1、現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院, 3 地圖投影的基本知識(shí),地圖投影是地圖學(xué)重要組成部分之一，是構(gòu)成地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在地圖學(xué)中的地位是相當(dāng)重要的。 地圖投影研究的對(duì)象就是如何將地球體表面描寫到平面上，也就是研究建立地圖投影的理論和方法。 地圖投影的產(chǎn)生、發(fā)展、直到現(xiàn)在，已有一千多年的歷史，研究的領(lǐng)域也相當(dāng)廣泛，實(shí)際上它已經(jīng)形成了一門獨(dú)立的學(xué)科。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,研究各種投影的變形規(guī)律是通過把投影后的經(jīng)緯線網(wǎng)與地球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格比較而實(shí)現(xiàn)的。地球儀是地球的真實(shí)縮小。通過比較就會(huì)發(fā)現(xiàn)地球儀上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀與

2、投影后經(jīng)緯網(wǎng)的形狀是不相同的。 為了研究變形，首先讓我們分析一下地球儀上經(jīng)緯網(wǎng)的特點(diǎn)： 1.所有經(jīng)線都是通過兩極的大圓且長度相等；所有緯線都是圓，圓半徑由赤道向兩極遞減，極地成為一點(diǎn)。 2.經(jīng)線表示南北方向；緯線表示東西方向。 3.經(jīng)線和緯線是相互垂直的。 4.緯差相等的經(jīng)線弧長相等；同一條緯線上經(jīng)差相等的緯線弧長相等，在不同的緯線上，經(jīng)差相等的緯線弧長不等，由赤道向兩極遞減。 5.同一緯度帶內(nèi)，經(jīng)差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積相等，同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積不等，緯度越高，梯形面積越?。ㄓ傻途曄蚋呔曋饾u縮?。?。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,3.

3、1 地圖表面和地球球面的矛盾 地圖通常是繪在平面介質(zhì)上的，而地球體表面是曲面，因此制圖時(shí)首先需要把曲面展成平面，然而，球面是個(gè)不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要發(fā)生斷裂或褶皺。無論是將球面沿經(jīng)線切開，或是沿緯線切開，或是在極點(diǎn)結(jié)合，或是在赤道結(jié)合，他們都是有裂隙的。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,3.2 地圖投影的定義 地球橢球體表面是不可展曲面，要將曲面上的客觀事物表示在有限的平面圖紙上，必須經(jīng)過由曲面到平面的轉(zhuǎn)換。 地圖投影：在地球橢球面和平面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法。 地圖投影的實(shí)質(zhì)：是將地球橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法

4、則轉(zhuǎn)移到平面上。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,3.2 地圖投影的定義地圖投影的研究對(duì)象及任務(wù),1、研究對(duì)象 地球橢球面描寫到地圖平面上的理論、方法及應(yīng)用 地圖投影的變形規(guī)律 不同地圖投影之間的轉(zhuǎn)換 圖上量算等問題,2.學(xué)習(xí)任務(wù) 把地球表面上的地理坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成平面坐標(biāo)系 建立制圖網(wǎng)經(jīng)緯線在平面上的表象,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,3.3 地圖投影變形,（1）投影變形的概念 把地圖上和地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)變形表現(xiàn)在長度、面積

5、和角度三個(gè)方面。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,（2）變形橢圓 取地面上一個(gè)微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會(huì)變?yōu)闄E圓，通過對(duì)這個(gè)橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。,為經(jīng)線長度比；,為緯線長度比,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,微小圓變形橢圓,該方程證明: 地球面上的微小圓，投影后通常會(huì)變?yōu)闄E圓，即： 以O(shè)為原點(diǎn)，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標(biāo)軸的橢圓方程式。,代入： X2 + Y2 = 1，得,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大

6、學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,特別方向： 變形橢圓上相互垂直的兩個(gè)方向及經(jīng)向和緯向.,底索定律:無論采用何種轉(zhuǎn)換方法，球面上每一點(diǎn)至少有一對(duì)正交方向線，在投影平面上仍能保持其正交關(guān)系。,主方向：在投影后仍保持正交的一對(duì)線的方向稱為主方向,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,（3）阿波隆尼定理(Apollonius): 橢圓內(nèi)兩共軛半徑的平方和等于其長短半徑的平方和；兩個(gè)共軛半徑與它們的交角正弦的乘積等于其長短半徑的乘積。,根據(jù)阿波隆尼定理有: m2 + n2 = a2 + b2 mnsinq = ab,橢圓共軛直徑:過橢圓內(nèi)任一條直徑(圖中LL)的平行弦中點(diǎn)的軌跡(

7、圖中KK)。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,（4）變形橢圓的意義： 1）單個(gè)變形橢圓可以用來表示某一點(diǎn)上的各種變形 2）扁平程度反映角度變形的大小 3）一組變形橢圓能揭示全制圖區(qū)域變形規(guī)律,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,3.4 地圖比例尺 1.含義,比例尺：地圖上一直線段長度與地面相應(yīng)直線段長度之比。即比例尺=圖上距離/實(shí)地距離 可表達(dá)為（d為圖上距離，D為實(shí)地距離）,根據(jù)地圖投影變形情況，比例尺分為： 主比例尺 ： 在投影面上沒有變形的點(diǎn)或線上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有變形處的比例尺。,現(xiàn)代地圖學(xué)

