1、1,第18章,第1,2節(jié),一、一個方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù),二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)及隱函數(shù)組,2,本節(jié)研究,1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .,例如, 方程,當(dāng) C 0 時, 能確定隱函數(shù);,當(dāng) C 0 時, 不能確定隱函數(shù);,2) 能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性、可微性,及求導(dǎo)方法.,例如, 已知二元方程,求,解法一: 顯式求導(dǎo)法,解法二: 隱式求導(dǎo)法 方程兩邊同時對,求導(dǎo).,3,一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) (教材P146-148TH18.1-18.2),定理1. 設(shè)函數(shù),則在U(P0)內(nèi)方程,確定一個單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,(隱函數(shù)求導(dǎo)公式

2、),定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：, 連續(xù);,的某鄰域內(nèi)可唯一,在以點,為內(nèi)點的某,存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),滿足條件,并有連續(xù)導(dǎo)數(shù),一區(qū)域D 內(nèi)滿足,4,視y為x的函數(shù)兩邊對 x 求導(dǎo),在,的某鄰域內(nèi),則,5,例1. 驗證方程,在點(0,0)某鄰域,可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù),解: 令,連續(xù) ;,由 定理1 可知,導(dǎo)的隱函數(shù),則,在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可,且,并求,6,公式法:,7,兩邊對 x 求導(dǎo),兩邊再對 x 求導(dǎo),令 x = 0 , 注意此時,另一求法,直接法( 利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式推導(dǎo)法),代入導(dǎo)數(shù)方程得,8,解法一:,令,則,9,10,定理2 .,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)

3、偏導(dǎo)數(shù) ;,則方程,在點,并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) ,定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:,滿足,在點,某一鄰域內(nèi)可唯一確,滿足:(更一般地見教材P149TH18.3),11,兩邊對 x 求偏導(dǎo),同樣可得,則,12,例3 設(shè),是由方程,所確定，,解法二,利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式,設(shè),解法一 直接法(略),13,解法三:利用微分形式的不變性,14,例4. 設(shè),解法1 直接法,再對 x 求導(dǎo),是由方程,所確定，,15,解法2 利用公式,設(shè),則,兩邊對 x 求偏導(dǎo),16,解法3 利用全微分形式不變性,則兩邊同時微分,17,例5.,設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

4、解法1 利用公式.,則,已知方程,故,18,解法2 全微分形式不變性法.,解法3 方程兩邊同時對,求導(dǎo),同理求出,略！,19,二. 方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.,由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式,稱為F、G 的雅可比（Jacobi） 行列式。,以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例，即,20,定理3,的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的,設(shè)函數(shù),則方程組,在點,并滿足條件,且有偏導(dǎo)數(shù)公式 :, 在點,的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組單值連,滿足,偏導(dǎo)數(shù),續(xù)函數(shù),21,（P153）,定理證明略。僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下,22,有隱函數(shù)組,則,解,兩邊對 x 求導(dǎo),設(shè)方程組,在點P

5、 的某鄰域內(nèi)系數(shù)行列式,23,例1. 設(shè),解: 在滿足定理的條件下考慮問題.,在,方程組兩邊對 x 求偏導(dǎo)，并移項得,求,練習(xí)：求,的條件下,24,例2.設(shè)函數(shù),在點,1) 證明函數(shù)組,( x , y ) 的某一鄰域內(nèi),2）求反函數(shù),解: 1) 令,則有,由定理 3 可知所述結(jié)論正確。,對 x , y 的偏導(dǎo)數(shù).,在與點 ( u , v ) 對應(yīng)的點,的某一,鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且,唯一確定一組單值、連續(xù)且具有,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù),25,例2.設(shè)函數(shù),在點,兩邊對 x 求導(dǎo),2）求反函數(shù),的某一鄰,域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ,對 x , y 的偏導(dǎo)數(shù) .,26,例3(例2的應(yīng)用) 計算極坐標(biāo)變換,

6、的反變換的導(dǎo)數(shù)。,同樣有,所以,解1:由于,27,解2：,兩邊同時對,求偏導(dǎo)得,例3(例2的應(yīng)用) 計算極坐標(biāo)變換,的反變換的導(dǎo)數(shù)。,28,例4： 已知方程組,解：設(shè),方程組兩邊同時對,求導(dǎo),29,例5. 設(shè),是由方程,和,所確定的函數(shù) , 求,解法1 分別在各方程兩端對 x 求導(dǎo), 得,30,解法2 微分法.,對各方程兩邊分別求微分:,化簡得,消去,可得,31,例6,分別由下列兩式確定 :,又函數(shù),有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,設(shè),解: 兩個隱函數(shù)方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得,解得,因此,32,內(nèi)容小結(jié),一. 隱函數(shù)（組）存在定理,二. 隱函數(shù) (組) 求導(dǎo)方法,方法一. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計算 ;,方法二. 利用微分形式不變性 ;,方法三. 代公式,思考與練習(xí),設(shè),求,33,提示:,34,解法二.利用全微分形式不變性同時求出,解出,35,作業(yè),P151 3(2),(4),(6); 4; 5;8. P157 2(1),(3); 3(1); 5(2); 6.,36,雅可比(1804 1851),德國數(shù)學(xué)家.,他在數(shù)學(xué)方面最主要,的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨,地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ).,他對行列,式理論也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的