1、.,第四章無約束優(yōu)化方法,第一節(jié) 概述,從第一章列舉的機械設計問題，大多數(shù)實際問題是約束優(yōu)化問題。,約束優(yōu)化問題的求解轉化為一系列的無約束優(yōu)化問 題實現(xiàn)的。,因此，無約束優(yōu)化問題的解法是優(yōu)化設計方法的基本組 成部分，也是優(yōu)化方法的基礎。,無約束優(yōu)化問題的極值條件,.,解析法,數(shù)值法,數(shù)學模型復雜時不便求解,可以處理復雜函數(shù)及沒有數(shù)學表達式 的優(yōu)化設計問題,搜索方向問題是無約束優(yōu)化方法的關鍵。,各種無約束優(yōu)化方法的區(qū)別：確定搜索方向的方法不同。,無約束優(yōu)化方法分類,利用目標函數(shù)的一階或二階導數(shù),利用目標函數(shù)值,（最速下降法、共軛梯度法、牛頓法）,（坐標輪換法、鮑威爾等）,.,.,第二節(jié) 最速下降

2、法,優(yōu)化設計追求目標函數(shù)值最小，若搜索方向取該點的負梯度 方向，使函數(shù)值在該點附近的范圍內下降最快。,按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代算法：,以負梯度方向為搜索方向，所以稱最速下降法或梯度法。,搜索方向確定為負梯度方向，還需確定步長因子,即求一維搜索的最佳步長，既有,.,由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個迭代點上的函數(shù) 梯度相互垂直。而搜索方向就是負梯度方向，因此相鄰 兩個搜索方向互相垂直。,.,.,.,.,第三節(jié)牛頓型方法,在第三章中，我們已經(jīng)討論了一維搜索的牛頓方法。,得出一維情況下的牛頓迭代公式,對于多元函數(shù)，在,泰勒展開，得,.,這是多元函數(shù)求極值的牛頓法迭代公式。,對牛頓法進行改進，提

3、出“阻尼牛頓法”,.,.,第四節(jié)共軛方向及共軛方向法,為了克服最速下降法的鋸齒現(xiàn)象，提高收斂速度，發(fā)展了 一類共軛方向法。搜索方向是共軛方向。,一、共軛方向的概念,共軛方向的概念是在研究二次函數(shù),時引出的。,首先考慮二維情況,.,如果按最速下降法，選擇負梯度方向為搜索方向，會產(chǎn)生鋸齒現(xiàn)象。,為避免鋸齒的發(fā)生，取下一次的迭代搜索方向直接指向極 小點，如果選定這樣的搜索方向，對于二元二次函數(shù)只需 進行兩次直線搜索就可以求到極小點。,.,應滿足什么條件？,對于二次函數(shù) 在 處取得極小點的必要條件,等式兩邊同乘 得,是對G的共軛方向。,.,三、共軛方向法,1、選定初始點 ，下降方向 和收斂精度，k=0

4、。,2、沿 方向進行一維搜索，得,3、判斷 是否滿足，若滿足則打印,否則轉4。,4、提供新的共軛方向 ，使,5、置 ，轉2。,.,.,第五節(jié) 共軛梯度法,共軛梯度法是共軛方向法的一種，共軛向量有迭代點 的負梯度構造出來，所以稱共軛梯度法。,從點 出發(fā)，沿G某一共軛方向 作一維搜索,到達,而在點 、 處的梯度分別為：,.,.,圖4-9 共軛梯度法的幾何說明,.,.,第六節(jié)變尺度法,變尺度法的基本思想：,前面討論的梯度法和牛頓法，它們的迭代公式可以看作下列 公式的特例。,變尺度法是對牛頓法的修正，它不是計算二階導數(shù)的矩陣和 它的逆矩陣，而是設法構造一個對稱正定矩陣H來代替Hesse 矩陣的逆矩陣。

5、并在迭代過程中，使其逐漸逼近H-1 。,由于對稱矩陣H在迭代過程中是不斷修正改變的，它對于一 般尺度的梯度起到改變尺度的作用，因此H又稱變尺度矩陣。,.,一、尺度矩陣的概念,變量的尺度變換是放大或縮小各個坐標。,通過尺度變換可以把函數(shù)的偏心程度降低到最低限度。,對于一般二次函數(shù),如果進行尺度變換,.,則在新的坐標系中，函數(shù)的二次項變?yōu)?選擇這樣變換的目的：降低二次項的偏心程度。,若矩陣G是正定的，則總存在矩陣Q使,使得函數(shù)偏心度變?yōu)榱恪?用Q-1 右乘等式兩邊，得,再用Q左乘等式兩邊，得,所以,.,說明二次函數(shù)矩陣G的逆矩陣，可以通過尺度變換矩陣Q 求得。,這樣，牛頓法迭代過程中的牛頓方向可寫

6、成：,三、變尺度法的一般步驟,.,.,第七節(jié) 坐標輪換法,坐標輪換法是每次搜索只允許一個變量變化，其余變量保持 不變，即沿坐標方向輪流進行搜索的尋優(yōu)方法。,它把多變量的優(yōu)化問題輪流地轉化成單變量的優(yōu)化問題。,因此又稱變量輪換法。,其基本原理是將一個多維的無約束最優(yōu)化問題轉化為一系列較低維的最優(yōu)化問題來求解，簡單地說，就是先將(n-1)個變量固定不動，只對第一個變量進行一維搜索得到最優(yōu)點x1（1）。然后，又保持(n-1)個變量不變，再對第二個變量進行一維搜索到x2（1）等等。,.,.,圖412 坐標輪換法原理圖（動畫演示）,.,2. 搜索方向與步長的確定,（1）搜索方向的確定,對于第k輪第i次的

7、計算,第k輪第I次的迭代方向，它輪流取n維坐標的單位向量。,.,3.搜索步長的確定,關于 值通常有以下幾種取法 （1）加速步長法 （2）最優(yōu)步長法 最優(yōu)步長法就是利用一維最優(yōu)搜索方法來完成每一次迭代，即 此時可以采用0.618方法或二次插值方法來計算 的值。,.,圖413 加速步長法的搜索路線,.,圖414 最優(yōu)步長法的搜索路線,.,4 . 坐標輪換法存在的問題,圖415 坐標輪換法在各種不同情況下的效能 （a）搜索有效；（b）搜索低效；（c）搜索無效,.,第八節(jié) Powell法（方向加速法）,Powell法是利用共軛方向可以加速收斂的性質所形成的一種搜索算法。,一、共軛方向的生成,.,.,二、基本算法,.,