8、教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,2. 比例尺的表示 數(shù)字式比例尺 如 1:10000 文字式比例尺 如 百萬分之一 圖解式比例尺 直線比例尺 斜分比例尺 復(fù)式比例尺 特殊比例尺 變比例尺 無級(jí)別比例尺,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院, 扁平程度反映角度變形的大小,建立地球橢球面上經(jīng)緯線網(wǎng)和平面上相應(yīng)經(jīng)緯線網(wǎng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也就是建立地球橢球面上的點(diǎn)的地理坐標(biāo)（，）與平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的平面坐標(biāo)（x，y）之間的函數(shù)關(guān)系： 當(dāng)給定不同的具體條件時(shí)，將得到不同類型的投影方式。,3.5 投影變形的相關(guān)概念,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基

9、礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,3.5 投影變形的相關(guān)概念 （1)長度比和長度變形： 長度比(m):設(shè)投影面上一微小線段為dS（變形橢圓半徑），球面上相應(yīng)微小線段為dS之比。則其長度比公式為：, 0 變大 = 0 不變 0 變小,長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。,長度變形(V m):長度比與1的差。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,（2）面積比和面積變形 面積比（P ）:投影面上微小面積（變形橢圓面積）dF與球面上相應(yīng)的微小面積（小圓面積）dF之比。 面積變形（Vp ）:面積比與1的差。, 0 變大 = 0 不變 0 變小,P = ab =

10、m n (q = 90) P = m n sinq (q 90) 面積比是變量，隨位置的不同而變化。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,（3）角度變形 角度變形：投影面上任意兩方向線夾角與球面上相應(yīng)兩方向線夾角之差。以表示角度最大變形。 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x、y），A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x 、y )，則,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,將兩式相除，得：,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,顯然當(dāng)（a +a ）= 90時(shí)，右端取最大值，則最大方向變形：,以w表示角度最大變形：,以表示角度最大變

11、形：,令,則：,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,4.主比例尺和局部比例尺 地圖上注記的比例尺，稱之為主比例尺，它是運(yùn)用地圖投影方法繪制經(jīng)緯線網(wǎng)時(shí)，首先把地球橢球體按規(guī)定比例尺縮小，如制1：100萬地圖，首先將地球縮小100萬倍，而后將其投影到平面上，那么1：100萬就是地圖的主比例尺。 由于投影后有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒有變形的點(diǎn)或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。 注意長度比、長度變形與地圖比例尺的區(qū)別。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,5.等

12、變形線 在各種投影圖上，都存在著誤差或變形。并且各不同點(diǎn)的變形數(shù)量常常是不一樣的，為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。常用等變形線來表示制圖區(qū)域的變形分布特征。等變形線就是變形值相等各點(diǎn)的連線。它是根據(jù)計(jì)算的各種變形的數(shù)值（如p,w）繪于經(jīng)緯線網(wǎng)格內(nèi)的，如面積等變形線。,等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點(diǎn)無變形，從投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分布。 等變形線通常是用帶點(diǎn)虛線來表示的。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,4 地圖投影的分類 地圖投影的種類很多，由于分類的標(biāo)志不同，分類的方法也不同。 4.1

13、按變形性質(zhì)分類 地球球面投影到平面時(shí)，產(chǎn)生的變形有長度、角度和面積三種，根據(jù)變形特征可分為：等角投影、等積投影和任意投影三種。,等角投影：投影面上任意兩方向線間的夾角與橢球體上相應(yīng)方向線的夾角相等，即角度變形為0。 投影之后角度變形為0，根據(jù)公式 即 為0，可知a=b，即是經(jīng)過投影之后，變形橢圓是圓，而不是橢圓，投影之后的圖形跟實(shí)際相似。,從小范圍看，地物經(jīng)過投影之后其形狀保持不變，但從大范圍看，投影后的圖形跟實(shí)際形狀并不完全相似。 這一類投影因?yàn)闆]有角度變形，便于測量方向，所以常用于編制航海圖、洋流圖和風(fēng)向圖。 等角投影地圖上面積變形較大。,等積投影：在投影面上任意一塊圖形的面積與橢球面上相

14、應(yīng)的圖形面積相等，即面積變形等于零。 面積比P=1，這樣的話最大長度比和最小長度比a、b成倒數(shù)關(guān)系a=1/b,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,（2）面積比和面積變形 面積比（P ）:投影面上微小面積（變形橢圓面積）dF與球面上相應(yīng)的微小面積（小圓面積）dF之比。 面積變形（Vp ）:面積比與1的差。, 0 變大 = 0 不變 0 變小,P = ab = m n (q = 90) P = m n sinq (q 90) 面積比是變量，隨位置的不同而變化。,在等積投影中，變形橢圓的長軸越長，短軸越短，這樣為了保證投影后面積不變，但角度卻變形很大，使得圖形的形

15、狀也發(fā)生了很大的變化。 等積投影沒有面積變形，所以能夠在地圖上進(jìn)行面積的對(duì)比和量算，常用于編制對(duì)面積精度要求較高的自然地圖和社會(huì)經(jīng)濟(jì)地圖，如地質(zhì)圖、土壤圖、行政區(qū)劃圖,任意投影：是一種基部等角也不等積，長度、角度和面積三種變形并存但變形都不大的投影類型。 這類投影的角度變形比等積投影小 面積變形比等角投影小 在任意投影中有一種常見的投影等距投影 等距投影是指那些在特定方向上沒有長度變形的投影，即是保持變形橢圓主方向中某一個(gè)長度比等于1，即a=1或b=1。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,如圖表示各種變形性質(zhì)不同的地圖投影中變形橢圓的形狀。通過比較可以看出

