1、橢圓的定義和 標(biāo)準(zhǔn)方程,寧波市鄞州職教中心學(xué)校 數(shù)學(xué)組 匡志新,2003年10月15日,神州5號(hào)飛船升空,實(shí) 現(xiàn)了中國(guó)人進(jìn)入太空的夢(mèng)想,大家思考過(guò)沒(méi) 有, 飛船是沿著一條什么樣的軌跡飛行呢?,引入,引入,引入,觀察生活中的圖形:,茶杯口,引入,這些都是,引入,復(fù)習(xí)與回顧,回憶圓的定義?,平面內(nèi),到定點(diǎn)的距離 等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓.,回憶求圓的方程的步驟:,(1)建系設(shè)點(diǎn)； (2)寫(xiě)出集合； (3)列方程； (4)化簡(jiǎn)； (5)修正與檢驗(yàn).,新授,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距。,新授,當(dāng)2a

2、=|F1F2|時(shí)，此時(shí)M點(diǎn)的軌跡為線段F1F2,當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，此時(shí)M點(diǎn)的軌跡是不存在的,以?xún)啥c(diǎn)所在直線為x軸，兩定點(diǎn)的中點(diǎn) 為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖。,設(shè)M（x, y）為橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)橢圓的焦距為2c，M與F1，F(xiàn)2的距離之和為2a。,由橢圓的定義，橢圓說(shuō)是集合,則有：,移項(xiàng)得,兩邊平方得,移項(xiàng)化簡(jiǎn)得,兩邊平方,化簡(jiǎn)得,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,新授,表示焦點(diǎn)在x軸，焦點(diǎn)為F1（-c,0），F(xiàn)2（c,0）,c2 = a2 - b2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。,如果是以F1，F(xiàn)2所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，所求出的 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么呢？,表示焦點(diǎn)在y軸，焦點(diǎn)為F1（0, -c），F(xiàn)2（0, c

3、）,c2 = a2 - b2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。,這也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,新授,表示焦點(diǎn)在x軸，焦點(diǎn)為 F1（-c,0），F(xiàn)2（c,0）,表示焦點(diǎn)在y軸，焦點(diǎn)為 F1（0, -c），F(xiàn)2（0, c）,歸納小結(jié)：,1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種：焦點(diǎn)在x軸或焦點(diǎn)在y軸,且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).,2、由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程看出，焦點(diǎn)所在的位置可由方程中含x、 y項(xiàng)的分母的大小來(lái)確定，分母大的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的字母所在的軸 就是焦點(diǎn)所在的軸。,3、a、b、c始終滿(mǎn)足a2 b2 = c2，并且總是ab0, ac0,新授,例題,（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（- 4，0）、（4，0）， 橢圓上的一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離的和等于10； （

4、2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，- 2），（0，2）， 并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3/2，5/2）。,表示焦點(diǎn)在x軸，焦點(diǎn)為 F1（-c,0），F(xiàn)2（c,0）,表示焦點(diǎn)在y軸，焦點(diǎn)為 F1（0, -c），F(xiàn)2（0, c）,求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。,解：（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由已知，2a=10, 2c=8,故可得，a=5,c=4,b=3,求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：,例題,（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（- 4，0）、（4，0）， 橢圓上的一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離的和等于10； （2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，- 2），（0，2）， 并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3/2，5/2）。,表示焦點(diǎn)在x

5、軸，焦點(diǎn)為 F1（-c,0），F(xiàn)2（c,0）,表示焦點(diǎn)在y軸，焦點(diǎn)為 F1（0, -c），F(xiàn)2（0, c）,1、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。,解：（2）因橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，故可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由橢圓的定義與兩點(diǎn)間距離公式可求得2a=,由已知，c=2，并可求得b=6,例題,例題,表示焦點(diǎn)在x軸，焦點(diǎn)為 F1（-c,0），F(xiàn)2（c,0）,表示焦點(diǎn)在y軸，焦點(diǎn)為 F1（0, -c），F(xiàn)2（0, c）,練習(xí)1、橢圓 的焦距是 ，焦點(diǎn)坐標(biāo) 是 。,2、動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1（-4，0）、F2（4，0）的距離之和為8，則P點(diǎn)的軌跡為 A、橢圓B、線段F1F2 C、直線F1F2D、不能確定,練習(xí),表

6、示焦點(diǎn)在x軸，焦點(diǎn)為 F1（-c,0），F(xiàn)2（c,0）,表示焦點(diǎn)在y軸，焦點(diǎn)為 F1（0, -c），F(xiàn)2（0, c）,3、如果橢圓 上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為6， 則點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)F2的距離為 。,4、橢圓mx2+ny2=-mn，（mn0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 。,練習(xí),表示焦點(diǎn)在x軸，焦點(diǎn)為 F1（-c,0），F(xiàn)2（c,0）,表示焦點(diǎn)在y軸，焦點(diǎn)為 F1（0, -c），F(xiàn)2（0, c）,5、方程x2+ky2=2的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是 A、（0，+）B、（0，2） C、（1，+ ）D、（0，1）,6、方程 表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值范圍為 .,若去掉焦點(diǎn)在y軸上的條件呢?,若去掉焦點(diǎn)在y軸上的條件呢?,練習(xí),1、本節(jié)課學(xué)習(xí)了圓錐曲線中的橢圓的形成及定義。,2、通過(guò)橢圓的定義推出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓的