阻力稱(chēng)沿程阻力；克服沿程阻力而消耗的能量損失稱(chēng)沿程損失。 單位重量流體沿程損失的平均值以 表示。 式中f稱(chēng)沿程損失系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測(cè)定 2）局部阻力、局部損失 幾何條件的急劇改變而引起對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的阻力稱(chēng)局部阻力；克服局部阻力而消耗的能量損失稱(chēng)局部損失。單位重量流體局部阻力損失的平均值以 表示

13、,式中:f稱(chēng)局部損失系數(shù)，一般由理論推導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)測(cè)定。 能量損失的疊加原理： 4、繪制水頭線 1）先繪總水頭線 后繪測(cè)壓管水頭線 2）已知的過(guò)流斷面上的總水頭端點(diǎn)和測(cè)壓管水頭端點(diǎn)可作為水頭線的控制點(diǎn)(始點(diǎn)和終點(diǎn)) 3）沿程損失則認(rèn)為是均勻分布的，常畫(huà)在兩邊界突變斷面間。 4）局部損失實(shí)際上是在一定長(zhǎng)度內(nèi)發(fā)生的，但常集中地畫(huà)在突變斷面上。,5.3.3文丘里管,5.3 實(shí)際流體總流的伯努利方程,測(cè)量恒定有壓管流的文丘里管，它由漸縮段、喉道和漸擴(kuò)段三部分所組成。 任選O-O為基準(zhǔn)面，列1、2兩斷面能量方程，則得 忽略水頭損失，令動(dòng)能修正系數(shù)1.0，得 因?yàn)?整理得：,通過(guò)文德里流量計(jì)中的流量為 K稱(chēng)為

14、文丘里流量計(jì)常數(shù) 當(dāng)計(jì)入損失后，流量將減少，因而須對(duì)式乘以修正系數(shù)加以修正 如遇較大壓強(qiáng)差，可在文丘里流量 計(jì)上安裝水銀比壓計(jì) 式中 : m-水銀容重，-水容重。 于是得, 1 + 1 + 1 1 2 2 = 2 + 2 + 2 2 2 2,= ,5.3.4匯流或分流、有能量輸入或輸出的伯努利方程,5.3 實(shí)際流體總流的伯努利方程,1、匯流或分流的伯努利方程 對(duì)匯流，每支總流建立伯努利方程為 對(duì)分流，每支總流建立伯努利方程為 2、有能量輸入或輸出的伯努利方程 有能量輸入：Hm為單位重量的水流通過(guò)水泵后增加的能量，稱(chēng)管路所需的水泵揚(yáng)程；Hw 為全部管路中的水頭損失，不包括泵內(nèi)的損失。,有能量輸出

15、：Hm為單位重量的水流給予水輪機(jī)的能量，稱(chēng)水輪機(jī)的作用水頭；Hw 為全部管路中的水頭損失，不包括水輪機(jī)內(nèi)的損失。 因?yàn)?pl=p2=pa ；v1 ,v2 相對(duì)于管內(nèi)流速來(lái)講均較小 ，簡(jiǎn)化方程 式中：z為上、下游水面高差，也稱(chēng)提水高度或揚(yáng)水高度。 2、有能量輸入或輸出的伯努利方程 單位時(shí)間內(nèi)原動(dòng)機(jī)給予水泵的功稱(chēng)水泵的軸功率P。單位時(shí)間內(nèi)水流從泵中實(shí)際獲得的總能量為QHM，稱(chēng)水泵的有效功率P。 有效功率與軸功率的比值稱(chēng)水泵效率,以%計(jì)：,5.4 不可壓縮氣體的伯努利方程,對(duì)于單位體積氣體而言的伯努利方程為 1 + 1 + 1 2 2 = 2 + 2 + 2 2 2 + 12 式中： 1 、 2 為

16、通過(guò)流斷面上的絕對(duì)壓強(qiáng)； 12 = 12 = 2 2 2 = 2 2 ,為兩過(guò)流斷面間的壓強(qiáng)損失。上式即用絕對(duì)壓強(qiáng)表示的不可壓縮氣體的伯努利方程。 1 + 1 2 2 + 2 1 = 2 + 2 2 2 + 12 上式即用相對(duì)壓強(qiáng)表示的不可壓縮氣體的伯努利方程。簡(jiǎn)化為 1 + 1 2 2 = 2 + 2 2 2 + 12,5.5.1總流的動(dòng)量方程,5.5 總流的動(dòng)量方程,1、用有限體分析法推導(dǎo)出不可壓縮均質(zhì)實(shí)際流體恒定元流的動(dòng)量方程 元流段的動(dòng)量增量即為1-1段和2-2段流體動(dòng)量之差: 根據(jù)動(dòng)量(沖量(impulse)定律，物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，等于作用在物體上各外力的合力矢量

17、，即： 得 ： Fe作用于運(yùn)動(dòng)液體上的外力的合力。 dp在dt內(nèi)的動(dòng)量變化量。,2、總流可以看成是由流動(dòng)邊界內(nèi)無(wú)數(shù)元流所組成，對(duì)總流過(guò)流斷面面積積分，得總流的動(dòng)量關(guān)系總流的動(dòng)量方程。 對(duì)動(dòng)量項(xiàng)積分 ： 積分項(xiàng)： 其中： 式中： 稱(chēng)動(dòng)量修正系數(shù)，它可理解為是同一過(guò)流斷面上各點(diǎn)速度不等時(shí)的實(shí)際動(dòng)量與假設(shè)該過(guò)流斷面上各點(diǎn)速度均為斷面平均速度時(shí)的動(dòng)量的比值。,5.5.1總流的動(dòng)量方程,5.5 總流的動(dòng)量方程,對(duì)作用力項(xiàng)積分 ： 式中F外力的合力。作用于控制體內(nèi)流體的所有外力矢量和。 該外力包括作用在該控制體內(nèi)所有流體質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量力、作用在該控制體面上的所有表面力、以及四周邊界對(duì)水流的總作用力的合力之矢量

18、和。 導(dǎo)出總流的動(dòng)量關(guān)系: 上式即為不可壓縮均質(zhì)實(shí)際流體恒定總流的動(dòng)量方程表明單位時(shí)間內(nèi)流出控制面和流人控制面的動(dòng)量矢量差，等于作用在所取控制體內(nèi)流體(總流段)上的各外力的合力矢量。,寫(xiě)成分量形式： 動(dòng)量及動(dòng)量修正系數(shù)討論 總流通過(guò)整個(gè)過(guò)水?dāng)嗝嫫湎鄳?yīng)的動(dòng)量值 動(dòng)量修正系數(shù)（ 層流 =4/3，紊流 =1.021.05)指實(shí)際動(dòng)量與按斷面平均流速計(jì)算的動(dòng)量的比值。 動(dòng)能修正系數(shù)是一無(wú)量綱數(shù)，取決于總流過(guò)水?dāng)嗝娴牧魉俜植迹植荚骄鶆颍?值越小，越接近于1.0。,5.5.2總流動(dòng)量方程的應(yīng)用條件和應(yīng)用方法,5.5 總流的動(dòng)量方程,應(yīng)用總流動(dòng)量方程的步驟和方法 1)分析流動(dòng)現(xiàn)象。首先要弄清楚流體運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型，建立流線幾何圖形(流譜)，判斷是否能應(yīng)用總流的動(dòng)量方程。 2)選取好控制面和控制體。為計(jì)算方便，過(guò)流斷面取在漸變流區(qū)