1、01:20,第 8 章 扭 轉(zhuǎn),8-0 扭矩和扭矩圖,01:20,8-0 扭矩和扭矩圖,01:20,如上圖所示，桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。其側(cè)面上原有的直線ab變?yōu)槁菪€ab, 諸橫截面繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，例如B截面相對(duì)于A截面轉(zhuǎn)過(guò)一角度bOb。,為了分析橫截面上的內(nèi)力，取m-m截面。,01:20,由圖示任意橫截面m- m左邊一段桿的平衡條件可知，受扭桿件橫截面上的內(nèi)力是一個(gè)作用于橫截面平面內(nèi)的力偶。這一力偶之矩稱為扭矩，常用符號(hào)MT表示。,01:20,m,01:20,扭矩的正負(fù)號(hào)由右手螺旋法則規(guī)定：,使卷曲右手的四指其轉(zhuǎn)向與扭矩MT的轉(zhuǎn)向相同，若大拇指的指向離開橫截面，則扭

2、矩為正；反之為負(fù)。,扭矩圖：表示扭矩隨橫截面位置變化的圖線。,01:20,一傳動(dòng)軸的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖所示，作用于其上的外力偶矩之大小分別是：TA=2 kNm , TB=3.5kNm , TC =1 kNm , TD = 0.5 kNm , 轉(zhuǎn)向如圖。試作該傳動(dòng)軸之扭矩圖。,解：只要求出AB、BC、CD段任意截面上的扭矩，即可作出扭矩圖。,例題 6-6,01:20,1-1截面：,Mx（F）= 0,MT1=TA= -2 kN.m,分別作截面1-1、2-2、3-3，如右圖所示。,考慮1-1截面,例題 6-6,01:20,2-2截面：,MT2= TB - TA = 3.5 - 2 = 1.5 kNm,Mx

3、（F）= 0,例題 6-6,01:20,例題 6-6,01:20,該傳動(dòng)軸橫截面上的最大扭矩是多少？,思考題6-6,01:20,作桿的扭矩圖。,思考題6-7,01:20,思考題6-7參考答案,01:20,我們?cè)谥v扭矩與扭矩圖的時(shí)候，涉及到這樣的問(wèn)題：,01:20,桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶的作用下，要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，產(chǎn)生相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 bOb(B截面相對(duì)于A截面），受扭桿之內(nèi)力如上。用分離體分析扭矩MT 。,本章主要研究以下內(nèi)容：,(1) 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變；,(2) 圓截面等直桿受扭時(shí)的應(yīng)力和變形；（等直圓桿受扭時(shí)其橫截面仍為平面，求解較簡(jiǎn)單。）,(3) 簡(jiǎn)要介紹非圓截面桿受扭時(shí)的一些彈性力

4、學(xué)中的分析結(jié)果。（非圓截面桿受扭時(shí)，橫截面不再保持平面，要發(fā)生扭曲，求解復(fù)雜。）,01:20,受扭桿件橫截面上與扭矩對(duì)應(yīng)的應(yīng)力是正應(yīng)力還是切應(yīng)力？為什么？,思考題 8-1,答：切應(yīng)力，因?yàn)榕c正應(yīng)力相應(yīng)的分布內(nèi)力之合力不可能是個(gè)作用在橫截面上的力偶。,01:20,受扭后，圓周線與縱向直線之間原來(lái)的直角改變了一數(shù)量。物體受力變形時(shí)，直角的這種改變量（以弧度計(jì)）稱之為切應(yīng)變。,8-1 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變,平均半徑為 r。厚度為且 r。,01:20,根據(jù)圓筒橫截面本身以及施加的力偶的極對(duì)稱性容易判明，圓筒表面同一圓周線上各處的切應(yīng)變均相同。因此，在材料為均勻連續(xù)這個(gè)假設(shè)條件下，圓筒橫截面上與此

5、切應(yīng)變相應(yīng)的切應(yīng)力其大小在外圓周上各點(diǎn)處必相等；至于此切應(yīng)力的方向，從相應(yīng)的切應(yīng)變發(fā)生在圓筒的切向平面可知，系,01:20,沿外圓周的切向，如下圖所示。,(1) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變相同；,(2) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等；,01:20,(3) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處剪應(yīng)力的方向沿外周線的切線。,對(duì)于薄壁圓筒（d 很小），橫截面上其它各點(diǎn)處的切應(yīng)力可以認(rèn)為與外圓周處相同，即不沿徑向變化。于是可以認(rèn)為薄壁圓筒受扭時(shí)，橫截面上的切應(yīng)力大小處處相等，方向則垂直于相應(yīng)的半徑。 即如圖中所示。,01:20,這樣，知道了切應(yīng)力t 的分布規(guī)律后 ，便可以利用靜力學(xué)關(guān)系,r 用平均半徑r0代替,