16、： 等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。 任意投影不能保持等積、等角特性。 等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,4.2 按構(gòu)成方法分類 1）幾何投影 幾何投影是把地球球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的，根據(jù)幾何面的形狀，可進(jìn)一步分為如下幾類： 方位投影 以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,圓柱投影 以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上

17、的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,圓錐投影 以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,2）非幾何投影： 根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。 偽方位投影：在方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。 偽圓柱投影：在圓柱

18、投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。 偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。 多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。,（二） 投 影 構(gòu) 成 方 法,幾何投影,非幾何投影 （條件投影）,方位投影,圓柱投影,圓錐投影,偽方位投影,偽圓柱投影,偽圓錐投影,多圓錐投影,1）幾何投影,（1）方位投影 以平面為投影面，使平

19、面與橢球體相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到平面上而成。,方位投影可分為透視方位投影和非透視方位投影兩類。,透視方位投影 利用透視法把地球表面投影到平面上的方法稱為透視投影。透視方位投影的點(diǎn)光源或視點(diǎn)位于垂直于投影面的地球直徑及其延長線上，由于視點(diǎn)位置不同，因而有不同的透視方位投影。,A. 球心投影或中心射方位投影：視點(diǎn)（光源）位于地球球心 B. 球面投影或平射方位投影：視點(diǎn)或光源位于地球表面 C. 正射投影：視點(diǎn)或光源位于無限遠(yuǎn)時(shí)，投影線（光線）成為 平行線,非透視方位投影 非透視方位投影是借助于透視投影的方式，而附加上一定的條件，如加上等積、等距等條件所構(gòu)成的投影。在這類投影中有等距方位

20、投影和等積方位投影。,方位投影的特點(diǎn) 在投影平面上，由投影中心向各方向的方位角與實(shí)地相等，其等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。適合作區(qū)域輪廓大致為圓形的地圖。,根據(jù)平面和球面的位置關(guān)系可以分為：正軸、橫軸、斜軸三種類型,方位投影,正軸方位投影,投影中心為極點(diǎn)，緯線為同心圓，經(jīng)線為同心圓的半徑，兩條經(jīng)線間的夾角與實(shí)地相等。等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓。 包括等角、等積、等距三種變形性質(zhì)，主要用于制作兩極地區(qū)圖。,正軸方位投影,正軸等角方位投影又叫平射正軸方位投影或球面投影，是一種使投影面上與實(shí)際地面上的微分圓保持形狀不變的投影，滿足m=n 投影條件。,等角,經(jīng)緯線形狀 緯線是以極點(diǎn)為圓

21、心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑，緯線間隔自投影中心向外逐漸增大。,變形分布規(guī)律 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)面積、長度變形增大；面積變形較大；面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。,正軸方位投影,等角,該投影常用于地震、天文等地圖的編制，由于投影中的長度與面積隨遠(yuǎn)離投影中心變形越大，為使投影區(qū)域變形能夠得到改善，多采用正軸等角割方位投影，如美國提出的通用極球面投影（UPS）。,正軸方位投影,一種投影面上與實(shí)際地面相應(yīng)面積保持相等，即滿足 p=1 投影條件的方位投影。,等積,經(jīng)緯線形狀 緯線是以極點(diǎn)為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑，緯線間隔自投影中心向外逐漸減小。,變形分布規(guī)律 投影中心

22、無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長度變形增大；角度變形較大；角度等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。,正軸方位投影,該投影常應(yīng)用于行政區(qū)劃、土壤植被等需要進(jìn)行面積量測的地圖，尤其是亞洲、歐洲、北美洲等大陸圖常采用，為目前小比例尺地圖應(yīng)用最廣泛的一種投影。,等積,正軸方位投影,一種滿足 m=1 的方位投影，又叫波斯托投影，聯(lián)合國徽即采用此投影設(shè)計(jì)。,等距,經(jīng)緯線形狀 緯線是以極點(diǎn)為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑，緯線間隔自投影中心向外不變即相等。,變形分布規(guī)律 投影中心無變形，經(jīng)線長度保持正確，其余長度、角度和面積變形離開投影中心愈遠(yuǎn)愈大；角度、面積變形都不大；角度、面積等變形線為以投影中心為圓

23、心的同心圓。,正軸方位投影,由于該投影從中心到任意點(diǎn)的方位角與距離均保持正確，故用于編制確定某地（投影中心）至任一地的方位角和距離十分有意義。,等距, 橫軸方位投影,當(dāng)平面與球面相切，其切點(diǎn)在赤道上的任意點(diǎn)，稱為橫軸方位投影。過投影中心的大圓線稱為垂直圈，與垂直圈相垂直的同心圓稱為等高圈，垂直圈投影后成為等高圈同心圓的半徑，兩個(gè)垂直圈間的夾角與實(shí)地相等。,橫軸方位投影,等角,變形分布規(guī)律 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)面積、長度變形增大 。,經(jīng)緯線形狀 中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線是對(duì)稱于中央經(jīng)線的凹向曲線；中央緯線為直線，其它緯線是對(duì)稱于中央緯線的凸向曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐

