1、22.2坐標(biāo)系與參數(shù)方程,高考數(shù)學(xué),1.極坐標(biāo)系 (1)在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O,由O點(diǎn)出發(fā)的一條射線Ox,一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位及計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.O點(diǎn)稱為極點(diǎn),Ox軸稱為極軸.平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長(zhǎng)度和從Ox到OM的角度來(lái)刻畫(huà)(如圖所示).這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(,)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo),稱為極徑,稱為極角.,知識(shí)清單,(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化 設(shè)M為平面上任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)為(x,y),極坐標(biāo)為(,).由圖可知下面的關(guān)系式成立: 或 順便指出,上式對(duì)0也成立.,這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式. (3)圓的極坐標(biāo)方程 a.

2、圓心在極點(diǎn),半徑為R的圓的極坐標(biāo)方程為=R. b.圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)處,且圓過(guò)極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程為=2acos . c.圓心在點(diǎn)處且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程為=2asin . 注:當(dāng)圓心M(x0,y0)不在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上時(shí),要建立圓的極坐標(biāo)方程,通常把極點(diǎn)放置在圓心處,極軸與x軸正半軸同向,然后運(yùn)用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式求解. 或,2.參數(shù)方程 (1)直線的參數(shù)方程 過(guò)點(diǎn)(x0,y0)且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (2)圓的參數(shù)方程 若圓心在點(diǎn)M0(x0,y0),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為(為 參數(shù)). (3)橢圓的參數(shù)方程 若橢圓的中心不在原點(diǎn),而在點(diǎn)M0(

3、x0,y0),相應(yīng)的橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).,通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0,2).,解決參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程問(wèn)題的方法 極坐標(biāo)方程往往要與普通方程進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化,在轉(zhuǎn)化時(shí),以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位. 參數(shù)方程化為普通方程的常見(jiàn)方法有三種:代入法:利用解方程的技巧表示出參數(shù),然后代入消去參數(shù).三角法:利用三角恒等式消去參數(shù).整體消元法:根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,從整體上消去.化參數(shù)方程為普通方程.在消參過(guò)程中,注意變量x、y取值范圍的一致性. 例1(2017江蘇南通中學(xué)期中)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為=2cos ,直線l的極坐標(biāo)方程

4、為 sin=m.若直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共 點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的值.,方法技巧,解析曲線C的極坐標(biāo)方程為=2cos ,化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1, 表示以(1,0)為圓心,1為半徑的圓. 直線l的極坐標(biāo)方程是sin=m,即cos +sin =m,化為直角 坐標(biāo)方程為x+y-2m=0. 因?yàn)橹本€l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn), 所以=1,解得m=-或m=. 所以,所求實(shí)數(shù)m的值為-或.,例2(2017江蘇南通中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C: (為參數(shù),R),直線l: (t為參數(shù),tR),求曲線C 上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.,解析將直線l的參數(shù)方程 化為普通方程為x-y-6=0. 因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C: (為參數(shù))上,所以設(shè)P(4cos ,3sin ).