6、上述薄壁圓筒橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的這一計(jì)算公式是在假設(shè)它們的大小沿徑向（壁厚）不變的情況下導(dǎo)出的。,則,01:20,當(dāng)d /r0=10 ，其誤差為4.5。,至于切應(yīng)變，由上圖得,但，此關(guān)系還未與T建立聯(lián)系。,01:20,通過(guò)對(duì)薄壁圓筒所作的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外加力偶矩在某一范圍內(nèi)時(shí)，扭轉(zhuǎn)角f 與外力偶矩T之間成正比。,01:20,圖中的線性關(guān)系為 t = Gg,上式稱之為材料的剪切胡克定律，不只是適用于薄壁圓筒。 ( 拉壓胡克定律 s = Ee),式中 G材料切變模量，量綱為MPa。如各種鋼的切變模量均約為8.0104 MPa，至于剪切比例極限，則隨鋼種而異；Q235鋼，tp =120 MPa

7、。,01:20,理論分析和實(shí)驗(yàn)都表明，對(duì)于各向同性材料，剪切彈性模量與其它兩彈性參數(shù)E和n 之間存在下列關(guān)系：,以上即為薄壁圓筒受扭時(shí)的變形與應(yīng)力理論。它是實(shí)心圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)變形與應(yīng)力理論的基礎(chǔ)。,01:20,實(shí)心圓截面桿和非薄壁空心圓截面受扭時(shí)，我們沒有理由認(rèn)為它們橫截面上的切應(yīng)力如同在受扭的薄壁圓筒中那樣是均勻的分布的。,8-2 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形,8.2.1 橫截面上的切應(yīng)力,現(xiàn)在的關(guān)鍵在于：,確定切應(yīng)力在橫截面上的變化規(guī)律，即橫截面上距圓心為任意半徑r 的一點(diǎn)處切應(yīng)力tr與r的關(guān)系。,01:20,首先觀察受扭時(shí)，表面的變形情況，據(jù)此作出涉及桿件內(nèi)部變形情況的假設(shè)，最后還要利用應(yīng)力和應(yīng)變

8、之間的物理關(guān)系。,(1) 幾何關(guān)系 (2) 物理關(guān)系 (3) 靜力學(xué)關(guān)系,01:20,1. 幾何關(guān)系：,(1) 等直圓桿受扭時(shí)，畫在表面上的圓周線只是繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其大小和形狀都不改變；且在變形較小的情況時(shí)，圓周線的相對(duì)縱向距離也不變。,如下圖，實(shí)驗(yàn)表明：,01:20,(2) 平截面假設(shè) 等直桿受扭時(shí)，它的橫截面如同剛性的圓盤那樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。同樣，等直圓桿受扭時(shí)，其橫截面上任一根半徑其直線形狀仍然保持為直線，只是繞圓心旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。,01:20,取微段dx分析：得半徑為r的任意圓柱面上的切應(yīng)變。,式中：d f/dx 是長(zhǎng)度方向的變化率，按平面假設(shè)是常量。這樣，等直圓桿受扭時(shí)，r與gr

9、成線性關(guān)系。,(1),01:20,2. 物理關(guān)系：,由剪切胡克定律：tr=Ggr ，在 ttp 時(shí)，可把(1)式代入，得：,上式表明：受扭的等直桿在線性彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，橫截面上的切應(yīng)力在同一半徑r的圓周上各點(diǎn)處大小相同，但它們隨r 作線性變化，同一橫截面上的最大切應(yīng)力在圓周邊緣上（圖(b)，方向垂直于各自的半徑。,(2),01:20,上式與MT沒有聯(lián)系起來(lái)。,若等截面圓桿在MT 作用下，則t 如何？,3. 靜力學(xué)關(guān)系：,(2),01:20,整個(gè)橫截面面積A范圍內(nèi)每個(gè)微面積dA乘以它到圓心的距離平方之總和，因此它是一個(gè)幾何性質(zhì)，稱之為橫截面的極慣性矩，常用Ip來(lái)表示，即：,(2),（單位：mm