24、漸增大。在中央緯線上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西方向逐漸增大。,橫軸方位投影,等積,變形分布規(guī)律 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長度變形增大 。,經(jīng)緯線形式 中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線是對(duì)稱于中央經(jīng)線的凹向曲線；中央緯線為直線，其它緯線是對(duì)稱于中央緯線的凸向曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸減小。在中央緯線上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西方向逐漸減小。,橫軸方位投影,等距,變形分布規(guī)律 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長度變形增大 ，面積變形、角度變形都不大。,經(jīng)緯線形狀 中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線是對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。中央緯線為直線，其它緯線是對(duì)稱于中央緯線的曲線。在中央

25、經(jīng)線上緯線間隔相等。在中央緯線上經(jīng)線間隔相等。,斜軸方位投影,當(dāng)平面與球面相切，其切點(diǎn)不在赤道或極點(diǎn)，而是介于兩者之間的任意點(diǎn)，稱為斜軸方位投影。斜軸方位投影也存在垂直線和等高圈。,斜軸方位投影,等角,變形分布規(guī)律 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)面積、長度變形增大 。,經(jīng)緯線形狀 中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)緯線均是曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸增大 。,斜軸方位投影,等積,變形分布規(guī)律 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長度變形增大 。,經(jīng)緯線形式 中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)緯線均是曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸減小 。,斜軸方位投影,等距,變形分布規(guī)律 投影中心無變

26、形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長度變形增大，面積變形、角度變形都不大 。,經(jīng)緯線形式 中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)緯線均是曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔相等 。,三種方位投影緯線間隔變化示意圖,（2）圓柱投影,按圓柱的軸與地軸的關(guān)系,可分為正、橫、斜軸圓柱投影 按圓柱面與地球表面的接觸關(guān)系可分為切、割圓柱投影 按投影變形性質(zhì)分，可分為等角、等積和等距圓柱投影,圓柱投影,等角正軸切圓柱投影是荷蘭地圖學(xué)家墨卡托于1569年所創(chuàng)，所以又稱墨卡托投影。,正軸等角圓柱投影,圓柱投影,正軸等角圓柱投影,投 影 條 件：=0，其它n 1，m 1 經(jīng)緯線形狀：經(jīng)線是一組間隔相等的平行直線；緯線是與經(jīng)線垂直的一組平行線，且其

27、間隔自投影中心向南北兩極逐漸增大。,圓柱投影,正軸等角圓柱投影,2.圓柱投影,正軸等角圓柱投影,投影特點(diǎn)：在墨卡托投影中，面積變形最大,圓柱投影,正軸等角圓柱投影,投影特點(diǎn)：在墨卡托投影上等角航線表現(xiàn)為直線,等角航線：是地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度的曲線。在地球表面上除經(jīng)線和緯線以外的等角航線，都是以極點(diǎn)為漸近點(diǎn)的螺旋曲線。,等角航線在墨卡托投影中表現(xiàn)為直線，因此對(duì)航空、航海具有重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。,圓柱投影,正軸等角圓柱投影,等角航線雖利于航行，但卻不是兩點(diǎn)間的最短距離，球面上兩點(diǎn)間的最短距離是過兩點(diǎn)的大圓弧，稱為大圓航線或正航線。大圓航線雖在球心投影中被投影為直線，但因其與各經(jīng)線的夾角不

28、相等，故在墨卡托投影中被投影成曲線。墨卡托投影繪大圓航線，可先在球心投影中確定大圓航線并求出其與各經(jīng)線的交角再轉(zhuǎn)到墨卡托投影中以圓滑曲線連接之，最后再將墨卡托投影中的大圓航線分成若干段，每段兩端點(diǎn)用直線連接，即成用等角航線近似的大圓航線圖。,圓柱投影,正軸等距與等積圓柱投影,圓柱投影,空間斜軸墨卡托投影（SOM）,SOM是美國針對(duì)陸地衛(wèi)星對(duì)地面掃描圖像的需要設(shè)計(jì)的一種近似等角性質(zhì)的投影。 SOM投影是在四維空間動(dòng)態(tài)條件下建立的投影，地面點(diǎn)的地理坐標(biāo)是時(shí)間的函數(shù)，用空間斜圓柱相切于衛(wèi)星地面軌跡，且隨衛(wèi)星的空間運(yùn)動(dòng)而擺動(dòng)，衛(wèi)星地面軌跡為直線，長度比近似等于 1 ，衛(wèi)星成像掃描線與衛(wèi)星地面軌跡垂直。

29、,圓柱投影,空間斜軸墨卡托投影（SOM）,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院, 5 方位投影 5.1 方位投影的概念和種類 方位投影是以平面作為投影面，使平面與地球表面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上所得到的圖形。本節(jié)只介紹常用的切方位投影，將地球半徑視為R的球體。 方位投影可分為透視方位投影和非透視方位投影兩類。 1.透視方位投影 利用透視法把地球表面投影到平面上的方法稱為透視投影。 透視方位投影的點(diǎn)光源或視點(diǎn)位于垂直于投影面的地球直徑及其延長線上，由于視點(diǎn)位置不同，因而有不同

