1、1,積分變換法,積分變換在數(shù)學物理方程中也有廣泛的用途，變換后， 方程得以化簡，偏微分方程變成常微分方程，求解常微 方程后，再進行逆變換就得到原來偏微分方程的解， 同時，積分變換還可能得到有限形式的解，分離變數(shù) 法或者傅里葉級數(shù)發(fā)往往不能。,本章主要介紹傅里葉變換法在求解偏微分方程中的應用。,2,傅里葉變換,（1）導數(shù)定理,（2）積分定理,（3）相似性定理,3,（4）延遲性定理,（5）位移性定理,（6）卷積性定理,4,第一節(jié) 傅里葉變換法,用分離變數(shù)法求解有界空間的定解問題時，得到的本征值是,例1,求解無限長弦的自由振動,解：,應用傅里葉變換，即用,同乘方程和定解條件,中的各項，并對空間變量x

2、積分，t看做參數(shù)，則,分，對于無界空間的定解問題，適用于傅里葉變換法求解。,連續(xù)的，所求的解可表示為對連續(xù)本征值求積分的傅里葉積,無界空間，分離變數(shù)法求解定解問題時，所得到的本征值是,離散的，所求的解可表為對本征值求和的傅里葉級數(shù)，對于,5,定解問題變換成：,其中,分別是,的傅里葉變換，這樣原來,的定解問題變成了常微分方程及初值條件，通解為：,代入初始條件可得：,故,對U作逆傅里葉變換，可得最后的結果如下：,6,達朗貝爾公式,例2,求解無限長細桿的熱傳導問題,解：,作傅里葉變換，定解問題變?yōu)椋?此常微分方程的初始問題的解為,進行傅里葉逆變換可得：,7,交換積分次序,積分公式：,8,例3,求解無

3、限長細桿的有源熱傳導問題,解：,作傅里葉變換，定解問題變?yōu)榉驱R次常微分方程：,令,利用上述公式可得,9,用,同乘方程各項，可得：,對t積分一次，并考慮零初始值可得：,進行傅里葉逆變換,交換積分次序可得：,10,是單位面積硅片 表層原有雜質總量.,并利用積分公式可得最后的結果為：,例4,限定源擴散,在半導體擴散工藝中，雜質擴散深度遠遠小于硅片厚度，可,硅片，這里求解的是半無界空間x0中的定解問題:,有的雜質向硅片內擴散，但不讓新的雜質穿過硅片表面進入,以把硅片看成無限厚，在限定源擴散中，是只讓硅片表層已,11,解:,沒有雜質穿過硅片表面,即:,第二類齊次邊界條件,這種邊界條件意味著偶延拓,即求解

4、以下定解問題,則,引用例2結果可得,高斯函數(shù),12,右圖描述了雜質濃度u(x,t)在硅片中,即說明雜質總量不變,曲線跟縱軸相交處的切線都是水平的,例5,恒定表面濃度擴散,在恒定表面濃度擴散中,包圍硅片氣體,中含有大量的雜質原子,源源不斷穿過硅片表面向內部擴散,由,即硅片表面的濃度梯度為零,表明沒有新的雜質進入硅片.,度趨于均勻,曲線下的面積為,2,3依次對應越來越晚的時刻,雜質濃,的分布情況,曲線1對應于較早的時刻,是半無界空間x0中的定解問題,于雜質分子充足,硅片表面雜質濃度保持某個常數(shù)N0,這里所求,13,解,首先把非齊次邊界條件化為齊次邊界條件,令,則化為關于w的定解問題:,這是第一類齊

5、次邊界條件,意味著奇延拓,即,引用例2結果可得,14,第一個積分中令,第二個積分中令,則有,被積函數(shù)是偶函數(shù),故,誤差函數(shù),記做erfx,則w可寫為:,所求的解如下:,15,余誤差函數(shù),記做erfcx,則有,右圖描述了雜質濃度u(x,t)在硅片中,例6,泊松公式,求解三維無界空間中的波動問題,明顯,如果擴散持續(xù)進行下去,則濃度分布最終將為常數(shù)N0(虛線),的時刻,雜質濃度趨于均勻的趨勢很,刻,2對應于較晚的時刻,3對應于更晚,分布情況,曲線1對應于某個較早的時,16,解,做傅里葉變換,問題變換為常微分方程的初始值問題,這個方程的解為,再進行傅里葉逆變換,17,利用5.3例1的結果,18,應用延

6、遲定理,出現(xiàn),對,的積分只要在球面,上進行,以r為球心(矢徑r),半徑為at,為球面 的面積元,此即泊松公式.,19,三維無界空間中的波動,只要知道初始狀況,就可以用泊松公式,然后拿初始擾動,按泊松公式在球面 上積分,波動以速度a傳播,只有跟點r,相距at的那些點的初始擾動恰好在時刻t傳到r,初始擾動只限于區(qū)域T0,如圖,取一定點r,與T0,跟,T0不相交,按泊松公式u(r,t)=0,表示擾動的前鋒 沒有到達r,當d/atD/a, 跟T0 相交,擾動到達r,當tD/a, 包圍了T0,但跟T0不相交,u(r,t)=0,表明,球心,以at為半徑作球面,求以后任一時刻的狀況,具體說,為求時刻t在r的

7、u(r,t),應以r為,擾動已經過去.,最小距離為d,最大距離為D,當td/a,20,例7,推遲勢,求解三維無界空間中的受迫振動,解,做傅里葉變換,變?yōu)榉驱R次常微分方程的初始值問題,此問題的解為(第六章習題7答案),進行傅里葉逆變換可得,21,應用脈沖函數(shù)性質和關系式,由于,積分只要在條件,下進行即可,對,的積分只需要在球體,進行,球心的矢徑為r,半徑at,引用5.3例1的結果,并應用延遲定理可得,22,f的宗量t換成了,擾動以速度a傳播,從點,出發(fā)的擾動,如果在時刻t對點r產生,影響,必然是時刻,出發(fā).,其中,推遲勢,例8,柱面波 降維法,求解二維無界空間中的波動問題,解,也可以用傅里葉變換來求解,這里介紹另一種方法,23,二維空間的波動是三維空間波動,對于二維問題,球面,上的積分代以xy平面的圓,上的,積分,如圖,上的面積元,的公式,這種方法稱為降維法.,公式,消除了坐標z,成為二維波動,泊松公式給出解,三維波動的泊松,的特例,與坐標z無關,也可以由,24,即,球面,上下兩半都投影于同一個圓,故,泊松公式在二維空間中為,二維波動有后效,