10、4或m4）,01:20,01:20,上式為等直圓桿受扭時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計(jì)算公式。,若求tmax，則令r =r，有,又,故,01:20,上述公式只適用于實(shí)心或空心圓截面等直桿在線性彈性范圍內(nèi)受扭情況。,改寫成,01:20,思考題8-2,下圖所示為一由均質(zhì)材料制成的空心圓軸之橫截面，該截面上的扭矩MT 亦如圖所示，試?yán)L出水平直經(jīng)AB上各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化圖。,01:20,思考題8-2參考答案:,01:20,一受扭圓軸,由實(shí)心桿1和空心桿2緊配合而成。整個(gè)桿受扭時(shí)兩部分無(wú)相對(duì)滑動(dòng),試?yán)L出切應(yīng)力沿水平直經(jīng)的變化圖，若(1) 兩桿材料相同，即G1=G2=G；(2) 兩材料不同，G1=2G2。,思

11、考題8-3,01:20,思考題8-3(1)答案：,01:20,思考題8-3(2)答案：,01:20,主要計(jì)算實(shí)心圓截面和空心圓截面。,如圖有,8.2.2 極慣性矩和抗扭截面模量Ip和Wp,對(duì)于實(shí)心圓截面,01:20,對(duì)于空心圓截面（外徑D，內(nèi)徑d）,式中：a =d / D,01:20,千萬(wàn)不要出錯(cuò)！,應(yīng)當(dāng)注意：,01:20,思考題：165頁(yè)思考題(第一版133頁(yè)思考題),01:20,8.2.3 扭轉(zhuǎn)角,01:20,若 l 范圍內(nèi)，T是常量，GIp也為常量，則上式,GIp越大，扭轉(zhuǎn)角越小，故稱為抗扭剛度。,比較：,01:20,一水輪機(jī)的功率為Nk=7350 kW，其豎軸是直徑為d =650 mm

12、，而長(zhǎng)度為l =6000 mm的等截面實(shí)心鋼軸，材料的剪切彈性模量為G =0.8105 MPa。求當(dāng)水輪機(jī)以轉(zhuǎn)速n = 57.7 r/min勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，軸內(nèi)的最大切應(yīng)力及軸的兩個(gè)端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角f。,例題 8-2,01:20,解：軸傳遞功率Nk(kW) ， 相當(dāng)于每分鐘傳遞功 W=1000Nk60(Nm) (1),令(1)、(2)相等，得,外力偶作功 (2),即,例題 8-2,01:20,因此作用在軸上的外力偶矩T為,極慣性矩,例題 8-2,01:20,圖示傳動(dòng)軸系鋼制實(shí)心圓截面軸。已知： T1=1592Nm，T2=955Nm，T3=637Nm,截面A與截面B 、C之間的距離分別為lAB=3

13、00mm 和lAC=500mm。軸的直徑d =70mm, 鋼的剪切彈性模量G=8104 MPa 。試求截面C對(duì)B的扭轉(zhuǎn)角,例題 8-3,01:20,解：由截面法得，兩段內(nèi)扭矩分別為M T= 955 Nm, M T= 637 Nm 。先分計(jì)算B ，C截面對(duì)A之扭轉(zhuǎn)角fAB， fAC , 則可以假想此時(shí)A不動(dòng)。,例題 8-3,01:20,由于假想截面A固定不動(dòng)，故截面B、C相對(duì)于截面A的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)分別與扭轉(zhuǎn)力偶矩T2、T3的轉(zhuǎn)向相同，從而fAB和fAC的轉(zhuǎn)向相同。由此可見，截面C對(duì)B的扭轉(zhuǎn)角fBC應(yīng)是：,上兩式中的Ip可以利用,例題 8-3,01:20,其轉(zhuǎn)向與扭轉(zhuǎn)力偶矩T3相同。,例題 8-3,

14、01:20,直徑50mm的鋼圓軸，其橫截面上的扭矩MT=1.5 kNm，求橫截面上的最大切應(yīng)力。,思考題8-4,01:20,思考題 8-5,空心圓軸的直徑d =100 mm，長(zhǎng)l =1m，作用在兩個(gè)端面上的外力偶之矩均為T=14 kNm，但轉(zhuǎn)向相反。材料的切變模量G=8104 MPa。求：,(1) 橫截面上的切應(yīng)力，以及兩個(gè)端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。,(2) 圖示橫截面上ABC三點(diǎn)處切應(yīng)力的大小及方向。,01:20,(1) tmax=71.3 MPa f = 0.01784 rad (2) tA=tB=tmax= 71.3 MPa tC=35.7 MPa,思考題8-5答案：,01:20,下圖(a)所示