30、的透視方位投影。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,當(dāng)視點(diǎn)（光源）位于地球球心時(shí)，即視點(diǎn)距投影面距離為R時(shí)，稱為中心射方位投影或球心投影。 當(dāng)視點(diǎn)或光源位于地球表面時(shí)，即視點(diǎn)到投影面距離為2R時(shí)，稱為平射方位投影或球面投影。 當(dāng)視點(diǎn)或光源位于無限遠(yuǎn)時(shí)，投影線（光線）成為平行線，稱為正射投影。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,根據(jù)投影面和地球球面相切位置的不同，透視投影可分為三類： 當(dāng)投影面切于地球極點(diǎn)時(shí)，稱為正軸方位投影。 當(dāng)投影面切于赤道時(shí)，稱為橫軸方位投影。 當(dāng)投影面切于既不在極點(diǎn)也不在赤道時(shí)，稱為斜軸方位投影。

31、,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,2.非透視方位投影 非透視方位投影是借助于透視投影的方式，而附加上一定的條件，如加上等積、等距等條件所構(gòu)成的投影。在這類投影中有等距方位投影和等積方位投影。,5.2 正軸方位投影 投影中心為極點(diǎn)，緯線為同心圓，經(jīng)線為同心圓的半徑，兩條經(jīng)線間的夾角與實(shí)地相等。等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓。 包括等角、等積、等距三種變形性質(zhì)，主要用于制作兩極地區(qū)圖。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,等角正軸方位投影 投影條件：投影面-平面 =0 0=90 投影公式：1=sec2（z/2） 2=

32、 sec2（z/2 ） 經(jīng)緯線形式：緯線是以極點(diǎn)為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸增大。經(jīng)線夾角等于相應(yīng)的經(jīng)差. 變形分布規(guī)律： 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)面積、長度變形增大。 w=0 1=2 1 12 2 12 p 14 沒有角度變形，但面積變形較大。 角度、面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,2.等積正軸方位投影 投影條件：投影面-平面 p=1 0=90 投影公式：1=cos（z/2 ） 2= sec（z/2 ） 經(jīng)緯線形式：緯線是以極點(diǎn)為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的

33、半徑。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸減小。 變形分布規(guī)律： 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長度變形增大。 p=1 11 2 11.414 沒有面積變形，但角度變形較大。 角度、面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,3.等距正軸方位投影 投影條件：投影面-平面 1= 1 0=90 投影公式：1=1 2= z/sinz 經(jīng)緯線形式：緯線是以極點(diǎn)為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外不變即相等。 變形分布規(guī)律： 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長度變形增大。 1= 1 2

34、 1 2 11.57 角度、面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。 面積變形、角度變形都不大。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,5.3 橫軸方位投影 平面與球面相切，其切點(diǎn)位于赤道上。 特點(diǎn)：通過投影中心的中央經(jīng)線和赤道為直線，其他經(jīng)緯線投影后都是對(duì)稱于中央經(jīng)線和赤道的曲線。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,1. 等角橫軸方位投影 投影條件：投影面-平面 w=0 0=0 投影公式：1=sec2（z/2） 2= sec2（z/2） 經(jīng)緯線形式：

35、中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線是對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。中央緯線為直線，其它緯線是對(duì)稱于中央緯線的曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸增大。在中央緯線上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西方向逐漸增大。 變形分布規(guī)律： 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)面積、長度變形增大。 w=0 1=2 1 12 2 12 p 14 沒有角度變形，但面積變形較大。 面積等變形線與緯圈一致。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,2. 等積橫軸方位投影 投影條件：投影面-平面 p=1 0=0 投影公式：1=cos（z/2） 2= sec（z/2 ） 經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線

36、是對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。中央緯線為直線，其它緯線是對(duì)稱于中央緯線的曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸減小。在中央緯線上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西方向逐漸增大。 變形分布規(guī)律： 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長度變形增大。 p=1 11 2 11.414 沒有面積變形，但角度變形較大。 角度等變形線與等高圈一致。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,3.等距橫軸方位投影 投影條件：投影面-平面 1= 1 0=0 投影公式：1=1 2= z/sinz 經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線是對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。中央緯線為直線，其它緯線是對(duì)稱于

37、中央緯線的曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔相等。在中央緯線上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西方向逐漸增大。 變形分布規(guī)律： 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長度變形增大。 1= 1 2 1 2 11.57 角度、面積等變形線與等高圈一致。 面積變形、角度變形都不大。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,5.4 斜軸方位投影 投影面切于兩極和赤道間的任意一點(diǎn)上。在這種投影中，中央經(jīng)線投影為直線，其他經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線，緯線投影為曲線。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,1.等角斜軸方位投影 投影條件：投影面-平面

38、w=0 0 0 90 投影公式：1=sec2（z/2） 2= sec2（z/2 ） 經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)緯線均是曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸增大。 變形分布規(guī)律： 投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)面積、長度變形增大。 w=0 1=2 1 12 2 12 p 14 沒有角度變形，但面積變形較大。 面積等變形線與等高圈一致。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,2.等積斜軸方位投影 投影條件：投影面-平面 p=1 01 2 11.414 沒有面積變形，但角度變形較大。 角度等變形線與等高圈一致。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基

39、礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,3.等距斜軸方位投影 等距方位投影屬于任意投影，它既不等積也不等角。 投影條件：投影面-平面 1= 1 01 2 11.57 角度、面積等變形線與等高圈一致。 面積變形、角度變形都不大。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,5.5 橫軸和斜軸方位投影的變形分布規(guī)律 橫軸和斜軸方位投影的變形大小和分布規(guī)律與正軸投影完全一致，在橫軸和斜軸投影中，由于投影面的中心點(diǎn)不在地理坐標(biāo)的極點(diǎn)上，如果仍用地理坐標(biāo)決定地面點(diǎn)的位置，而將這一點(diǎn)投影到平面上，就變得復(fù)雜了。

