1、第七章 流行病學數(shù)學模型（mathematical model； mathematic epidemiology；theoretical epidemiology）,1、概述 2、用途 3、建立 4、實例 4、應用,第一節(jié) 概述,定義：用數(shù)學公式明確地和定量地表達病因、宿主和環(huán)境之間構成的疾病流行規(guī)律，同時從理論上探討不同防治措施的效應。 發(fā)展史： Harmer（1960）：決定流行過程動態(tài)規(guī)律為易感者和接觸率 Ross（1911）：確定性模型 Reed & Frost（1928）：Reed-Frost模型 Armitage & Doll（1960s)：腫瘤形成模型（非傳染?。?1970s：計

2、算機的應用，提出多狀態(tài)、時間序列、時空聚集性模型 1980s：混沌論；協(xié)同論；灰色模型,第二節(jié) 流行病數(shù)學模型的用途,一、研究流行特征的模型 1、研究疾病分布規(guī)律 （1）研究疾病地區(qū)聚集性：二項分布、Poisson分布 （2）研究疾病時間分布特征 （3）研究疾病人群分布 2、研究疾病流行過程 二、用于以情預測：乙型腦炎回歸模型 三、用于效果評價：空間模型、多等級模型 四、其它,第二節(jié) 主要研究方法一、模型建立步驟,（一）模型所適用的條件 1、封閉人群 2、經空氣飛沫傳播的急性呼吸道傳染病 3、固定的有效接觸率（每個個體在單位時間內與其他個體相互交往發(fā)生有效接觸的概率） 4、易感者轉歸：有效接觸

3、后獲感染并傳染給其他易感者，病后獲免疫力。 5、上述各條件在流行過程中保持不變,二、ReedFrost模型的建立過程,（二）明確流行病學等級及其相互轉移流程 S(t) ：第t 代易感者； S(t+1)：第(t+1)代的易感者 C(t)：第t 代的病例及傳染者； C(t+1)：第(t+1)代的病例 I(t)：第t 代的免疫者； I(t+1)：第(t+1)代的免疫者,（三）確定模型的數(shù)學表達式及其參數(shù) 1、確定型模型：初值一經確定，參數(shù)不再變動 （1）確定模型：下一代將發(fā)生的病例數(shù)C(t+1) 是有效接觸率P0與t 代病例數(shù)和t 代易感人數(shù)的乘積 C(t+1)=P0Ct St （2） 確定關鍵變量

4、(參數(shù))：有效接觸率P0（有效接觸指能引起傳染的接觸）。以q 表示該人群中單位時間內任何兩個體不發(fā)生有效接觸的概率，則q=1-p。如該人群在t 時間有Ct 個病例，則qct 為一名易感者和個Ct 病例不發(fā)生感染的概率，而1- qct 則為一名易感者至少和一例患者發(fā)生有效接觸的概率。即傳染率，而某代出現(xiàn)的病例數(shù)為： 某代病例數(shù)=傳染率上代余下的易感者數(shù)。由此，計算公式為： （3）數(shù)學表達式： C(t+1)=St(1-qct) S(t+1)=St-C(t+1) I(t+1)=It+Ct,2、隨機性模型：確定性模型僅在大人群、傳染者接觸人多的情況下可作為隨機性模型的估計值，對新一代病例數(shù)作出點估計。

5、其假定有效接觸率不變，這與實際不符。如以可變的參數(shù)計算新一代病例數(shù)的概率區(qū)間，先按給定的初值計算出t+1代不同病例的概率，再選擇較大概率的事件作為新出始值計算下一代出現(xiàn)不同病例數(shù)的概率，即為隨機性模型。 （1）模型： 式中：PC(t+1)|St,Ct為在t 時間內存在St 個易感者和Ct 個病例的條件下,，t+1時間出現(xiàn)C(t+1) 個病人的概率。也用r表示， 是0至St 之間的任何整數(shù)。,例：在5個易感者中發(fā)生了1個病例，假定p=0.2，下一代發(fā)生0、1、2、3、4病人數(shù)的概率是： 0例: 1例: 2例: 3例: 4例:,（四）參數(shù)估計及模型擬合 根據經驗和實際資料假定參數(shù)值 分別將數(shù)個假定

6、參數(shù)值代入 比較各假定參數(shù)獲得的曲線和實際流行曲線的擬合度，取最佳擬合者 （最小卡方值法、列線圖法、最大似然法）,第四節(jié) 實例擬合,水痘流行期間兒童總數(shù)N=196 過去患過此次未感染者：40 無患病史，此次未感染者：60 無患病史，此次感染者：96 全部流行期間：79天 病例呈代出現(xiàn) 其它條件符合要求,二、初步擬合,1、假定有效接觸率p： 0.01、0.02、0.03 則q：0.99、0.98、0.97 2、利用公式計算各代期望病例數(shù)：結果見表（p=0.02) 3、以期望病例數(shù)為理論數(shù)，與各代實際發(fā)病例數(shù)比較：卡方檢驗,3個p值中最小的卡方值為p=0.02，選此進一步擬合。,4、進一步擬合，結

7、果見表,結果：以p=0.0231的卡方值為最小，但p0.05，說明模型結構 有問題,三、修正模型后擬合（Reed-Frost模型衍化式） 1、免疫屏障的作用 （1）假定2名免疫者保護一名易感者（閾值為33%），擬合優(yōu)度頗佳,（2）假定1名免疫者保護1名易感者（閾值為50%）,（3）將公式改寫為：,以K3.6或p=K/155=0.023226擬合，則效果頗佳,2、隱性感染作用： 式中：b為流行過程中隱性感染與顯性感染的比例常數(shù)； 為第代t 已經積累的感染者。,四、模型抽象研究,采用公式：,（一）有效接觸率和隔離的變動對流行過程的影響,（二）隔離對流行過程的影響,以p=0.05，每代隔離15新病例為例，則：,（三）預防接