15、的扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題，若假想地解除B端的約束，而利用B截面的扭轉(zhuǎn)角為零作為位移條件求解(圖(b)，試列出其求解過(guò)程。,思考題8-6,01:20,思考題8-6答案：,先考慮 T 作用，則,只考慮TB的作用，則,01:20,相容條件：,上述結(jié)果可與書例題8-4進(jìn)行比較。,得,01:20,8.2.4 斜截面上的應(yīng)力,通過(guò)扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)： (1) 低碳鋼試件系橫截面剪斷； (2) 鑄鐵試件則沿著與軸線成45的螺旋線剪斷； (3) 木材試件沿與軸線平行的方向劈裂。,研究類似鑄鐵試件破壞原因,考慮斜截面上的應(yīng)力。,01:20,方法：扭桿假想切開斜截面,扭桿，應(yīng)力分布不均勻，不能切開斜截面,點(diǎn)上切一個(gè)單元體,01

16、:20,(1) 左、右橫截面 (2) 頂、底面，徑向截面 前、后面，切向截面 切應(yīng)力互等，純剪切狀態(tài),01:20,思考題 8-7,如圖所示為從受扭實(shí)心圓截面桿中，以徑向截面ABEF取出的分離體（半個(gè)圓柱體）。試?yán)L出,（1）橫截面AGB上應(yīng)力沿直徑AB的分布；,（2）徑截面ABEF上應(yīng)力分別沿直徑AB、CD、EF的分布。,01:20,思考題8-7答案:,01:20,現(xiàn)從受扭圓桿件的表面A取出一單元體（圖(b)）,圖(b)處于純剪切狀態(tài),現(xiàn)改其為平面圖表示：,01:20,研究垂直于前后兩個(gè)面的任意斜截面de上的應(yīng)力,如圖(a)、(b)。de 斜面作著未知的正應(yīng)力sa和切應(yīng)力ta。,設(shè)de的面積為d

17、A，則,01:20,簡(jiǎn)化后：,同理,得：,01:20,當(dāng)a0o與a90o時(shí)： ta有最大值，即為t,a=45o的情況下： sa有極值，即為t。,a=145o，sa=smin=-t a=-45o，sa=smax=+t,01:20,由此看來(lái)，鑄鐵圓柱的所謂扭轉(zhuǎn)破壞，其實(shí)質(zhì)上是沿45方向拉伸引起的斷裂。 也因此，在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下直接引起斷裂的最大拉應(yīng)力smax總是等于橫截面上相應(yīng)的切應(yīng)力，所以在鑄鐵圓桿的抗扭強(qiáng)度的計(jì)算中也就以橫截面上的t 作為依據(jù)。如下圖所示。,01:20,1. 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形。,小結(jié)：,2. 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形。,(1) 橫截面上的應(yīng)力,材料的剪切胡克定律,、n

18、三者之間的關(guān)系,01:20,(a) 幾何關(guān)系,(b) 物理關(guān)系,(c) 靜力學(xué)關(guān)系,01:20,(d) 極慣性矩和抗扭截面模量,實(shí)心圓截面,代入Ip得,01:20,空心圓截面,扭轉(zhuǎn)角,斜截面上的應(yīng)力,01:20,思考題 8-8,直徑d =25 mm的鋼圓桿，受軸向拉力60 kN作用時(shí)，在標(biāo)距為200 mm的長(zhǎng)度內(nèi)伸長(zhǎng)了 0.113 mm；當(dāng)它受一對(duì)矩為0.2 kNm的外力偶作用而扭轉(zhuǎn)時(shí)，相距200 mm的兩個(gè)橫截面相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了0.732的角度。試求此圓桿所用鋼材的彈性常數(shù)E、G和v。,01:20,思考題8-8答案,01:20,實(shí)心或空心圓截面桿受扭時(shí),桿內(nèi)所有的點(diǎn)均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài),而整個(gè)桿的