40、但是如果我們?cè)诘厍虮砻嫔现匦陆⒁环N新的坐標(biāo)系，使新坐標(biāo)系的極點(diǎn)在投影面的中心點(diǎn)上，這樣對(duì)于橫軸和斜軸投影來說，投影面與新極點(diǎn)的關(guān)系，也就和正軸投影的投影面與地理極的關(guān)系一樣了，這樣問題就簡單多了，正軸的公式就可以應(yīng)用到橫軸和斜軸投影中去，而只是地面上點(diǎn)的位置用不同的坐標(biāo)系表示而異。 先介紹建立這種球面坐標(biāo)系的方法，設(shè)在地球球面上選擇一點(diǎn)p作為球面坐標(biāo)系的極。投影面在p點(diǎn)與地球面相切，過新極點(diǎn)p可做許多大圓，命名為垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名為等高圈。這樣垂直圈相當(dāng)于地理坐標(biāo)系的經(jīng)線圈，等高圈相當(dāng)于緯線圈，這樣等高圈和垂直圈投影后的形式和變形分布規(guī)律和正軸方位投影時(shí)，情況完全一致。,現(xiàn)

41、代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,無論是正軸方位投影還是橫軸方位投影或是斜軸方位投影，他們的誤差分布規(guī)律是一致的。他們的等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓，所不同的是在橫軸和斜軸方位投影中，主方向和等高圈、垂直圈一致，而經(jīng)緯線方向不是主方向。 5.6幾種方位投影變形性質(zhì)的圖形判別 方位投影經(jīng)緯線形式具有共同的特征，判別時(shí)先看構(gòu)成形式（經(jīng)緯線網(wǎng)），判別是正軸、橫軸、斜軸方位投影。 正軸投影，其緯線為以投影中心為圓心的同心圓，經(jīng)線為交于投影中心的放射狀直線，夾角相等。橫軸投影，赤道與中央經(jīng)線為垂直的直線，其他經(jīng)緯線為曲線。斜軸投影，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)

42、緯線均為曲線。 然后根據(jù)中央經(jīng)線上經(jīng)緯線間隔的變化，判別變形性質(zhì)。等角方位投影，在中央經(jīng)線上，緯線間隔從投影中心向外逐漸增大；等積方位投影，逐漸縮?。坏染喾轿煌队?，間隔相等。如上可判斷方位投影的變形性質(zhì)及推斷出投影的名稱。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,6 圓柱投影,6.1圓柱投影的概念和種類 假定以圓柱面作為投影面，把地球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到圓柱面上，然后沿圓柱面的母線把圓柱切開展成平面，就得到圓柱投影。 當(dāng)圓柱面和地球體相切時(shí)，稱為切圓柱投影，和地球體相割時(shí)稱為割圓柱投影。 由于圓柱和地球體相切相割的位置不同，圓柱投影又分為正軸、橫軸和斜軸圓柱投影

43、三種。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,正軸圓柱投影圓柱的軸和地球的地軸一致； 橫軸圓柱投影圓柱的軸和地軸垂直并通過地心； 斜軸圓柱投影圓柱的軸通過地心，和地軸不垂直不重合。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,1、經(jīng)線投影為平行直線，平行線間的距離和經(jīng)差成正比。 2、緯線投影成為一組與經(jīng)線正交的平行直線，平行線間的距離視投影條件而異。 3、和圓柱面相切的赤道弧長或相隔的兩條緯線的弧長為正長無變形。 圓柱投影按變形性質(zhì)可分為等角圓柱投影、等積圓柱投影和任意圓柱投影。,在上述三種投影方式中，最常用的是正軸圓柱投影，假定視

44、點(diǎn)在球心，正軸圓柱投影中，經(jīng)緯線網(wǎng)的特點(diǎn)是：,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,6.2等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影） 等角正軸切圓柱投影是荷蘭地圖學(xué)家墨卡托于1569年所創(chuàng)，所以又稱墨卡托投影。,1. 投影條件： 投影面-圓柱面 w=0 n0=1 其它n 1 2.投影公式： m=n=sec p=sec2 x=Rlgtan(45+/2) /0.43429 y=R 3.經(jīng)緯線形式： 經(jīng)線是一組間隔相等的平行線，緯線是與經(jīng)線垂直的一組平行線，且在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向南北兩極逐漸增大。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)

45、學(xué)院,4. 投影特點(diǎn)： 在墨卡托投影中，面積變形最大。 在緯度60度地區(qū)，經(jīng)線和緯線比都擴(kuò)大了2倍，面積比P=m*n=2*2=4，擴(kuò)大了4倍，愈接近兩極，經(jīng)緯線擴(kuò)大的越多，在=80度時(shí)，經(jīng)緯線都擴(kuò)大了近6倍，面積比擴(kuò)大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高緯地區(qū)通常就不繪出來了。 在墨卡托投影上等角航線表現(xiàn)為直線（在球心投影上大圓航線表現(xiàn)為直線。 等角航線：就是指地球表面上與經(jīng)線交角都相同的曲線，或者說是地球上兩點(diǎn)間的一條等方位線。 就是說船只要按照等角航向航行，不用改變方位角就能從起點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)。由于經(jīng)線是收斂于兩極的，所以地球表面上的等角航線是除經(jīng)線和緯線以外，以極點(diǎn)為漸近點(diǎn)的螺旋曲線。因墨

