1、電磁學(xué),第二篇,Electromagnetism,上次課內(nèi)容回顧,靜電場的環(huán)路定理：,電場中任意點P 的電勢：,a、b兩點間的電勢差為,電場力做功：,一、等勢面,（1）電場線與等勢面處處正交;,（2）電場線方向指向電勢降低方向;,電場中所有電勢相等的點構(gòu)成的 曲面叫等勢面（可由實驗測定）,2. 等勢面與場強的關(guān)系：,（3）若相鄰等勢面電勢差相等,等勢面密處場強大； 等勢面疏處場強小。,第6節(jié) 電勢梯度,1.定義：,Electric Potential Gradient,在同一等勢面上移動電荷, 電場力作功恒為零。,如何證明？,（1）電場線與等勢面處處正交;,一試探電荷 在電場力的作用下 沿著該

2、等勢面上某一條曲線做功為,必有：,（2）電場線方向指向電勢降低方向;,證明：沿著某一電場線方向取c、d兩點,一點電荷 在電場力的作用下沿著 電場線方向做功為,得證。,沿電場線方向電勢下降,得證。,（3）若相鄰等勢面電勢差相等,等勢面密處場強大； 等勢面疏處場強小。,選取相鄰的等勢面1、2、3，,在同一根經(jīng)過三個等勢面的 電場線上取三個點a、b、c，,試探電荷 在電場力的作用下 沿著電場線運動,電場力做功為：,如圖有弧長,得證。,二、電勢梯度矢量（ grad V ）,設(shè)兩等勢面電勢之差：dV,兩等勢面間在P1點處 的最短距離： dn,P1點處法線方向上的 單位矢量：,指向電勢升高的方向,1.電勢

3、梯度,電場中某點的電勢沿法線方向的空間 變化率叫該點的電勢梯度。（是一個矢量）,大?。?方向：與 同向,定義式：,（實際是該點電勢在兩等勢面間的最大空間變化率）,定義：,2. 電場強度與電勢梯度的關(guān)系,根據(jù)電勢差的定義, 把單位正電荷從P1移到P2 電場力所作的功為：,電場中某點的場強 等于該點電勢梯度的負(fù)值,即:,歸納,積分關(guān)系：,已知 可以求V , 已知V 可以求 。,微分關(guān)系：,求 的方法又增加一個！,電場強度與電勢的關(guān)系,具體的做法是：,直角坐標(biāo)系中：,與保守力與勢能的關(guān)系類似：,例23. 求電偶極子在遠(yuǎn)場的: (1)電勢分布; (2)場強分布。,r r+,解：,在離電偶極子較遠(yuǎn)的點:

4、,(1) 電勢分布,(2) 場強分布,討論,1o 若P點在 x 軸上, y = 0,2o 若P點在 y 軸上, x = 0,沿 x 正向,沿 x 負(fù)向,例24. 求均勻帶電Q，半徑為R的圓環(huán)軸線上任意 一點的場強。,解：根據(jù)點電荷電勢疊加， P點的電勢,P點的電場：,方向沿x軸 !,決定于V 在該點的空間變化率, 而與該點V 值大小無關(guān)。,（2）電場強度E 的又一單位：V/m,= N/C,（4）求E 的三種方法：,點電荷電場疊加：,用高斯定理求對稱場:,電勢梯度法:,（1）,小結(jié),內(nèi),（3）電勢為常數(shù)的區(qū)域，場強一定為零。,任何電荷在靜電場中都具有勢能靜電勢能,并且：,電場力作功(A) = 電

5、荷電勢能的減少(W),又：,兩式比較：,設(shè)q 在電場中a、b 兩點的電勢能分別為Wa、Wb，,將q 由 a b 電場力所作的功為：,第7節(jié) 靜電勢能,Electric Potential Energy,一、電荷在外電場的靜電勢能,一點電荷q在電場中具有電勢能：,點電荷系在電場中具有電勢能：,或,電荷與場源電荷 的相互作用能,電勢能單位:,焦耳(J),例25. 球面帶電Q，沿直徑方向有一均勻帶電棒，,求：相互作用能？,解：,球面在 x 處電勢,棒上所有電荷的電勢能:,棒上 dq 的電勢能,已知：Q， a ， ，,dq,解：兩電荷的電勢能分別是：,能量最低,能量最高,穩(wěn)定平衡態(tài),非穩(wěn)定平衡態(tài),非平

6、衡態(tài),非平衡態(tài),討論,動畫,動畫,當(dāng)電偶極子從 ，轉(zhuǎn)動到 0方位時， 電場力矩作功 A0, 電勢能的改變量為：, 0,即：電場力作正功，以電勢能的減少為代價,二、電荷系的靜電能,當(dāng)系統(tǒng)由多個靜止的電荷組成時,這些電荷之間 的靜電相互作用能的總和稱為該電荷系的靜電能。,設(shè)兩電荷相距無限遠(yuǎn)時的電勢能為零。,定義:,電荷系統(tǒng)的靜電能等于將系統(tǒng)中各電荷從現(xiàn)有 的位置到彼此分散到無限遠(yuǎn)的過程中, 它們之間的 靜電力所作的功。 或等于將各電荷從無限遠(yuǎn)移動到現(xiàn)有位置過程 中，外力克服靜電力作的功。,1.兩個點電荷組成的系統(tǒng)的靜電能。,設(shè)兩點電荷q1、q2相距為r，,令q1靜止,將q2從它現(xiàn)在的位置移到無限遠(yuǎn)

7、。,在此過程中q1的電場力對q2作功：,q1在q2點所產(chǎn)生的電勢,則,由定義可得兩點電荷系統(tǒng)的靜電能為,如果令q2靜止,將q1從它現(xiàn)在的位置移到無限遠(yuǎn)？,同理可得,兩個點電荷系統(tǒng)的靜電能,結(jié)論：,兩個點電荷系統(tǒng)的靜電能就是一個電荷在 另一個電荷的電場中的電勢能！,(2) 相互作用能屬于兩點電荷構(gòu)成的系統(tǒng)， 而不是僅屬于某一個電荷，因此可將其 寫成下列對稱形式：,注意：,(1)以上所設(shè)電荷系的兩種形成過程所得的 結(jié)論一致。,即:系統(tǒng)的靜電能與其形成過程無關(guān)。,這一結(jié)論可推廣到多個點電荷構(gòu)成的帶電系統(tǒng)。,設(shè)n個點電荷組成的電荷系,第i個電荷的電量為qi ,2.電荷系的靜電能,qi所在處的電勢為Vi, 則此電荷系的靜電能為,如果系統(tǒng)是一個電荷連續(xù)分布的帶電體,可將其 看成由無限多個電荷元組成, 則系統(tǒng)的靜電能,上式中的V可以用包括dq的所有電荷在dq處電勢 的總和，而積分是對該帶電體上所有電荷積分。,例27. 求一均勻帶電球面的靜電能。 已知球面半徑為R，總電量為Q。,該帶電球面的靜電能為,解： 已知帶電球面是一等勢面，其電勢為,例28. 求一均勻帶