19、危險(xiǎn)點(diǎn)在橫截面的邊緣處。,8-3 強(qiáng)度條件及剛度條件,1. 強(qiáng)度條件,受扭圓桿的強(qiáng)度條件：,對(duì)于等截面桿：危險(xiǎn)點(diǎn)必在MTmax 所在截面邊緣處, 即,由以上兩式得到,01:20,根據(jù)上述公式，可對(duì)空心或?qū)嵭膱A截面受扭桿件進(jìn)行,(1) 校核強(qiáng)度,(2) 選擇截面尺寸,(3) 計(jì)算容許荷載,2. 剛度條件,滿足了強(qiáng)度條件，但若變形過(guò)大，必將對(duì)正常工作產(chǎn)生影響。剛度條件通常是以扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率q (=df/dx ), 其最大值qmax不超過(guò)某一規(guī)定的容許值q 來(lái)表達(dá)，即,01:20,式中q 為單位長(zhǎng)度桿的容許扭轉(zhuǎn)角，單位/m,來(lái)計(jì)算?；癁榻嵌让棵讋t為,對(duì)于等直的圓桿，其qmax按式：,(8-17

20、),式中，MTmax Nm，G Pa，Ip m4,01:20,容許扭轉(zhuǎn)角q ，對(duì)于精密儀器的軸 ，常常取 0.150.30 /m。至于一般的軸則取 2 /m。,01:20,階梯形圓柱直徑分別為d1= 4 cm , d2=7 cm,軸上裝有3個(gè)皮帶輪如圖所示。已知由輪3輸入的功率為T3=30 kW,輪1輸出的功率為 T1=13 kW , 軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)速n = 200轉(zhuǎn)/分,材料的剪切許用應(yīng)力t =60 MPa,G = 80 GPa,許用扭轉(zhuǎn)角q = 2 /m。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。,第八章 扭 轉(zhuǎn),例題 8-7,01:20,解:,計(jì)算扭矩：,強(qiáng)度校核：,例題 8-7,01:20,故強(qiáng)度滿足。

21、,剛度校核：,AC段：,例題 8-7,01:20,故剛度滿足。,DB段：,例題 8-7,01:20,實(shí)心軸和空心軸通過(guò)牙嵌式離合器連接在一起。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100 轉(zhuǎn)/分，傳輸功率N =7.5 kW,材料的容許切應(yīng)力t =40MPa,試選擇實(shí)心軸直徑d1和內(nèi)外徑比值為0.5的空心軸的外徑D。,例題 8-8,01:20,解:,扭矩計(jì)算：,計(jì)算實(shí)心軸直徑,由強(qiáng)度條件,例題 8-8,01:20,計(jì)算空心軸直徑,由強(qiáng)度條件:,例題 8-8,01:20,如同拉伸和壓縮時(shí)一樣，桿件在受扭時(shí)桿內(nèi)也積蓄有應(yīng)變能。桿在彈性范圍內(nèi)工作，f 與Me成線性關(guān)系。,8-4 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能,01:20,又,則

22、,或,01:20,對(duì)于桿的各橫截面上扭矩不相等的情況，取微段分析入手。,例如：,從而知：左段桿內(nèi)的應(yīng)變能：,01:20,整個(gè)桿內(nèi)積蓄的應(yīng)變能為：,右段桿內(nèi)：,01:20,思考題 8-9,(1) 求圖示同一桿件在三種受力情況下的應(yīng)變能。此桿在線彈性范圍內(nèi)工作，且變形微小。,01:20,(2) 桿在第三種受力情況下的應(yīng)力和變形是否分別等于前兩種情況下的疊加？應(yīng)變能呢？,01:20,思考題8-9答案：,(1),01:20,(2),01:20,思考題8-10,求下列各圖桿的應(yīng)變能。,01:20,思考題8-10答案：,(b) 取微段分析,(a),01:20,思考題8-10答案：,(c),其中,(d) 取微段分析,01:20,思考題8-10答案：,01:20,8-5 矩形截面的扭轉(zhuǎn),1. 幾個(gè)概念,非圓截面桿受扭時(shí),橫截面會(huì)發(fā)生扭曲。因此其變形、應(yīng)力不能用由平面假設(shè)所得的圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形的計(jì)算公式。,(1) 約束扭轉(zhuǎn),非圓截面桿受扭時(shí),既然橫截面要發(fā)生翹曲,因此，如果翹曲受到牽制, 例如桿件是變截面的，或者外力偶不是加在桿的兩端，或者桿的端面受到外部約束而不能自由翹曲，那么桿的橫截面上除了有切應(yīng)力，還有正應(yīng)力。這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。,01:20,(2) 自由扭轉(zhuǎn),橫截面翹曲不受牽制的扭轉(zhuǎn)稱為