46、卡托投影是等角投影，而且經(jīng)線投影為平行直線，那末兩點(diǎn)間的那條等方位螺旋線在投影中只能是連接該兩點(diǎn)的一條直線。 大圓航線：地球面上兩點(diǎn)間最短距離是通過兩點(diǎn)間的大圓弧，也稱為大圓航線。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,等角航線在墨卡托投影圖上表現(xiàn)為直線，這一點(diǎn)對(duì)于航海航空具有重要意義。因?yàn)橛羞@個(gè)特征，航行時(shí)，在墨卡托投影圖上只要將出發(fā)地和目的地連一直線，用量角器測出直線與經(jīng)線的夾角，船上的航海羅盤按照這個(gè)角度指示船只航行，就能達(dá)到目的地。 但是等角航線不是地球上兩點(diǎn)間的最短距離，地球上兩

47、點(diǎn)間的最短距離是通過兩點(diǎn)的大圓弧，（又稱大圓航線或正航線）。大圓航線與各經(jīng)線的夾角是不等的，因此它在墨卡托投影圖上為曲線。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,5.用途及意義： 遠(yuǎn)航時(shí)，完全沿著等角航線航行，走的是一條較遠(yuǎn)路線，是不經(jīng)濟(jì)的，但船只不必時(shí)常改變方向，大圓航線是一條最近的路線，但船只航行時(shí)要不斷改變方向，如從非洲的好望角到澳大利亞的墨爾本，沿等角航線航行，航程是6020海里，沿大圓航線航行5450海里，二者相差570海里（約1000公里）。 實(shí)際上在遠(yuǎn)洋航行時(shí)，一般把大圓航線展繪到墨卡托投影的海圖上，然后把大圓航線分成幾段，每一段連成直線，就是等

48、角航線。船只航行時(shí)，總的情況來說，大致是沿大圓航線航行。因而走的是一條較近路線，但就每一段來說，走的又是等角航線，不用隨時(shí)改變航向，從而領(lǐng)航十分方便。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,6.3等距正軸切圓柱投影 1、投影條件 圓柱面切于赤道，故赤道的投影為正長，經(jīng)線投影后的長度為正長。 2、特點(diǎn)及誤差分析 赤道投影后為正長無變形，緯線投影后，均變成與赤道等長的平行線 段，因此離赤道越遠(yuǎn)，緯線投影后產(chǎn)生的誤差也就越大，經(jīng)線投影后為正長，為垂直于緯線的一組平行線，經(jīng)線方向長度比為1，經(jīng)線上緯線間隔相等，該投影的主方向就是經(jīng)緯線方向。,用誤差橢圓來分析等距正軸切

49、圓柱投影誤差規(guī)律和特點(diǎn)，是誤差橢圓的短半徑和經(jīng)線方向一致，且等于球面微圓的半徑，長半徑和緯線方向一致，且離開赤道越遠(yuǎn)伸長的就越多，誤差越大。面積變形、角度變形是離開赤道逐漸增大的。,當(dāng)規(guī)定的經(jīng)差和緯差相等時(shí)，經(jīng)緯線網(wǎng)投影呈正方形網(wǎng)格，因此等距正軸切圓柱投影又簡稱圓柱投影或方格投影。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,6.4高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影） 1.定義： 以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。由德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家高斯（C.F. Gaus

50、s，17771855）及大地測量學(xué)家克呂格（J. Krger，18571923）共同創(chuàng)建。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,2.經(jīng)緯線形式： 中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線是對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線，中央緯線為直線，其他緯線是對(duì)稱于中央緯線的曲線。 在中央經(jīng)線上緯線間隔相等，在赤道上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西逐漸增大。 3.變形分布規(guī)律： 此投影無角度變形，中央經(jīng)線無長度變形，其他經(jīng)線長度比大于1。中央經(jīng)線附近變形小，向東、向西方向變形逐漸增大。長度、面積變形均不大，其中長度變形 0.14%，面積變形 0.27% 為保證精度，采用分帶投影方法：按經(jīng)差 6或 3進(jìn)

51、行分帶。 我國規(guī)定12.5萬、15萬、110萬、125萬、150萬采用6分帶投影，從0子午線起，自西向東每隔經(jīng)差6分成一帶，全球共60帶。（1323）,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,我國規(guī)定11萬采用3分帶投影，從E130子午線起，每隔經(jīng)差3分成一帶，全球共120帶。（2545）,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,6.5通用橫軸墨卡托投影 UTM 投影 以橫軸橢圓柱面割于地球橢球體的兩條等高圈，按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到

52、橢圓柱面上，再將其展成平面而得。又稱Universal Transverse Mercator UTM 投影。,此投影無角度變形，中央經(jīng)線長度比為0.9996，距中央經(jīng)線約180km處的兩條割線上無變形。亦采用分帶投影方法：經(jīng)差6或3分帶。長度變形 0.04%,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,7 圓錐投影 7.1圓錐投影的概念和種類 1.概念： 圓錐投影：是假定以圓錐面作為投影面，使圓錐面和地球體相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后把圓錐面沿一條母線剪開展為平面而成。（當(dāng)圓錐面與地球相切時(shí)，稱為切圓錐投影，當(dāng)圓錐面與地球相割時(shí)，稱為割圓錐投影

