1、3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式,3.1數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解 (1)數(shù)學(xué)歸納法原理: 數(shù)學(xué)歸納法原理是設(shè)有一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題,若當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí)該命題成立,又在假設(shè)當(dāng)n取第k個(gè)值時(shí)該命題成立后可以推出n取第k+1個(gè)值時(shí)該命題成立,則該命題對(duì)一切自然數(shù)nn0都成立. (2)數(shù)學(xué)歸納法: 數(shù)學(xué)歸納法可以用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題.證明需要經(jīng)過兩個(gè)步驟: 驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n0=1或2等)時(shí)命題正確. 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(kN+,kn0)命題正確,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也正確.在完成了上述兩個(gè)步驟之后,就可以斷定命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)都正確.,探究一,探究二,探究三,探究四,

2、探究一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等問題 數(shù)學(xué)歸納法可以證明與自然數(shù)有關(guān)的恒等式問題,證明此類問題的關(guān)鍵在于第二步,它有一個(gè)基本格式,我們不妨設(shè)命題為P(n):f(n)=g(n).其第二步相當(dāng)于做一道條件等式的證明題,已知:f(k)=g(k),求證:f(k+1)=g(k+1).通常可采用的格式分為三步:(1)找出f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系;(2)把歸納假設(shè)f(k)=g(k)代入;(3)作恒等變形化為g(k+1).示意圖為:,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,點(diǎn)評(píng) 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)代數(shù)恒等式,解題前先要分析清楚等式兩邊的構(gòu)成情況.解這

3、類題的關(guān)鍵在第二步,將式子轉(zhuǎn)化為與歸納假設(shè)的等式結(jié)構(gòu)相同的形式湊假設(shè).然后應(yīng)用歸納假設(shè),經(jīng)過恒等變形得到結(jié)論所需形式湊結(jié)論.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時(shí),第二步一般先將n=k+1代入原式,然后將原式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?湊出歸納假設(shè),這是證明的關(guān)鍵和難點(diǎn). 典型例題2 求證:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,nN+. 思路分析:對(duì)于多項(xiàng)式A,B,如果A=BC,C也是多項(xiàng)式,那么A能被B整除.若A,B都能被C整除,則A+B,A-B也能被C整除. 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1+1+(a+

4、1)21-1=a2+a+1,命題顯然成立.,探究一,探究二,探究三,探究四,(2)假設(shè)n=k(kN+,且k1)時(shí),ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除, 則當(dāng)n=k+1時(shí), ak+2+(a+1)2k+1 =aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1. 由歸納假設(shè),得上式中的兩項(xiàng)均能被a2+a+1整除,故n=k+1時(shí)命題成立. 由(1)(2)知,對(duì)nN+,命題成立. 點(diǎn)評(píng) 證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”,而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)、

5、因式分解等手段,湊出n=k時(shí)的情形,從而利用歸納假設(shè)使問題得證.,探究一,探究二,探究三,探究四,變式訓(xùn)練2求證:對(duì)任意正整數(shù)n,34n+2+52n+1能被14整除. 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),34n+2+52n+1=36+53=854=1461,能被14整除,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,即34k+2+52k+1能被14整除, 那么當(dāng)n=k+1時(shí), 34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+234+52k+152 =34k+234+52k+134-52k+134+52k+152 =34(34k+2+52k+1)-52k+1(34-52) =34(34k+2+52k+1)-56

6、52k+1. 因?yàn)?4k+2+52k+1能被14整除,56也能被14整除, 所以34(k+1)+2+52(k+1)+1能被14整除,故命題成立. 由(1)(2)知,命題對(duì)任意正整數(shù)n都成立.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究三用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 對(duì)于幾何問題的證明,可以先從有限情形中歸納出一個(gè)變化的過程,或者說體會(huì)出是怎樣變化的,然后再去證明,也可以用“遞推”的方法來證明.證明的關(guān)鍵是尋找f(k+1)與f(k)之間的遞推關(guān)系,基本策略是“往后退”,從f(k+1)中將f(k)分離出來. 典型例題3 平面內(nèi)有n個(gè)圓,任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn),任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn),求證:這n個(gè)圓將平面分

7、成f(n)=n2-n+2個(gè)部分(nN+). 思路分析:因?yàn)閒(n)為n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù),那么再有一個(gè)圓和這n個(gè)圓相交,就有2n個(gè)交點(diǎn),這些交點(diǎn)將增加的這個(gè)圓分成2n段弧,且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二,因此,增加一個(gè)圓后,平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n個(gè),即f(n+1)=f(n)+2n. 有了上述關(guān)系,數(shù)學(xué)歸納法的第二步證明可迎刃而解.,探究一,探究二,探究三,探究四,證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1時(shí)命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN+,且k1)時(shí)命題成立, 即k個(gè)圓把平面分成f(k)=k2-k+2個(gè)部分, 則當(dāng)n=k+1時(shí),

8、在k+1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O,剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分,而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn),這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧,每段弧將原平面一分為二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2. 所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立. 綜合(1)(2)可知,對(duì)一切nN+,命題成立. 點(diǎn)評(píng) 證明幾何問題的難點(diǎn)是找出由f(k)到f(k+1)增加了幾個(gè)量.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,1 2 3 4,1.下列代數(shù)式中,nN+,則可能被13整除的是() A.n3+5nB.34n+1+52n+1 C.62n-1+1D.42n+1+3n+2 解析:當(dāng)n=1時(shí),只有D項(xiàng)能被13整除. 答案:D,1 2 3 4,2.凸n邊形有f(n)條