53、。） 2.種類： 按圓錐面與地球相對(duì)位置的不同，可分正軸、橫軸、斜軸圓錐投影， 但橫軸、斜軸圓錐投影實(shí)際上很少應(yīng)用。所以凡在地圖上注明是圓錐投影的，一般都是正軸圓錐投影。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院, 按標(biāo)準(zhǔn)緯線分為切圓錐投影和割圓錐投影 切圓錐投影，視點(diǎn)在球心，緯線投影到圓錐面上仍是圓，不同的緯線投影為不同的圓，這些圓是互相平行的，經(jīng)線投影為相交于圓錐頂點(diǎn)的一束直線，如果將圓錐沿一條母線剪開展為平面，則呈扇形，其頂角小于360度。 在平面上緯線不再是圓，而是以圓錐頂點(diǎn)為圓心的同心圓弧，經(jīng)線成為由圓錐頂點(diǎn)向外放射的直線束，經(jīng)線間的夾角與相應(yīng)的經(jīng)差成正

54、比，但比經(jīng)差小。 在切圓錐投影上，圓錐面與球面相切的一條緯線投影后是不變形的線。叫做標(biāo)準(zhǔn)緯線。它符合主比例尺，這條緯線通常位于制圖區(qū)域的中間部位。從切線向南向北，變形逐漸增大。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,在割圓錐投影上，兩條緯線投影后沒有變形，是雙標(biāo)準(zhǔn)緯線，兩條割線符合主比例尺，離開這兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向外投影變形逐漸增大，離開這兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向里投影變形逐漸減小，凡是距標(biāo)準(zhǔn)緯線相等距離的地方，變形數(shù)量相等，因此圓錐投影上等變形線與緯線平行。,圓錐投影按變形性質(zhì)分為等角、等積和等距圓錐投影三種.,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)

55、境科學(xué)學(xué)院,構(gòu)成圓錐投影需確定畫緯線的半徑和經(jīng)線間的夾角，是緯度的函數(shù)用公式表示為=f()。 是經(jīng)差的函數(shù)。用公式表示為=.對(duì)于不同的圓錐投影它是不同的。但對(duì)于某一具體的圓錐投影（0c1 ），它的值是相同的。當(dāng)=1時(shí)（圓錐頂角為180 度），為方位投影；=0 時(shí)（圓錐體的頂角小到0度），為圓柱投影。方位投影和圓柱投影都可看成是圓錐投影的特例。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,7.2等角圓錐投影 投影條件：w=0 或 m = n 投影面圓錐面 1.等角切圓錐投影 n0=1 其它n 1 即相切緯線（標(biāo)準(zhǔn)緯線）沒有變形，長度比為1。其他緯線投影后為擴(kuò)大的同心圓

56、弧并且離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)，這種擴(kuò)大的變形程度也就越大，標(biāo)準(zhǔn)線以北變形增加的要比以南快些。經(jīng)線為過緯線圓心的一束直線。由于m=n所以在緯線方向上擴(kuò)大多少，就在經(jīng)線上擴(kuò)大多少。這樣才能使經(jīng)緯線方向上的長度比相等。所以在等角圓錐投影上緯線間隔從標(biāo)準(zhǔn)緯線向南向北是逐漸增大的。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,2.等角割圓錐投影 n1=1 n2=1 在1、2 之間：n 1，m 1 即相割的兩條緯線為標(biāo)準(zhǔn)緯線，其長度比為1，沒有變形。兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之間緯線長度比小于1，即投影后的緯線長比圓面上相應(yīng)緯線縮短了，便形成離開標(biāo)準(zhǔn)緯線向里成負(fù)的方向增大。兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之外，緯線長

57、度比大于1，即離開標(biāo)準(zhǔn)緯線長度變形逐漸增大。經(jīng)線的變形長度也是如此。所以在等角割圓錐投影上從兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向外，緯線間距是逐漸增大的。從兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線逐漸向里，緯線距離是縮小的。等角圓錐投影面積變形大. 雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影，廣泛應(yīng)用于中緯度地區(qū)的分國地圖和地區(qū)圖。例如“中國地圖集”各分省圖就是用的這種投影?！笆澜绲貓D集”大部分分國地圖采用該投影。世界上有些國家如法國、比利時(shí)、西班牙也都采用此投影作為地形圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。此外西方國家出版的許多掛圖和地圖集中已廣泛采用等角圓錐投影。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,相割緯線：1 = 25 ； 2 = 45,現(xiàn)代

58、地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,7.3 等積圓錐投影 等積投影條件：p=1 或 mn=1 投影面圓錐面 1 等積切圓錐投影 n0=1 其它n 1 即相切的緯線沒有變形，其長度比為1，其他緯線投影后均擴(kuò)大并且離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)，這種變形也就越大。所以投影后要保持面積相等，在緯線方向上變形擴(kuò)大多少倍，那么在經(jīng)線方向上就得縮小多少倍。所以在等積切圓錐投影圖上，緯線間隔從標(biāo)準(zhǔn)緯線向南向北是逐漸縮小的。,現(xiàn)代地圖學(xué)教程 第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,等積圓錐投影常用以編制行政區(qū)劃圖，人口密度圖。及社會(huì)經(jīng)濟(jì)地圖或自然圖。當(dāng)制圖區(qū)域所跨緯度較大時(shí)，常采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等積圓錐投影。,等積割圓錐投影,n1=1 n2=1 在1、2 之間：n